Конспект урока - семинара "Цилиндр. Конус"
Конспект урока-семинара по теме «Цилиндр. Конус»
Учебник: Геометрия 10 – 11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый
и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. –
16-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 256.:ил. – ISBN 978-5-09-016419-1
Тип урока: урок-семинар.
Учебная задача: посредством самостоятельной деятельности учащихся
«открыть» новые пространственные фигуры – тела вращения, формулы их
боковой и полной площадей.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
− умеет работать с математической литературой;
− знает определение цилиндра, конуса, усеченного конуса;
− знает формулы боковой и полной поверхностей цилиндра, конуса,
усеченного конуса и их вывод;
− умеет изображать цилиндр, конус, усеченный конус;
− знает основные элементы цилиндра, конуса, усеченного конуса и может
их показать на готовом рисунке, модели;
− знает, как получены цилиндр, конус, усеченный конус (знает какую
фигуру и как нужно вращать, чтоб получить цилиндр, конус или
усеченный конус);
Методы работы: частично-поисковые, репродуктивный.
Форма работы: фронтальная.
Средства обучения: традиционные, презентация, канва-таблица.
Структура урока:
1. Мотивационно-ориентировочный этап (5-7 минут)
2. Содержательный этап (35 минут)
3. Рефлексивно – оценочный этап (2-5 минут).
2
Ход урока
I. Мотивационно-ориентировочный этап.
1. Актуализация.
- Давайте вспомним таблицу (многогранники/не многогранники).
Многогранники мы с вами уже изучили. Какие геометрические тела из этой
таблицы нам ещё не знакомы? (Цилиндр, конус, шар).
- Какие объекты есть в мире, которые имеют форму цилиндра? (стакан, банка
сгущенки, ведро, консервная банка, пенал).
- А какие предметы имеют форму конуса? (горшки для цветов, мороженое
рожок, воронка).
- Значит есть необходимость поговорить об этих предметах с точки зрения
геометрии.
- Оказывается, слово "цилиндр" произошло от греческого слова
"кюлиндрос", означающего "валик", "каток". На рубеже XVIII – XIX веков
мужчины многих стран носили твёрдые шляпы с небольшими полями,
которые так и назывались цилиндрами из-за большого сходства с
геометрической фигурой цилиндром. Оказывается, слово "цилиндр"
произошло от греческого слова "кюлиндрос", означающего "валик", "каток".
На рубеже XVIII – XIX веков мужчины многих стран носили твёрдые шляпы
с небольшими полями, которые так и назывались цилиндрами из-за большого
сходства с геометрической фигурой цилиндром.
- Слово "конус" произошло от греческого слова "конос", означающего
сосновую шишку. Действительно, есть некоторое сходство.
- Чтобы решать задачи с телами вращения, нужно вспомнить такое понятие
как сечение. Итак, что называется сечением? (Сечение — изображение
фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета секущей
плоскостью. В сечении показывается только то, что находится в секущей
плоскости.)
3
2. Мотивация.
- Наш урок мы посвятим еще одному особому виду пространственных тел –
телам вращения. Итак, тема нашего урока – семинара «Цилиндр, конус,
усеченный конус»
3. Постановка учебной задачи.
Цель нашего урока – узнать об этих геометрических фигурах и выяснить, как
и откуда они появляются.
4. Планирование решения поставленной задачи.
Во время урока учитель делит учеников на три группы:
I группа изучает, а затем рассказывает всему классу пункты 59 - 60 §1 про
цилиндр,
II – пункты 61 – 62 про конус,
III – пункт 63 про усечённый конус.
Ученики во время урока заполняют канву-таблицу
II. Содержательный этап.
ЦИЛИНДР.
Учитель вызывает поочередно представителей первой группы.
Ученики (представители первой группы):
Учитель: Рассмотрим понятие цилиндра, площадь поверхности цилиндра,
сечение цилиндра различными плоскостями. Остальные помечают все
названные элементы в канве - таблице.
Вызывается первый ученик первой группы
Учитель: Опишите построение цилиндра. Остальные в таблице делают
соответствующие записи.
4
(При этом заранее изображены плоскости и окружность в плоскостях на
доске и в таблице).
Ученик1: Рассмотрим две параллельные плоскости α и β, и окружность L с
центром в точке O радиуса r, расположенную в плоскости α. Через каждую
точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α.
Поверхность, образованная этими прямыми называется цилиндрической
поверхностью. Сами прямые называются образующими цилиндрической
поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к
плоскости α, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все
образующие и ось перпендикулярны к плоскости α, то они параллельны
друг другу (по теореме о том, что, если две прямые перпендикулярны
одной плоскости, то они параллельны). Отрезки образующих,
заключенные между плоскостями α и β, параллельны и равны друг другу
(по свойству параллельных прямых). По построению концы этих отрезков,
расположенные в плоскости α, заполняют окружность L. Концы же,
расположенные в плоскости β, заполняют окружность L
1
с центром О
1
радиуса r, где О
1
– точка пересечения плоскости β с осью цилиндрической
поверхности.
Учитель: Молодец! Есть ли у первой группы вопросы по построению?
(нет)
Учитель: А теперь исходя из построения и введенного понятия
цилиндрической поверхности и ее элементов давайте попробуем
сформулировать определение цилиндра?
Ученики: Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя
кругами с границами L и L
1
, называется цилиндром.
Вызывается второй ученик первой группы.
Учитель: Второй представитель группы укажет и запишет все элементы
цилиндра на рисунке. Остальные так же указывают элементы в таблице.
Ученик2 указывает и записывает элементы на доске, остальные делают то
же самое в таблице.
Учитель: (к ученикам первой группы) сколько образующих имеет
цилиндрическая поверхность?
Ученики: бесконечно много.
5
Учитель: через какие точки проходит ось цилиндра?
Ученики: Через центры кругов.
Учитель (к ученику2) Укажи еще раз все элементы цилиндра на модели.
Ученик берет в руки модель и указывает элементы.
Учитель: Сформулируй еще раз определение цилиндра.
Ученик2: Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя
кругами с границами L и L
1
, называется цилиндром.
Учитель: Почему цилиндр называется фигурой вращения?
Ученик2: Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника
вокруг одной из его сторон.
Учитель: Теперь перейдем к изучению площади поверхности
цилиндра.(вызывает третьего ученика первой группы)
Учитель: Ребята, посмотрите, пожалуйста, на рисунок. На рисунке
изображен цилиндр, АВ его образующая, r – радиус, h – высота.
Представим, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и
развернули так, что все его образующие оказались расположенными в
некоторой плоскости α.Мы можем это сделать на нашей модели. (разрезает
модель, спрашивает ученика у доски) какие фигуры получились в
результате?
Ученик3: (изображает на доске) в плоскости α получился прямоугольник
АВВ
1
А
1
.
Учитель: чем является данный прямоугольник для цилиндра?
(формулы площадей ученик3 записывает на доске а остальные в таблицу)
Ученик3: Этот прямоугольник называется разверткой боковой
поверхности цилиндра. Основанием прямоугольника АА
1
– развертка
окружности основания цилиндра, тогда АА
1
=2πr, высота прямоугольника
АВ – образующая цилиндра и АВ=h.
Учитель: что мы примем за площадь боковой поверхности?
Ученик3: За площадь боковой поверхности цилиндра принимается
площадь его развертки. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра
равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей боковой
поверхности и двух оснований.
.
Учитель: молодец , есть ли у кого ни будь вопросы?(нет)
6
Далее рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Расскажет
нам четвертый представитель первой группы.
(Ученик4 изображает на доске, остальные в таблице).
Ученик4: Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то
сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого –
образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение
называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси
цилиндра, то сечение является кругом.
Учитель: А есть ли еще сечения цилиндра?
Ученик4: …
Учитель в презентации показывает еще возможные варианты сечений
цилиндра.
Учитель (вопросы ко всем): Из чего состоит развертка цилиндра?
Ученики: Из прямоугольника и двух кругов.
Учитель: Чему равна длина окружности?
Ученики: 2πr.
Учитель: Чему равны стороны прямоугольника?
Ученики: h и 2πr.
Учитель: Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра? (спросить
нескольких человек)
Ученики:
rhS
áîê
2
.
Учитель: Чему равна площадь полной поверхности цилиндра?
Ученики:
)(2 hrrS
ï
.
Учитель: Молодцы, ребята! Теперь решим задачу № 539. Читаем условия.
Ученик читает условия:Сколько понадобиться краски, чтобы покрасить
бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м,
если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?
Учитель(ко всем ученикам): Что известно?
Ученики: Диаметр основания 1,5 м и высота 3 м, на один квадратный метр
расходуется 200 г краски.
Учитель: Что нам нужно найти?
Ученики: Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак
цилиндрической формы.
Учитель: Как будем решать?
Ученики: Давайте сначала найдем площадь поверхности цилиндра.
Учитель:Договоримся, что бак будет с крышкой. Тогда будем находить
площадь полной поверхности цилиндра или боковой поверхности
цилиндра?
7
Ученики: Площадь полной поверхности цилиндра.
