Сценарий урока по геометрии "Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника" 8 класс
Сценарий урока по геометрии в 8 классе
Тема урока: Тригонометрические функции острого угла прямоугольного
треугольника.
Тип урока: изучение нового материала.
Цель: формирование у учащихся знаний и умений о тригонометрических
функциях острого угла прямоугольного треугольника, введение понятий
синуса, косинуса и тангенса угла; научить применять данные понятия при
решении задач.
Формируемые результаты:
Предметные: формулировать определения синуса, косинуса, тангенса и
котангенса острого угла прямоугольного треугольника, записывать
тригонометрические формулы.
Личностные: формировать устойчивый познавательный интерес; целостное
мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и
общественной практики.
Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать
обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно
выбирать основания и критерии для классификации.
Планируемые результаты: Учащийся научится формулировать определения
синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного
треугольника, записывать тригонометрические формулы, выражающие
связь между тригонометрическими функциями одного и того же
угла
Учебное оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран.
Ресурсы: презентация.
Организационная структура урока
Этап урока
Деятельность учителя
Деятельнос
ть
учащихся
1.Организа
ционный
момент
(7сек.)
Заставка о геометрии (слайд №1)
-Добрый день, ребята!
- Проверьте все ли у вас готово к уроку. Тетрадь,
чертежные принадлежности.
- Готовы к уроку? Итак, начинаем.
Настраивают
ся на урок ,
проверяют
готовность
своего
рабочего
места
2.
Актуализац
ия знаний
(30 сек.)
- Ребята, как вы заметили, большинство
геометрических задач решается с помощью
прямоугольного треугольника.
- Что мы о нем знаем? Какие теоремы позволяют
решать прямоугольный треугольник, т. е.
находить неизвестные элементы?
1. Теорема Пифагора;
2. Теорема об угле в 30 градусов;
3. Теорема о сумме острых углов прямоугольного
треугольника,
4. Метрические соотношения. (Во время
трансляции учитель на все вопросы отвечает
сам).
Вспоминают и
формулируют
основные
теоремы
прямоугольног
о
треугольника.
3. Этап
мотивации
(4мин.)
Учитель: Давайте повторим, что мы знаем о
прямоугольном треугольнике (слайд №2)
-Как называются стороны в прямоугольном
треугольнике ?( Обратить внимание учащихся на
рисунок на слайде)
Решим задачу: .(слайд№3)
Перед вами три треугольника:
1) 2) 3)
3 10 4 5
3 3
5
Учитель: Подумайте и ответьте на вопросы:
1. Что их объединяет? (Они прямоугольные)
2. Чем отличаются? (Длинами сторон и
величиной острых углов)
3. Что мы знаем об этих треугольниках? (Знаем
длины некоторых сторон)
4. Можем найти длины неизвестных сторон?
Каким образом?
1)Первый треугольник прямоугольный,
равнобедренный третью сторону(биссектрису)
найдем по теореме Пифагора с
2
=а
2
+b
2
с
2
=18,с=3
2)a
2
=c
2
-b
2
,а=5
Запись решений на доске.
5. Можем найти градусные меры углов в этих
треугольниках? Какие правила надо
использовать? Как связаны длины сторон с
величинами углов в этих треугольниках?
Учитель:В первом углы по 45
0
по свойству
Решают
совместно с
учителем
задачи,
используя
свойства
прямоугольног
о треугольника
равнобедренного треугольника; во втором угол
лежащий напротив катета длиной 5,равен 30
0
(свойство катета,лежащего напротив угла в 30
0)
,а
второй угол 60
0
(свойство острых углов
прямоугольного треугольника)
В третьем треугольнике не можем найти
градусные меры углов. Нам не хватает знаний.
Какова сегодняшняя задача? (Найти
зависимость между длинами сторон
прямоугольного треугольника и его острыми
углами)
Правильно, надо найти каково соотношение
между сторонами и углами прямоугольного
треугольника.
Учитель: Сегодня мы начинаем изучать один из
трудных разделов математики. Все, с чем вы
познакомитесь сегодня, понадобится вам в
будущем. Причем этот материал будет
использоваться очень часто и в алгебре, и в
геометрии.(слайд№4)
4. Изучение
нового
материала
(11-15мин.)
- Учитель: Изучение тригонометрии мы начнем
с прямоугольного треугольника. Определим, что
такое синус и косинус, а также тангенс
и котангенс острого угла. Это основы
тригонометрии.
- Учитель: (слайд №5) Вот какое толкование
слова Тригонометрия, мы можем прочесть в
словаре Сергея Ивановича Ожегова, одного из
крупнейших русских
лингвистов, составителя знаменитого
«Толкового словаря русского языка»
Тригонометрия – раздел математики, изучающий
соотношения между сторонами и углами
треугольника.
Слайд(№6) Учитель: Тригонометрия возникла
из практических нужд человека. С ее помощью
можно определить расстояние до недоступных
предметов и вообще, существенно упростить
процесс геодезической съемки местности для
составления географических карт. Зачатки
тригонометрических познаний зародились в
древности. Важный шаг в развитии
Разбирают и
изучают
совместно с
учителем
тригонометрич
еские функции
острого угла
прямоугольног
о
треугольника.
Знакомятся с
понятиями
синус,
косинус,
тангенс,
тригонометрии был сделан индийскими
учеными. Окончательный вид тригонометрия
приобрела в 17 веке в трудах Л. Эйлера.
Учитель
- Учитель: Открываем свои тетради, записываем
число и тему урока: «Тригонометрические
функции острого угла прямоугольного
треугольника».
-Учитель: Нарисуем прямоугольный
треугольник. (слайд№7) Обратим внимание, что
сторона, лежащая напротив угла, обозначается
той же буквой, только маленькой. Так, сторона,
лежащая напротив угла A, обозначается a. Угол A
обозначается соответствующей греческой
буквой .
-Учитель: Прежде чем перейти к изучению
новой темы, давайте поработаем с
прямоугольным треугольником ,изображенном на
слайде
- Посмотрите на рисунок и найдите:
1. Прилежащий катет угла А (катет в или АС),
2. Прилежащий катет угла β катет а или ВС),
3. Противолежащий катет угла В (катет в или
АС),
Учитель: Запишите самостоятельно в своих
тетрадях ответы для пункта 4,5 .
Учитель : Давайте проверим ! Называет
правильные ответы. (показывает ответы на
слайде)
4. Противолежащий катет угла α (катет а или
ВС),
5. Противолежащую сторону угла С (гипотенуза
с или АВ).
-Учитель: Ребята как вы заметили :Один и тот
же катет может выступать как в роли
противолежащего, так и в роли прилежащего
катета. Все зависит от того, по отношению к
какому углу он рассматривается. Вы видите
названия катетов относительно угла А.
Найти противолежащий катет вам поможет
такая подсказка (слайд №8)
В названии катета, противолежащего
данному углу, нет буквы, по которой назван
этот угол.
(угол — A, противолежащий катет — BC.
В названии BC нет буквы A;
котангенс.
Используют
данные
понятия при
решении
практических
задач.
Уч-ся
работают в
своих
тетрадях и
проверяют
по записи на
экране
Записывают
в тетрадь
подсказку
- Учитель: А сейчас введем основные
тригонометрические функции острого угла
прямоугольного треугольника.(слайд №9)
- Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе:
,
если нам нужно выразить из этих формул катет
или гипотенузу мы воспользуемся свойством
пропорции
Учитель выполняет
записи на доске.
(слайд №10)Историческая справка
Учитель: Ребята ,я предлагаю вам послушать
историю появления такой функции как Синус
(история имени)
Синус (sin) — название тригонометрической
функции, появившееся благодаря удивительной
цепочке искажений во время переводов
математических трактатов. Древние индийские
математики называли функцию «полу-тетивой», а
затем просто «тетивой» — «джива», так как при
геометрическом построении изображение
напоминало лук. Арабские математики при
знакомстве с трудами индийских коллег не стали
переводить слово «джива» на арабский, а просто
записали его по буквам. В процессе адаптации,
устного использования и пр. оно превратилось в
арабское выражение «джайб», которое можно
перевести как пазуха, складка, карман, впадина.
Когда, в свою очередь, арабские математические
трактаты попали к европейским математикам, те
перевели джайб на латинский, благо под рукой
как раз было изящное слово, обозначающее
складку или пазуху на римской тоге — слово
sinus. Родственную функцию назвали
complementi sinus, дополнительный синус. Позже
утвердилось современное сокращение: sin и cos.
(слайд№11)
- Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе:
,
Слушают
,делают
записи в
своих
тетрадях
Слушают
,делают
записи в
своих
тетрадях.
отсюда, записи делает учитель на
доске
Учитель: Ребята , давайте закрепим понятия
синуса и косинуса острого угла (слайд№12)
Задача
Дано:
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
sinА-?, cosВ-?
