Презентация "Перпендикуляр к прямой" 7 класс

Перпендикуляр к прямой

а

О

В

Отрезок ОВ называется перпендикуляром, проведённым из точки О к прямой а, если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны.

Точка В – основание перпендикуляра.

Доказательство.

1. Существование.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

А

р

О

К

С

D

∆ AOD = ∆ COD

∠ AOD = ∠ COD,

OA = OC.

Следовательно, ∠ CDO = ∠ ADO

(смежные углы).

∠ CDO = ∠ ADO = 90°.

АD ⊥ p, т. е. перпендикуляр существует.

В

OD – общая сторона,

(по первому признаку),

2. Единственность.

А

р

D

D1

C

AD = CD,

∆ ADD1 = ∆ CDD1 (по первому признаку),

Так как по предположению ∠ AD1D = 90°,

то ∠ СD1D = 90°,

D1А и D1С составляют прямую,

Пусть АD = СD.

что невозможно.

Предположение неверно.

Теорема доказана.

DD1 – общая сторона,

Следовательно, ∠ AD1D = ∠ CD1D.

∠ ADD1 = ∠ CDD1 = 90°.

∠ AD1C – развёрнутый,

a

O

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q. Перпендикуляры МО и NP, проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM, если угол NOP равен 35°.

N

q

M

O

P

Рассмотрим ∆ MOP и ∆ NPO.

Решение.

OP – общая сторона,

МO = NP,

∠ MOP = ∠ NPО = 90°.

Следовательно, ∆ MOP = ∆ NPO

(по первому признаку)

Тогда ∠ NOP = ∠ MPO = 35°.

∠ NPО = ∠ NPM + ∠ MPO,

∠ NPM = ∠ NPО  ∠ MPO.

35°

∠ NPM = 90°  35°,

∠ NPM = 55°.

Ответ: 55°.