Учитель: Что сделаем потом?
Ученики: Полученную площадь умножим на 200 г.
Учитель: Молодцы. Записываем решение и ответ.
Конус.
- Теперь переходим к изучению следующего геометрического тела вращения
– конуса. О нём нам расскажет вторая группа. (Вызывается к доске
представитель второй группы). А все остальные внимательно слушают и
заполняют таблицы.
Ученик:
- Рассмотрим построение конуса. (На доске и в таблицах заранее
изображены плоскости и окружность). Рассмотрим окружность с центром
и прямую , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Через
точку и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность,
образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами
прямые – образующими конической поверхности. Точка называется
вершиной, а прямая – осью конической поверхности.
Учитель:
- Хорошо, молодец. У кого есть вопросы по построению? (Если есть
вопросы, то обсудить их).
- Давайте попробуем сформулировать определение конуса, исходя из
построения и введённых понятий конической поверхности и её элементов.
(Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей ,
называется конусом).
- Теперь следующий ученик из второй группы подпишет на рисунке
элементы конуса, а вы сделаете то же самое в таблицах.
Ученик:
- Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности –
вершиной конуса, отрезки образующих, заключённые между вершиной и
основанием, - образующими конуса, а образованная ими часть конической
поверхности – боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности
называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и
основанием, - высотой конуса.
8
Учитель:
- Хорошо, спасибо, ты молодец, садись. А теперь давайте покажем на модели
названные элементы конуса.
Учитель: теперь следующий представитель второй группы расскажет о
свойстве конуса.
Второй ученик: Свойство конуса: все образующие конуса равны друг другу.
Их равенство следует из равенства прямоугольных треугольников, катетами
которых являются высота конуса и радиусы основания.
Учитель: Запишите это свойство в тетрадях. Как можем получить конус?
Второй ученик: Конус может быть получен вращением прямоугольного
треугольника вокруг одного из его катетов. Поэтому конус – фигура
вращения.
Учитель: есть ли у вас вопросы? (нет) теперь рассмотрим площадь
поверхности конуса. Расскажет нам следующий представитель второй
группы.
Третий ученик: Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность
цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из
образующих. Боковой разверткой конуса является круговой сектор, радиус
которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине
окружности основания конуса.
Учитель: что принимают за площадь боковой поверхности?
Третий ученик: За площадь боковой поверхности конуса принимается
площадь ее развертки. Таким образом, площадь боковой поверхности конуса
равна произведению половины длины окружности основания на
образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма
площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади
полной поверхности конуса получается формула:
.
Учитель: молодец, есть ли у Вас вопросы? (нет) Рассмотрим сечения конуса
различными плоскостями. Про это нам расскажет следующий представитель
второй группы.
Четвертый ученик: Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то
сечение представляет собой равнобедренный треугольник, так как
образующие конуса равны, основание которого – диаметр основания конуса,
а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение
представляет собой круг с центром расположенным на оси конуса.
Учитель: Есть ли у вас вопросы? (Если вопросы есть, то они обсуждаются с
выступающим и с классом.)
9
Спасибо, садись.(вопросы ко всему классу) Из чего состоит развертка
конуса?
Ученики: Из кругового сектора и круга.
Учитель: Чему равна длина окружности?
Ученики: 2πr.
Учитель: Чему равен радиус и длина кругового сектора?
Ученики: l и 2πr.
Учитель: Чему равна площадь боковой поверхности конуса?
Ученики:
rlS
áîê
2
Учитель: Чему равна площадь полной поверхности конуса?
Ученики:
.
Учитель: Теперь давайте решим задачу.
№563. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6
. Высота конуса равна
1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
Учитель:
- что нам известно из условия задачи? (площадь осевого сечения и высота
конуса).
- что нужно найти? (площадь полной поверхности).
- что будет осевым сечением конуса? (равнобедренный треугольник).
- поэтому для удобства изобразим только осевое сечение.
-Как найти площадь полной поверхности конуса?
(
)
-Что нам неизвестно в этой формуле? (длина образующей и радиус
основания)
- Как их найти? (Рассмотрим треугольник APB, в котором проведена высота
H, найти его площадь, и выразить из неё радиус основания)
A
P
B
O
H
r
r
10
(Ученики в тетрадях делают чертёж и записывают все вычисления)
- А как найти ? (По теореме Пифагора из любого из двух равных
треугольников).
- Теперь мы можем найти площадь полной поверхности конуса?
.
Записываем ответ:
Усечённый конус
Учитель:
- Теперь займёмся изучением усечённого конуса. Об этом нам расскажет
третья группа. (К доске вызывается первый представитель из 3-й группы).
