Ученики на Учителя.com


Конспект урока "В царстве треугольников" 7 класс

Конспект урока в 7 классе
«В царстве треугольников».
Цели:
обобщить и систематизировать знания учеников о треугольнике, его элементах;
рассмотреть свойства замечательных линий треугольника; показать прикладную
направленность свойств треугольника;
развивать и обогащать пространственное мышление, развивать познавательные
умения;
формировать навыки групповой работы в сочетании с самостоятельностью
учеников,
формировать навыки культурной дискуссии.
Подготовка к уроку.
I. Группа разбивается на 5 подгрупп. Каждая из них получает отдельное
задание по теории. Она должна изучить соответствующие разделы
учебника, прочитать дополнительную литературу и приготовить один-два
типичных задания по заданной теме.
Задания.
1. «Дать определение треугольника, его элементов»; записать «Неравенства
треугольника»; «Средней линии треугольника», «Сумма углов треугольника»,
«Виды треугольников».
2. Признаки равенства и подобия треугольников.
3. Замечательные линии треугольников. Теорема Чевы.
4. Применение свойств треугольника при решении задач практического
характера.
5. Занимательная геометрия. Треугольник в художественной литературе.
II. Нужно приготовить карточки-задания (по одной на парту) с вопросами по
каждому сообщению. Это делается для того, чтобы все внимательно
слушали и смогли найти ответ на вопрос из карточки. А чтобы ученики не
могли по номеру догадаться, когда наступит их черед отвечать на данный
вопрос, номер вопроса на карточке должен быть произвольным.
Вопросы.
21. Существует ли треугольник ABC со сторонами:
а) АВ = 5 см, АС = 18 см, ВС = 12 см?
б) АВ = 7 см, АС = 8 см, ВС = 12 см?
42. Как установить, равны два треугольника или нет?
45. Назовите свойства равнобедренного треугольника. Какие из них содержатся в
определении, а какие нужно доказывать?
28. Есть ли ошибки в следующих определениях:
а) Треугольник, у которого две стороны и два угла равны, называется
равнобедренным?
б) Средней линией треугольника называется прямая, проходящая через
середины двух его сторон.
в) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины
двух его сторон и параллельный основанию.
18. Могут ли равносторонние треугольники быть:
а) прямоугольными?
б) тупоугольными?
Ответ обоснуйте.
63. Как найти центр окружности, если он неизвестен?
37. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить
фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены.
57. В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было
равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?
Оборудование. Персональный компьютер, класс-комплект, мультимедийный
проектор, презентация «В мире треугольников», карточки-задания.
Ход урока.
I. Вступительное слово преподавателя из истории треугольника.
Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники
и иные математические фигуры.
Галилео Галилей
Треугольник – это простейшая фигура из многоугольников: три стороны, три
угла – играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь
подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как
о самостоятельном разделе элементарной геометрии.
Изучение треугольника породило целую науку – тригонометрию, которая
возникла из практических потребностей при измерении земельных участков,
составлении карт местности, конструировании различных механизмов.
Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся в египетских
папирусах. 4 000 лет назад в них, например, предлагается находить площадь
равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую
сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при
вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение
площади.
Через 2 000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника ведется очень
активно. Пифагор открывает свою теорему (Как звучит эта теорема? – Квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.); Герон Александрийский находит
формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны (Запись формулы
на доске -
cpbpappS
где p – полупериметр треугольника), которая
получила название формулы Герона; становится известным, что биссектрисы, как и
медианы и высоты пересекаются в одной точке.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот
одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру:
«Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от
вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Эта окружность
получила название «окружности девяти точек». Ее центр оказался в середине
отрезка, соединяющую точку пересечения высот с центром описанной окружности.
Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XV-XIX
веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все. Тем удивительнее
было открытие, сделанное американским математиком
Ф. Морли. Он доказал, что если в треугольнике через вершины провести лучи,
делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис
являются вершинами равностороннего треугольника.
Вы изучали подробно свойства треугольника в школе. Сегодня мы обобщим
ваши знания, приведем их в систему и, возможно, вы узнаете что-то новое о
треугольнике.
II. Выступает первый представитель первой группы, который дает определение
треугольника, его элементов. Также он рассказывает о «неравенствах
треугольника», разных видах треугольников, дает определение средней линии
треугольника, формулирует теорему о сумме углов треугольника.
(Основные положения записываются в тетрадях)
- На чьих карточках вопросы соответствуют докладу первой группы?
Ученики поочередно зачитывают свои вопросы (21, 45, 28, 18, 72) и отвечают
на них. Далее продолжается отчет первой группы. Ее следующий представитель
демонстрирует решение одной из выбранных ранее задач.
III. – Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со
времен «Начал» Евклида покоится на трех китах – трех признаках равенства
треугольников. Лишь на рубеже XIX – XX веков математики научились строить
геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство
треугольников, понятия геометрического преобразования, которому мы посвятим
отдельные уроки. А сегодня вспомним три признака равенства треугольников.
Представитель второй группы формулирует эти признаки.
- А еще в геометрии существуют отдельные признаки равенства для прямоугольных
треугольников:
1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного
треугольника, то данные треугольники равны.
2. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника,
то такие треугольники равны.
3. если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Ученики разбирают ответы по карточкам (42, )
IV. – Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так
называемых замечательных точек и линий, простейшие из которых мы и
рассмотрим.
Представители третьей группы формулируют и демонстрируют свойства
замечательных линий и точек, а также «Теорему Чевы».
Далее решаются задачи по карточкам (63, 37, 57).
V. – Немаловажный вопрос данного урока – прикладная направленность свойств
треугольника. Приведем несколько примеров.
Инженеры любят треугольник за его «жесткость»: даже если стержни,
образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в
отличие от четырехугольников и многоугольников с большим числом сторон, где
такое соединение допускает изменение формы многоугольника. Взгляните на
металлические фермы мостов – составляющие их балки образуют треугольники. А
устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость..
Даже в такой, казалось бы, далекой от геометрии науке – психологии не
обошлось без треугольника. Американский психолог Картман разработал так
называемый «Драматический» или «Конфликтный треугольник», позволяющий
построить психологически здоровую личность.
А представитель четвертой группы расскажет нам о возникновении
тригонометрии – науки об измерении треугольника, которая появилась из
практической деятельности человека.
VI. - Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он
находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней
красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из
свидетельств тому – несколько составленных им геометрических задач.
Задача На сторонах произвольного треугольника АВС внешним образом
построены как на основаниях равнобедренные треугольники. Доказать, что центры
этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.
В
1
В
С
1
О
2
О
1
А С
О
3
А
1
- Первый представитель пятой группы демонстрирует решение задачи
- Второй представитель пятой группы демонстрирует решение задачи из задачника
1150 года «Венец системы»:
Над озером тихим, с полфута размером,
Высится лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока? (Перевод
Решение. По теореме Пифагора:
Пусть DC = х, тогда
BD
2
– x
2
= BC
2
, т.е.
x
2
= (x +
)
2
1
2
– 2
2
, С В
x
2
=x
2
+ x +1/4 – 4
х = 3
4
3
.
D
Ответ: искомая глубина 3
4
3
фута.
VII. Подведение итогов урока.
VIII. Домашнее задание.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: