Ученики на Учителя.com


Урок по геометрии "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Урок по геометрии в 10 кл.
«Перпендикулярность прямой и плоскости»
ЦЕЛЬ:
1) закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
2) вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению
типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
ПЛАН:
I Теоретический опрос.
1.Доказательство изученных теорем у доски.
2.Фронтальный опрос.
3.Презентации учащихся по данной теме.
II. Решение задач.
1.Решение устных задач по готовым чертежам.
2.Решение письменных задач (по группам).
3.Самостоятельная работа с индивидуальным заданием.
III. Итог урока. Задание на дом.
ХОД УРОКА:
I. Теоретический опрос (4 ученика у доски)
1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к
плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к
плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос:
(С помощью мультимедиапроектора на экране появляются вопросы, и ученики отвечают на
них) <Приложение-1>.
1. Закончить предложение:
а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…
(угол между ними равен 90 )
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…
(она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…
(параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…
(перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они…
(параллельны)
2. Дан параллелепипед
а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости
(ответ: AD; ; ; BC)
2) плоскости, перпендикулярные ребру
(ответ: (АВС); ( ) )
б) Определите взаимное расположение
1) прямой и плоскости (DСВ)
(ответ: они перпендикулярны)
2) прямой и плоскости (DCB)
(ответ: они параллельны)
Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по
необходимости. Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом
учеников в качестве зачётных работ. (Накануне изучения каждой темы учащимся предлагается
такой вариант зачёта).<Приложение-2>,<Приложение-3>,< Приложение-4>.
II. Решение задач.
1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)
№1.
Дано: С
Доказать:
Доказательство: Т.к.
,т.е. АМ и АВ
лежат в плоскости (АМВ), то по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.
№2.
Дано: ВМDC-прямоугольник,
Доказать:
Доказательство:
, т.к. ВМDC – прямоугольник,
по условию, , т.е.
ВС и АВ лежат в плоскости (АВС)
по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости.
СD || МВ по свойству сторон
)(
1
DCC
11
DA
11
CB
1
BB
111
CBA
11
CD
ААМныйпрямоугольАВС ⊥− ;
)(АВСМ
)(АМВАС ⊥
АВаАМАМиАСАВАС ⊥⊥ ,
)(АМВАС ⊥
АВМВАВСМ ⊥ ),(
)(АВССD ⊥
ВСМВ ⊥
АВМВ ⊥
АВВС
)(АВСМВ ⊥
прямоугольника по теореме о двух
параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости) Ч.т.д.
№3.
Дано: АВСD – прямоугольник, ,
Доказать:
Доказательство:
1) , т.к. АВСD – прямоугольник,
, по условию, , т.е.
МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) (по свойству сторон прямоугольника) по теореме о двух
параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая к
этой плоскости)
3) Т.к. по определению прямой, перпендикулярной плоскости. Ч.т.д.
№4.
Дано: АВСD – параллелограмм. , МВ=МD,
МА=МС.
Доказать:
Доказательство: 1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей
параллелограмма, то АО=СО и ВО= DO. -
равнобедренный, т. к. ВМ=МD по условию, значит МО-
медиана и высота, т.е. .
2) Аналогично доказывается: в .
3) Итак, , а ВD и АС – пересекающиеся
прямые, лежащие в плоскости (АВС) МО (АВС) по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.
(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз
формулировки применяемых теорем.)
2. Решение письменных задач.
Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с
последующей проверкой решения у доски.
№1.2 (№125 учебника)
Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости и
пересекающие её соответственно в точках и . Найдите , если PQ=15 cм;
; .
)(ABCCD ⊥
)(АВСМ
ВСМВ ⊥
АМAD ⊥
90=АВС
АВВС ⊥
МВВС ⊥
ВАВМВ =
)(АМВВС ⊥
ADВС ||
)(AMBAD ⊥
⊥
AMADAMBAD ⊥⊥ )(
)(АВСМ
)(АВСМО ⊥
BMD
BDМО ⊥
ACMOAMC ⊥ :
АСиМОBDMO ⊥⊥
⊥
1
Р
1
Q
11
QP
смPP 5,21
1
=
смQQ 5,33
1
=
Решение:
1. и по условию
(обосновать)
2. определяют некоторую плоскость ,
3. - трапеция с основаниями ,
проведём
4. QK=33,5-21,5=12(см)
Ответ:
Рис. 7
№2.2
В прямоугольном параллелепипеде АВ=9см; ВС=8см; ВD =17см.
