Презентация "Аналитическое задание кривых на плоскости"

Реферат по геометрии.

• Тема: Аналитическое задание кривых на плоскости.

При написании реферата я поставила перед собой задачу познакомиться с параметрическими уравнениями кривых, полярными координатами, заданием кривых уравнениями в полярных координатах. Для этого я изучила циклоидальные кривые: кардиоиду, астроиду, нефроиду аналитически и их уравнения в параметрической форме. В ходе моих исследований выяснилось, что астроида и нефроида – кривые шестого порядка, а кардиоида и кривая Штейнера – четвертого. Еще я узнала много новых и интересных сведений о спиралях: спирали Архимеда и логарифмической спирали. Они имеют достаточно широкое применение в науке и технике. Например, по спирали Архимеда идет звуковая дорожка на грампластинке. Туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Архимеда.

• Введение.

• При написании реферата я поставила перед собой задачу познакомиться с параметрическими уравнениями кривых, полярными координатами, заданием кривых уравнениями в полярных координатах. Для этого я изучила циклоидальные кривые: кардиоиду, астроиду, нефроиду аналитически и их уравнения в параметрической форме. В ходе моих исследований выяснилось, что астроида и нефроида – кривые шестого порядка, а кардиоида и кривая Штейнера – четвертого. Еще я узнала много новых и интересных сведений о спиралях: спирали Архимеда и логарифмической спирали. Они имеют достаточно широкое применение в науке и технике. Например, по спирали Архимеда идет звуковая дорожка на грампластинке. Туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Архимеда.

Металлическая пластинка с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда. Что касается логарифмической спирали, то вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали, что позволяет сохранять при вращении постоянный угол резания и благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины, благодаря чему напор воды используется с наибольшей производительностью.

• Введение.

• Металлическая пластинка с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда. Что касается логарифмической спирали, то вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали, что позволяет сохранять при вращении постоянный угол резания и благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины, благодаря чему напор воды используется с наибольшей производительностью.

Разнообразные задачи из физики и математики, связанные с этими кривыми, послужили пробным камнем для мощных аналитических методов, созданных в веке Декартом, Лейбницем, Ньютоном, Ферма и другими учеными.

• Введение.

• Разнообразные задачи из физики и математики, связанные с этими кривыми, послужили пробным камнем для мощных аналитических методов, созданных в веке Декартом, Лейбницем, Ньютоном, Ферма и другими учеными.
• В своей работе я применяла энциклопедии, популярные лекции по математике, учебники для физико-математических школ, научно- популярные журналы.

Парабола.

• Кривые, заданные уравнением.

• Парабола.

• Уравнение параболы.

• Эллипс.

• Уравнение эллипса.

• Гипербола.

• Уравнение гиперболы.

• Лист Декарта.

• Уравнение листа Декарта.

• Кривые, заданные уравнениями в полярных координатах.

Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара (r;φ), где r – расстояние от точки А до точки О, φ – угол между полярной осью и вектором АО, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки, если φ>0, и по часовой стрелке, если φ<0.

• Полярные координаты.

• Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара (r;φ), где r – расстояние от точки А до точки О, φ – угол между полярной осью и вектором АО, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки, если φ>0, и по часовой стрелке, если φ<0.
• При этом первая координата r называется полярным радиусом, а вторая φ – полярным углом. Полярный угол φ можно задавать в градусах или радианах.

• Связь между полярными и декартовыми координатами.

• Трилистник и розы.

• Конхоида.

• Строфоида.

• Улитка Паскаля.

• Лист щавеля.

• Спирали.

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2аπ. Действительно, если угол φ увеличивается на 2π, то есть точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиуса на 2πа, что и составляет расстояние между соседними витками.

• Спираль Архимеда.

• Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2аπ. Действительно, если угол φ увеличивается на 2π, то есть точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиуса на 2πа, что и составляет расстояние между соседними витками.

• Логарифмическая спираль.

• Кривые, заданные параметрическими уравнениями.

• Параметрическое уравнение окружности.

• Параметрическое уравнение листа Декарта.

Рассмотрим циклоиду – кривую, которая описывается точкой, закрепленной на окружности радиуса R, тогда эта окружность катится по оси Ох.

• Циклоида.

• Рассмотрим циклоиду – кривую, которая описывается точкой, закрепленной на окружности радиуса R, тогда эта окружность катится по оси Ох.

• Параметрическое уравнение циклоиды.

Если d < R, то кривая называется укороченной циклоидой.

• Виды циклоиды:

• Если d < R, то кривая называется укороченной циклоидой.

Если d > R, то кривая называется удлиненной циклоидой.

• Виды циклоиды:

• Если d > R, то кривая называется удлиненной циклоидой.

Кардиоида – кривая, являющаяся траекторией движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по окружности того же радиуса.

• Кардиоида.

• Кардиоида – кривая, являющаяся траекторией движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по окружности того же радиуса.

• Уравнение кардиоиды.

Школьный курс геометрии полностью основан на геометрии Евклида, в которой изучаются свойства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль играют построения, вычисления же, хотя практическое значение их и велико, в теории играют подчиненную роль. Выбор того или иного построения обычно требует изобретательности. Это и составляет главную трудность при решении задач.

• Заключение.

• Школьный курс геометрии полностью основан на геометрии Евклида, в которой изучаются свойства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль играют построения, вычисления же, хотя практическое значение их и велико, в теории играют подчиненную роль. Выбор того или иного построения обычно требует изобретательности. Это и составляет главную трудность при решении задач.
• Современный мир можно познать, применяя различные геометрии:
• Лобачевского, аффинную и т.д. Одним из направлений геометрии является аналитическая геометрия. Она возникла из потребности создать единообразные средства для решения геометрических задач с тем, чтобы применить их к изучению важных для практики кривых линий различной формы.

Работая над рефератом, я расширила свой кругозор, приобрела навыки работы с параметрическими уравнениями. Аналитическая геометрия тесно связана со всеми науками, особенно с биологией и физикой. Например, цветки и листы любых растений, сложные траектории движения планет или каких – либо других физических тел можно описать с помощью уравнений кривых в полярных координатах.

• Заключение.

• Работая над рефератом, я расширила свой кругозор, приобрела навыки работы с параметрическими уравнениями. Аналитическая геометрия тесно связана со всеми науками, особенно с биологией и физикой. Например, цветки и листы любых растений, сложные траектории движения планет или каких – либо других физических тел можно описать с помощью уравнений кривых в полярных координатах.
• Материал достаточно сложный, в школе мы подобных тем не изучаем, поэтому я научилась работать с научной литературой. Все предметы, которые мы изучаем в школе, взаимосвязаны. Таким образом, только изучая их в комплексе, можно понять целостность окружающего нас мира.