Урок по геометрии "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Урок по геометрии в 10 кл.
«Перпендикулярность прямой и плоскости»
ЦЕЛЬ:
1) закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
2) вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению
типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
ПЛАН:
I Теоретический опрос.
1.Доказательство изученных теорем у доски.
2.Фронтальный опрос.
3.Презентации учащихся по данной теме.
II. Решение задач.
1.Решение устных задач по готовым чертежам.
2.Решение письменных задач (по группам).
3.Самостоятельная работа с индивидуальным заданием.
III. Итог урока. Задание на дом.
ХОД УРОКА:
I. Теоретический опрос (4 ученика у доски)
1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к
плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к
плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос:
(С помощью мультимедиапроектора на экране появляются вопросы, и ученики отвечают на
них) <Приложение-1>.
1. Закончить предложение:
а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…
(угол между ними равен 90 )
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…
(она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…
(параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…
(перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они…
(параллельны)
2. Дан параллелепипед
а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости
(ответ: AD; ; ; BC)
2) плоскости, перпендикулярные ребру
(ответ: (АВС); ( ) )
б) Определите взаимное расположение
1) прямой и плоскости (DСВ)
(ответ: они перпендикулярны)
2) прямой и плоскости (DCB)
(ответ: они параллельны)
Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по
необходимости. Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом
учеников в качестве зачётных работ. (Накануне изучения каждой темы учащимся предлагается
такой вариант зачёта).<Приложение-2>,<Приложение-3>,< Приложение-4>.
II. Решение задач.
1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)
№1.
Дано: С
Доказать:
Доказательство: Т.к.
,т.е. АМ и АВ
лежат в плоскости (АМВ), то по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.
№2.
Дано: ВМDC-прямоугольник,
Доказать:
Доказательство:
, т.к. ВМDC – прямоугольник,
по условию, , т.е.
ВС и АВ лежат в плоскости (АВС)
по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости.
СD || МВ по свойству сторон
)(
1
DCC
11
DA
11
CB
1
BB
111
CBA
11
CD
ААМныйпрямоугольАВС ;
)(АВСМ
)(АМВАС
АВаАМАМиАСАВАС ,
)(АМВАС
АВМВАВСМ ),(
)(АВССD
ВСМВ
АВМВ
АВВС
)(АВСМВ
прямоугольника по теореме о двух
параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости) Ч.т.д.
№3.
Дано: АВСD прямоугольник, ,
Доказать:
Доказательство:
1) , т.к. АВСD – прямоугольник,
, по условию, , т.е.
МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) (по свойству сторон прямоугольника) по теореме о двух
параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая к
этой плоскости)
3) Т.к. по определению прямой, перпендикулярной плоскости. Ч.т.д.
№4.
Дано: АВСD – параллелограмм. , МВ=МD,
МА=МС.
Доказать:
Доказательство: 1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей
параллелограмма, то АО=СО и ВО= DO. -
равнобедренный, т. к. ВМ=МD по условию, значит МО-
медиана и высота, т.е. .
2) Аналогично доказывается: в .
3) Итак, , а ВD и АС – пересекающиеся
прямые, лежащие в плоскости (АВС) МО (АВС) по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.
(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз
формулировки применяемых теорем.)
2. Решение письменных задач.
Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с
последующей проверкой решения у доски.
№1.2 (№125 учебника)
Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости и
пересекающие её соответственно в точках и . Найдите , если PQ=15 cм;
; .
)(ABCCD
)(АВСМ
ВСМВ
АМAD
90=АВС
АВВС
МВВС
ВАВМВ =
)(АМВВС
ADВС ||
)(AMBAD
AMADAMBAD )(
)(АВСМ
)(АВСМО
BMD
BDМО
ACMOAMC :
АСиМОBDMO
1
Р
1
Q
11
QP
смPP 5,21
1
=
смQQ 5,33
1
=