- Расскажите нам, как получить усечённый конус?
(на доске и в таблице уже изображен произвольный конус со всеми его
элементами).
Ученик№1:
- Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость,
перпендикулярную его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и
разбивает конус на две части. Верхняя часть представляет собой конус, а
другая называется усечённым конусом.
Учитель: Хорошо, ты нам рассказал, как получить усечённый конус. У кого
есть вопросы по построению? (Если вопросы есть, обсудить их).
- Теперь следующий ученик расскажет нам об элементах усечённого конуса,
подпишет их на рисунке, а все остальные подпишут их в таблице.
11
Ученик№2:
- Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса
плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок,
соединяющий их центры, - высотой усечённого конуса. Часть конической
поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой
поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые
между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все
образующие усечённого конуса равны друг другу.
Учитель:
- Хорошо. Есть ли вопросы? Тогда давайте ещё раз на модели покажем все
элементы усечённого конуса. (Показали).
- Теперь третий ученик нам расскажет, почему усечённый конус называют
фигурой вращения.
Ученик№3:
- Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции
вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Поэтому
усеченный конус так же является телом вращения.
Учитель:
- Хорошо. Как найти площадь полной поверхности усеченного конуса?
Ученик№3:
- Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей боковой
поверхности и оснований. Площади оснований конуса равны
. А площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую:
. Тогда получаем, что
.
Здесь R и r – радиусы его верхнего и нижнего оснований; l – его образующая.
Учитель:
- Молодец. Есть ли вопросы?
12
- Далее мы рассмотрим сечения усечённого конуса. Об этом нам расскажет
следующий ученик третьей группы. А все остальные в своих таблицах
выполняют чертёж и всё подписывают.
Ученик№4:
Сечение усеченного конуса различными плоскостями аналогично сечению
конуса, только в осевом сечении усеченного конуса получается не
равнобедренный треугольник, а равнобедренная трапеция.
Учитель:
- Хорошо. А теперь вопрос ко всем. Как найти площадь боковой поверхности
усечённого конуса?
Ученик:
Учитель: Чему равна площадь полной поверхности усеченного конуса?
Ученики:
.
Учитель: Хорошо, все молодцы. Теперь давайте решим задачу №572.
Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны
15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. сколько килограммов краски нужно
взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на
требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведер в расчёт не принимать).
Учитель: Итак, что нам известно?
Ученики: На один квадратный метр требуется 150 г краски, радиус меньшего
основания 10 см, радиус большего основания 15 см, длина образующей 30
см.
Учитель: Что требуется найти в задаче?
Ученики: Массу краски для покраски 100 ведер.
Учитель: Чтобы найти массу краски, нам нужно знать площадь полной
поверхности ведра, т.е. усечённого конуса. Как это найти?
Ученики:
Учитель: В этой формуле мы видим площадь боковой поверхности конуса и
площади оснований. Как найти площадь боковой поверхности?
Ученики:
Учитель: А как найти площадь основания?
Ученики:
.
13
Учитель: Нам всё известно, поэтому давайте найдём площадь полной
поверхности
Учитель: Итак, какую пропорцию можно составить?
1м – 100 см
1
- 10
-
Тогда расход краски составит:
Учитель: Решили мы задачу?
Ученики: Да.
Учитель: Записываем ответ.
15
10
30
14
Ответ: 8 кг.
III. Рефлексивно – оценочный этап.
Учитель: Итак, ребята, какова была цель нашего урока?
Ученики: Изучить новый вид тел: цилиндр, конус и усеченный конус.
Учитель: Достигли мы её?
Ученики: Да.
Учитель: Что называется цилиндром?
Ученики: Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя
кругами с границами – окружностями.
Учитель: Что называется конусом?
Ученики: Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с
границей – окружностью.
Учитель: Что называется усеченным конусом?
Ученики: Часть конуса, ограниченная его основанием и сечением,
параллельным плоскости основания, называется усеченным конусом.
Учитель: Давайте запишем домашнее задание.
Домашнее задание: учить таблицы.
15
Канва-таблица «Конус»
Построение
Сечения
Осевое
Круг
Развёртка
О
r
16
Канва-таблица «Конус» (заполненная)
Построение
Сечения
17
Развёртка
18
Канва-таблица «Усечённый конус»
Построение
Сечения
Осевое
Круг
19
Канва-таблица «Усечённый конус» (заполненная)
Построение
Сечения
Осевое
Круг
20
Цилиндр.
Построение:
Площадь поверхности цилиндра:
Развертка цилиндра:
Сечения цилиндра:
21