Найдите площадь .
Решение:
1. : ; АD=BC=8см;
ВD=
2. : ;
DD = ;
3. S = .
Ответ:
№3.2
Отрезок МН пересекает плоскость в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР,
перпендикулярные к плоскости . НР=4см; МЕ=12см; НК=5см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:
1. Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости ,
то МЕ || НР (обосновать) и через них проходит некоторая
плоскость ;
2. ; (обосновать), т.е.
3. :
4. (накрест лежащие для параллельных
⊥
1
РР
⊥
1
QQ
11
|| QQPP
11
иQQРР
11
QP=
QQPP
11
11
иQQPP
11
|| QPPK
)(9811215
22
11
смPKQP ==−==
смQP 9
11
=
1111
DCBАВСDA
1
11
BBDD
АВD
90=BAD
)(14598
22
см=+
BDD
1
90
1
= DBD
1
см12144)145(17
22
==−
DDBB
11
2
1
)(14512 смDDBD =
2
14512 см
ЕР=
ЕРМЕ ⊥
ЕРНР ⊥
90== НРКМЕК
НРК
)(345
22
смКР =−=
РНКЕМК =
прямых МЕ и НР и секущей МН), тогда подобен по двум углам и ,
т.е. ЕК= , РЕ = РК+КЕ,
РЕ = 3 + 9 = 12(см)
Ответ: РЕ = 12 см.
3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме).
Вариант-I
Вариант-II
Через вершины А и В прямоугольника АВСD
проведены параллельные прямые и ,
не лежащие в плоскости прямоугольника.
Известно, что . Найдите
, если
Через вершины А и В ромба АВСD проведены
параллельные прямые и , не лежащие
в плоскости ромба. Известно, что
Найдите
Решение:
1.
(по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости),
а т.к. ,то .
2. . По теореме Пифагора:
.
3. - прямоугольный. По теореме
Пифагора
.
Ответ: 15 см.
Решение:
1.
- по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости),
а т.к.
2. Используя свойство диагоналей ромба, имеем
в : . По
теореме Пифагора ,
3. - прямоугольный. По теореме
Пифагора .
Ответ: 5 см.
МЕК
НРК
РК
ЕК
НР
МЕ
=
=
34
12 ЕК
)(9
4
312
см=
АА
1
ВВ
1
АDАААВАА ⊥⊥
11
;
BB
1
.16,12,25
1
смАDсмАВсмDB ===
АА
1
ВВ
1
.,
11
АВВВВСВВ ⊥⊥
.10,16,13,
11
смАВсмВDсмСеслиААА ===
=⊥⊥ AАDаАВАDАААВАА ,,
11
)(
1
АВСАА ⊥
11
|| ВВАА
ВDВВАВСВВ ⊥⊥
11
)(
90: = ВАDАВD
)(204002561441612
22
смВD ==+=+=
ВDВ
1
)(152025
22
1
смВВ =−=
=⊥⊥ ВВСаАВВСВВАВВВ ,,
11
)(
1
АВСВВ ⊥
АСАААВСтоААААВВ ⊥⊥
1111
)(,||
АОВ
смВDВОАОВ 8
2
1
,90 ===
)(6810
22
смАО =−=
смАСАСАО 12
2
1
==
АСА
1
)(51213
22
1
смАА =−=
Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант-III)
Дано:
АВ=АС=ВС; ; АМ=МВ;
DМ=15 дм; СD=12 дм.
Найти:
Решение:
1. Т.к. и
, т.е. - прямоугольные.
2. (по двум катетам) АD=ВD, т.е.
- равнобедренный и DM – медиана, а значит и
высота;
3. - прямоугольный, тогда
4. - равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. - прямоугольный,
тогда , а АВ=ВС (по условию).
5. ; .
Ответ: .
III. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной
теме, глава II, №130, №131.
Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов
Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение
геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по
геометрии» автора В.А. Яровенко.
;АВС
)(АВССD ⊥
ADB
S
⊥ )(FDCСD
ACCD ⊥
BCCD ⊥
BDCADC ,
BDCADC =
ADB
MCDMCDC ⊥
.91215
2222
=−=−= DCDMМС
АВС
МСВ
,sin,60
BC
MC
BВ ==
36
3
18
2
3
9
60sin
====
МС
ВС
=
ADB
S
ABDM
2
1
=
ADB
S
3453615
2
1
=
345
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: