Презентация "Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Теорема Эйлера" 10 класс

• Многогранники.
• Вершины, ребра, грани многогранника.
• ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА.
• 10 класс

• Выполнила: Кайгородова С.В.

Правильным называется многогранник, у которого все грани являются правильными многоугольниками, и все многогранные углы при вершинах равны. С глубокой

• С глубокой
• древности
• человеку
• известны пять
• удивительных
• многогранников

По числу граней их называют правильный тетраэдр гексаэдр (шестигранник) или куб октаэдр (восьмигранник) додекаэдр (двенадцатигранник) икосаэдр (двадцатигранник) Развертки правильных многогранников

• Историческая справка

• Четыре сущности природы были известны человечеству: огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников
• Великий древнегреческий философ Платон, живший в IV – V вв. до нашей эры, считал, что эти тела олицетворяют сущность природы.

атом огня имел вид тетраэдра,

• атом огня имел вид тетраэдра,
• земли – гексаэдра (куба)
• воздуха – октаэдра
• воды - икосаэдра

Но оставался додекаэдр,

• Но оставался додекаэдр,
• которому не было
• соответствия Платон
• предположил, что существует
• ещё одна(пятая) сущность.
• Он назвал её мировым
• эфиром. Атомы этой
• пятой сущности и имели
• вид додекаэдра.

• Платон и его ученики в своих работах большое внимание уделяли перечисленным многогранникам. Поэтому эти многогранники называют также платоновыми телами.

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:

• Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:
• Г+В-Р=2,
• где Г-число граней, В-число вершин,
• Р- число ребер данного многогранника.
• Грани + Вершины - Рёбра = 2.

• Теорема Эйлера

Характеристики правильных многогранников

Многогранник	Число сторон грани	Число граней, сходящихся в каждой вершине	Число граней (Г)	Число ребер (Р)	Число вершин (В)
Тетраэдр	3	3	4	6	4
Гексаэдр	4	3	6	12	8
Октаэдр	3	4	8	12	6
Икосаэдр	3	5	20	30	12
Додекаэдр	5	3	12	30	20

Двойственность правильных многогранников

• Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют двойственную пару многогранников. Число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот.

Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр.

• Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр.

Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

• Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

Сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра.

• Сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра.

• Многогранники в природе, химии и биологии

• Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.

• Кристалл пирита— природная модель додекаэдр.

• Кристаллы поваренной соли передают форму куб.

• Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра.

• Хрусталь (призма)

• Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

• В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

• В молекуле метана имеет форму правильного тетраэдра.

• Многогранники в искусстве

• «Портрет Монны Лизы»
• Композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

• гравюра «Меланхолия»
• На переднем плане картины изображен додекаэдр.

• «Тайная Вечеря»
• Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдр.

• Многогранники в архитектуре

• Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью трехмерного моделирования.

• Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса Нерукотворного — главный въезд в Казанский кремль. Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию «Барма». Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду.

• Спасская башня Кремля.

• Александрийский маяк

• Пирамиды

• Музеи Плодов