Конспект урока "Простейшие свойства прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников"

Тема. Простейшие свойства прямоугольных треугольников.
Признаки равенства прямоугольных треугольников".
Подготовил учитель математики
Бородина Ольга Алексеевна,
ГБОУ Школа №1393 им. Д.В. Рябинкина
Цель урока: Закрепить понятия треугольник, виды треугольников.
Повторить признаки равенства обычных треугольников. Рассмотреть
признаки равенства прямоугольных треугольников и показать их применение
в процессе решения задач.
Задачи:
1. Продолжить формирование внимания, аналитического мышления
2. Воспитывать математическую культуру, научное мировоззрение
учащихся
План хода урока:
1. Повторение изученного материала, необходимого для изучения
новой темы.
2. Введение нового материала.
3. Закрепление нового материала на примере задач.
Оборудование урока:
Доска, цветные мелки, лист опорных сигналов.
Лист опорных сигналов выглядит следующим образом:
Условные обозначения: КК по двум катетам, КПУ по катету и
прилежащему к нему углу, ГОУ по гипотенузе и острому углу, КГ по
катету и гипотенузе.
Ход урока
Этап
урока
Действие учителя
Доска
Действия
учащихся
Орг.
момен
т
1 мин
Актуа
зация
знани
й
1 мин
Введе
ние
новог
о
матер
иала
25
Здравствуйте дети!
Сегодня на уроке мы с вами
поподробнее остановимся на
прямоугольных треугольниках,
рассмотрим, какими свойствами они
обладают, и сравним признаки их
равенства с признаками равенства
произвольных треугольников.
Но прежде повторим с вами, какие
виды треугольников мы с вами уже
знаем?
Сторона прямоугольного
треугольника, лежащая против
прямого угла, называется
гипотенузой, а две другие – катетами.
Рассмотрим свойства прямоугольных
треугольников, которые
устанавливаются с помощью теоремы
о сумме углов треугольника.
Скажите, пожалуйста, если сумма
Остроугольны
й,
тупоугольный
и
прямоугольны
й.
000
9090180
Что он самый
большой
Гипотенуза
Что она всегда
больше
катетов.
Если они
совпадают при
наложении.
мин
углов треугольника равна 180
0
, то
чему равна сумма двух острых углов
в прямоугольном треугольнике?
Правильно, только что мы с вами
узнали одно из свойств
прямоугольного треугольника.
А если сумма острых углов равна 90
0
, значит каждый из этих углов
меньше 90
, что можно сказать про
прямой угол сравнении с
остальными)?
А как называется сторона лежащая
против угла в 90
?
Что про нее можно сказать?
Хорошо. Теперь познакомимся еще с
одним свойством.
Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30
, равен
половине гипотенузы.
Если катет прямоугольного
треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий против
этого катета, равен 30
Хорошо. Ранее мы с вами изучали
признаки равенства треугольников.
Какие два треугольника называются
равными?
Теперь повторим признаки равенства
треугольников.
1-ый признак равенства?
2-ой признак равенства?
BCACB
ACСDВС
2
1
30
2
0
0
0
0
30
2
1
2
1
30
2
60
2
BBCAC
BCACB
ABCDBC
CBDDC
CDBDACBC
Если две
стороны и угол
между ними
одного
треугольника
соответственн
о равны двум
сторонам и
углу между
ними другого
треугольника,
то такие
треугольники
равны.
Если сторона и
два
прилежащих к
ней угла
одного
треугольника
соответственн
о равны
3-ий признак равенства?
Все эти свойства сохраняются и для
прямоугольных треугольников.
Рассмотрим признаки равенства
прямоугольных треугольников.
Так как в прямоугольном
треугольнике угол между двумя
катетами прямой, а любые два
прямых угла равны, то из первого
признака равенства треугольников
следует:
Теорема.
Если катеты одного прямоугольного
треугольника соответственно равны
катетам другого, то такие
треугольники равны.
Пользуясь признаками равенства
обычных треугольников, быстро
пробежимся по доказательствам.
Правильно, ведь:
Т.к.
А=
А, то треугольник АВС
можно наложить на треугольник АВС
так, что вершина А совместится с
вершиной А, а стороны АВ и АС
наложатся соответственно на лучи
АВ и АС. Поскольку АВ=АВ,
АС=АС, то сторона АВ совместится
со стороной АВ, а сторона АС - со
стороной АС: в частности,
совместятся точки В и В, С и С
Совместятся стороны ВС и ВС. И так,
треугольники АВС и АВС полностью
совместятся, значит, они равны.