Решение.
1) Сначала находим величину угла В. Тут все
просто: так как в прямоугольном треугольнике
сумма острых углов равна 90º, то
<В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен
отношению противолежащего катета к
гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом
является сторона ВС. Итак:
BC 3 1
sin A = —— = — = —
AB 6 2
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что
косинус равен отношению прилежащего катета к
гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом
является все та же сторона ВС. Это значит, что
нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть
совершить те же действия, что и при вычислении
синуса угла А:
BC 3 1
cos B = —— = — = —
AB 6 2
Слайд №13Учитель озвучивает вывод из
решения задачи : В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.
Или:sin 30º = cos 60º = 1/2.
Из этого следует, что в прямоугольном
треугольнике синус одного острого угла
равен косинусу другого острого угла – и
Оформляют
решение
задачи в
тетради.
наоборот.
(слайд№14)
- Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему:
.
Учитель делает записи на доске
отсюда,
(слайд№15)
- Котангенс острого угла в прямоугольном
треугольнике называется отношение
прилежащего катета к противолежащему (или
же отношение косинуса к синусу):
(Слайд №16) Учитель :Если острый угол одного
прямоугольного треугольника равен острому углу
другого прямоугольного треугольника, то синусы
этих углов равны; то же верно для косинусов и
тангенсов. Докажем это: Так как два угла у
треугольников равны ,то они подобны. Из
подобия следует пропорциональность сторон,
тогда sinA=BC/AB=B1C1/A1B1= sinA1
Аналогично доказываются равенства косинусов,
тангенсов
(Слайд №17) учитель читает информацию с
этого слайда
(Слайд №18) Вывод формулы sin
2
+cos
2
=1,
Учитель поясняет арифметические
действия на доске. учащиеся записывают вывод
формул в тетрадь.
Учитель проговаривает определение: Тангенс
угла равен отношению синуса к косинусу этого
угла.
Записывают
выводы
формул в
тетрадь.
A
A
tgA
cos
sin
=
5.
Первичное
закреплени
е
изученного
материала
(3мин.)
-Учитель: (слайд №19) Давайте решим задачу
для закрепления изученного материала:
Дано: , , ВС=8, АВ=17
Найти: Синус, косинус и тангенс углов А и В.
Решение:
1. Найдем по теореме Пифагора второй катет
.
2.Тогда
,пояснить ,что косинус В можно найти из
тригонометрического тождества. Сделать запись
на доске.
3.А
. А
здесь можно еще раз обратить внимание ,что
sinA=cosВ.
Решают
задачу
вместе с
учителем
пошагово.
6.
Подведение
итогов
урока.
(1мин.)
(Слайд№20) Ребята, мы с вами сегодня немного
приоткрыли дверь нового для вас раздела
математики - тригонометрии - науки, изучающей
связи между сторонами и углами в треугольнике.
Перед вами опять
прямоугольный треугольник. Что можно найти в
этом треугольнике, зная длины его катетов?
(Гипотенузу, площадь, периметр, синусы,
косинусы, тангенсы острых углов, среднюю
линию…).
Подводят
итоги урок.
Отвечают на
вопросы.
ABC
0
90=C
15817
22
=−=АС
15
8
,
17
15
cos,
17
8
sin ======
AC
BC
tgA
AB
AC
A
АВ
ВС
A
8
15
,
17
8
cos,
17
15
sin ======
BC
AC
tgB
AB
BC
B
ВC
AС
B
Список использованной литературы:
1. Геометрия: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – М.: Вентана-
Граф, 2013.
2. Геометрия: 8 класс: методическое пособие / Е.В.Буцко,
А.Г.Мерзляк, В. Б.Полонскийи др. − М.: Вентана-Граф, 2016.
7.
Домашнее
задание
(30сек.)
(слайд№21) Повторить записи в тетради, для тех,
кто увлекается геометрией составить ребусы,
косинус,синус,тангенс.
Записывают
домашнее
задание.
Геометрия - еще материалы к урокам:
- Тест по геометрии "Прямоугольный треугольник" 7 класс (с ответами)
- Урок геометрии "Сложение и вычитание векторов" 9 класс
- Презентация урока геометрии "Сложение и вычитание векторов" 9 класс
- Презентация "Площадь прямоугольного треугольника. Площадь равнобедренного треугольника" 8 класс
- Тест "Косинус, синус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника" 8 класс
- Тестовая работа "Смежные углы" 7 класс