Теорема доказана.
Далее, из второго признака равенства
треугольников следует:
Теорема.
Если катет и прилежащий к нему
острый угол одного треугольника
соответственно равны катету и
прилежащему к нему острому углу
другого, то такие треугольники
равны.
Это свойство тоже следует из того
что мы с вами уже повторили, ведь:
Если мы наложим треугольник АВС
на АВС так, чтобы вершина А
стороне и двум
прилежащим к
ней углам
другого
треугольника,
то такие
треугольники
равны.
Если три
стороны
одного
треугольника
соответственн
о равны трем
сторонам
другого
треугольника,
то такие
треугольники
равны.
Они равны по
первому
признаку.
Повто
рное
объяс
нение
матер
иала с
помо
щью
учащи
хся.
7 мин
совместилась с вершиной А, сторона
АВ-с равной ей стороной АВ, а
вершина С и С оказались по одну
сторону от прямой АВ. Т.к.
А=
А
и
В=
В, то сторона АС
наложится на луч АС, а сторона ВС
на луч ВС. Поэтому вершина С
общая точка сторон АС и ВС
окажется лежащей как на луче АС,
так и на луче ВС и
совместятся с
общей точкой этих лучей вершиной
С. Значит, совместятся стороны АС и
АС, ВС и ВС. И так, треугольники
АВС и АВС полностью совместятся,
поэтому они равны. Теорема
доказана.
Рассмотрим еще два признака
равенства прямоугольных
треугольников.
Теорема.
Если гипотенуза и острый угол
одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и
острому углу другого, то такие
треугольники равны.
Док-во:
Из свойства (сумма двух острых
углов прямоугольного треугольника
равна 90
0
) следует, что в таких
треугольниках два других острых
угла также равны, поэтому
треугольники равны по второму
признаку равенства треугольников,
т.е. по стороне (гипотенузе) и двум
прилежащим к ней углам.
Теорема доказана.
Теорема.
Если гипотенуза и катет одного
треугольника соответственно равны
гипотенузе и катету другого, то такие
треугольники равны.
Док-во:
Рассмотрим треугольники АВС и
АВС, у которых углы С и С – прямые,
АВ=АВ, ВС=ВС. Докажем, что
АВС=
АВС.
Т.к.
С=
С, то треугольник АВС
можно наложить на треугольник АВС
так, что вершина С совместится с
вершиной С, а стороны СА и СВ
наложатся соответственно на лучи
Закре
плени
е
получ
енных
знани
й
11
мин
СА и СВ. Поскольку СВ=СВ, то
вершина В совместится с вершиной
В. Но тогда вершины А и А также
совместятся. В самом деле, если
предположить, что точка А
совместится с некоторой другой
точкой А луча СА, то получим
равнобедренный треугольник АВА, в
котором углы при основании АА не
равны (на рисунке
А острый, а
А тупой как смежный с острым
углом ВАС). Но это невозможно,
поэтому вершины А и А совместятся.
Следовательно, полностью
совместятся треугольники АВС и
АВС, т.е. они равны. Теорема
доказана.
После доказательств теорем, учитель
еще повторяет все формулировки и
доказательства, после чего переходит
к решению задач.
А теперь ребята, рассмотрим, как
применяются эти признаки при
решении задач.
Задача №1.
Один из углов прямоугольного
треугольника равен 60
0
, а сумма
гипотенузы и меньшего из катетов
равна 26,4. Найдите гипотенузу
треугольника.
Выходит ученик к доске (желающий)
Задача №2.
В треугольниках АВС и АВС углы А
и А-прямые, ВD и BD-биссектрисы.
Докажите, что
АВС=АВС если
угол В равен
В и ВD=BD.
На решение задачи к доске
2,13:
2,13
2
4,26
4,265,1
4,26
2
1
2
1
4,26
306090
000

АВОтвет
АВ
АВ
АВАВ
АВноВС
АВВС
АСВСВА
А
Решение.
А=
А,
В=
В
С=
С (по
теореме о
сумме углов
треугольника)
вызывается любой желающий.
Эта задача хороша не только тем, что
в ней работает новый материал, но и
тем, что при решении ее необходимо
воспользоваться материалом
предыдущей темы.
Т.к. ВД и ВД
биссектрисы и
ВД=ВД (по
условию), то
АВД=
АВД
ВДА=
ВДА (по
свойству
прямоугольног
о
треугольника)
ВДС=
ВДС
АВД
АВД и
ВДС
ВДС
(по катету и
острому углу)
АВС
АВС
Что и
требовалось
доказать.
Подве
дение
итого
в.
Дача
дома
шнего
задан
ия
С какими свойствами
прямоушлдбных треугольников мы
познакомились?
На дом: рассмотреть опорный лист,
выучить свойства прямоугольных
треугольников. Решить задачу №23,
24.
Анализ данного урока, проведенного мной учителем Бородиной О.А.,
показывает, важнейшим элементом технологии В.Ф. Шаталова является
составление опорного конспекта урока (опорного листа).
При изучении нового материала я старалась максимально применить
демонстрационный и фронтальный эксперимент, мультимедийные средства
обучения. Изложение материала строила в строгом соответствии с планом
расположения его в опорном конспекте и его содержанием. Однако считаю,
что рассказ учителя может быть расширен и углублён за счет привлечения
дополнительного, занимательного материала, исторических справок,
биографических сведений. В конспект же включается только тот материал,
который должен быть обязательно усвоен учеником. Во время объяснения
ученики не должны делать никаких записей. Для учеников главное на данном
этапе внимательно слушать объяснение учителя, отвечать на его вопросы,
размышлять, разбираться в изучаемом материале, а задача учителя -
добиться, чтобы каждый ученик понял каждую часть конспекта.
После объяснения материала всему классу предъявляется опорный
конспект (через видеопроектор). Используя рисунки на опорном конспекте,
быстро и четко повторяем весь изложенный материал. Ученикам хорошо
видно, что они должны усвоить по данной теме.
В конце урока учащиеся получают напечатанный конспект, который
они дома переписывают в тетрадь для конспектов, тем самым используется
моторная память учащихся. Я считаю, что опорные сигналы решают самую
сложную из педагогических проблем массового обучения: они позволяют
проверять домашнюю работу ученика в свернутом виде. Каждый ученик
работает систематически, каждый день, не надеясь на то, что его не вызовут
и не спросят.
На этапе проверки знаний необходимо добиваться не простого
запоминания конспекта (что прекрасно получается у учащихся с хорошо
развитой зрительной памятью), а его глубокого осмысления и понимания.
Для этого используются разнообразные формы контроля, такие как
написание по памяти опорного конспекта (полностью или частично по
вариантам), тихий опрос ассказ у стола учителя во время написания
классом опорного конспекта), магнитофонный опрос, взаимоопрос (рассказ
конспекта соседу по парте), «щадящая» форма фронтального опроса (на
вопросы учителя один вариант отвечает другому, а затем ученики
прослушивают правильный ответ учителя и оценивают ответ своего соседа).
Одним из видов оперативного контроля усвоения теоретического
материала являются математические диктанты, которые составляются в
соответствии с материалом, изложенном в конспекте.
Дальнейшая отработка материала проходит в ходе выполнения
фронтальных экспериментальных заданий, решения качественных и
количественных задач, во время выполнения лабораторных работ, тестовых
заданий, самостоятельных работ.
Учителю необходимо приводить свои доводы в защиту опорного
конспекта. Система опорных конспектов, по сравнению с традиционной
формой обучения, применяющейся в школе, имеет ряд преимуществ:
гибкость (подвижность элементов структуры проблемного
модуля, возможность дифференцирования и индивидуализации, интеграции
содержания обучения; технологическая динамичность и взаимозаменяемость
приемов и методов обучения, системы контроля и оценивания достижений
учащихся; возможность прогнозирования учебной деятельности с учетом
особенностей учебного материала и специфики конкретного коллектива
учащихся);
концептуальная и организационная простота для учащихся и
учителя истории, которая позволяет достигать реальных результатов в
решении заданий учителя, переносе оперативных знаний, формировании
компетентности;
систематическая (от занятия к занятию, от темы к теме)
самостоятельная деятельность учащихся при обучении истории,
дифференцированная в парах, группах, индивидуально. Специально
разработанные вопросы и задания проблемного, развивающего, логического
характера развивают у учащихся потребность в систематической подготовке
домашнего задания, изучения дополнительной литературы, что в конечном
итоге формирует у них такие нравственные качества как ответственность,
целеустремленность. Итогом этой целенаправленной работы является общее
развитие школьников.