Конспект урока "Решение задач методом координат с практическим содержанием" 7 класс
Тема урока: Решение задач методом координат с практическим
содержанием.
Цель урока:
• Совершенствование навыков решения задач методом
координат.
• Дать учащимся эффективный метод решения задач
• Показать на основе метода координат тесную связь алгебры и
геометрии
• Побудить интерес к изучению предмета
Задачи:
Воспитательная: развитие познавательного интереса, логического
мышления, умения работать с тестом.
Учебная: научиться применять метод координат к планиметрическим
задачам.
Развивающая: развитие памяти, внимательности, нестандартного подхода к
решению задач, способствовать развитию вычислительной и графической
культуры учащихся
I. Организационный момент.
На предыдущих уроках мы решали задачи в которых пользуясь
координатами истолковывали уравнения и неравенства геометрически и
таким образом применяли геометрию к алгебре.
Задавали фигуры уравнениями и выражали в координатах геометрические
соотношения, тем самым применяли алгебру к геометрии. Например: можно
выразить через координаты основную геометрическую величину -
расстояние между точками.
На уроке мы будем рассматривать планиметрические задачи, решаемые
координатным методом, 3 видов: 1) на обоснование зависимостей между
элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на
нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.
3) решения задач с практическим содержанием методом координат.
II. Проверка домашнего задания
№ 944 - подготовлен на доске чертеж
Решение:
а) т.к. вершина А лежит на положительной полуоси Ох, ОА = а, то А(а,0).
Вершина В имеет координаты (b;c), ОА=ВС=а, поэтому С(b+a ;c)
Ответ: С(b+a ;c)
б)АС =
2
2
сА
сА
уу
хх
22
0b a a c
22
bc
СО =
2
2
сО
сО
уу
хх
22
00b a c
=
2
22
2а b ab
c
Во время подготовки на доске домашнего задания, проходит проверка
опорных знаний учащихся
Учитель: Давайте вспомним:
Сформулируйте формулу для вычисления координат вектора по
координатам его начала и конца.
Сформулируйте формулу для вычисления координат середины отрезка по
координатам его концов.
Сформулируйте формулу для вычисления длины вектора по его
координатам.
Сформулируйте формулу для вычисления расстояния между двумя
точками по их координатам
III. Актуализация знаний. Теоретический тест
Вариант 1.
1. Если А(c;d), B(m;n), C(x;y) – середины отрезков АВ, то:
А)
x
2
cm
;
у
2
dn
B)
x
2
cm
;
у
2
dn
У В С
а
Х
О А
C)
x
2
mc
;
у
2
nd
2. Если
; , ,а х у с к а
0к
, то:
А)
;
ху
с
кк
В)
;с к х к у
С)
;с к х к у
3. Если
;d m n
, то:
А)
22
d
mn
;
В)
22
d
mn
;
С)
2
2
d
m
n
4.Если
; , ; , ;a a b b c d c a c b d
, то:
А)
c b a
;
В)
c a b
;
С)
c аb
;
5.Если
22
CD a b c d
, то
А)
; , ;C b d D a c
;
В)
; , ;C a b D c d
;
С)
; , ;C c d D a b
;
6.Если
,2a b a b
, то
А)
2ab
;
В)
2ab
;
С)
2ba
;
7.Если
;MN a b c d
, то
А)
; , ;М a с N b d
;
Б)
; , ;М a b N c d
;
С)
; , ;М b d N a c
;
Ответы к заданиям текста
1
2
3
4
5
6
7
а
б
б
с
а
б
с
Вариант 2.
1. Если А(a;b), B(c;d) то:
А)
;АВ а с b d
B)
;АВ с а d b
C)
;АВ а с b d
2. Если
; , ; ,а m n b p k с а b
, то:
А)
;с с р п k
В)
;с m n p к
С)
;с m p n k
3. Если
( ; ), ( ; )А е с В m n
, то:
А)
2
2
ВА С n
еm
;
В)
22
ВА
m e n c
;
С)
22
ВА
е с m n
4.Если
; , ; , ;
22
m e n p
А е р В m n С
, то:
А) C – середина АВ
В) А – середина ВС
С) В – середина АС
5.Если
22
х
аb
, то
А)
х а b
В)
22
;х
аb
;
С)
;х b а
;
6.Если
1
,
3
m n n m
, то
А)
1
3
nm
;
В)
3mn
;
С)
3mn
;
7.Если
; , ; ,( 0)x a b у k a k b k
, то
А)
у k х
;
Б)
у k у
;
С)
х у k
;
;
Ответы к заданиям текста
1
2
3
4
5
6
7
б
с
а
а
с
б
а
IV. Решение задач
Задача 1:
Медиана проведённая к основанию равнобедренного треугольника,
равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие
медианы треугольника.
Решение:
Поместим данный равнобедренный треугольник в прямоугольную
систему координат таким образом, чтобы медиана лежала на положительной
полуоси Оу, а его основание – на оси Ох.
у
B
M N
A O C х
Т.к. медиана равна 160см, а основание равно 80 см, то
А(- 40; 0), В(0; 160), С (40; 0).
Пусть М и N – середины сторон АВ и ВС соответственно, тогда
N
x
20
2
BC
xx
;
N
у
80
2
BC
уу
М(-20;80), N(20;80),
AN и СМ- медианы, найдём их длины:
2
2
N А
NA
AN
yy
xx
22
(20 40) (80 0)
3600 6400
=100 (см)
2
2
МС
МС
СМ
yy
xx
22
( 20 40) (80 0)
3600 6400
=100 (см)
Ответ: 100 см, 100 см.
Задача 2 .
На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек
М, удаленных от А в двое больше, чем от В.
Решение:
Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат
попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За
единицу масштаба возьмем отрезок АВ.
Точка А будет иметь координаты (0,0),
точка В координаты (1,0). Координаты
точки М обозначим через (х,у). Условие
)M,B(2)M,A(
записывается в
координатах так:
2222
y)1x(2yx
.
А
х
В
М
у
О
1
//
//
//
//
/ /
Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы
понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его
так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат,
раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх
2
-
8х+4+Зу
2
=0.
Это равенство можно переписать так:
9
4
y
9
16
x
3
8
x
22
или так:
222
)
3
2
(y)
3
4
x(
. Это уравнение окружности с центром в
точке (
3
4
,0) и радиусом, равным
3
2
. Это значит, что наше геометрическое
место точек является окружностью.
Задача 3 .
Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой
m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А,
оснащен более современными и более мощными грузовыми
автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного
изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия
В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как
территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя
предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке
изделий были минимальными.
Краткое условие:
Предприятие
А
В
Транспортные
расходы
10 р.
на 1 км
20 р.
на 1 км
Расстояние
между
300 км
предприятиями
Вопрос
Как территориально должен быть
расположен рынок сбыта между двумя
предприятиями для того, чтобы расходы
потребителей при покупке изделий были
минимальными?
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся методом координат.
Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А
и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s
1
и s
2
расстояния
от точки до предприятий А и В
Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).
При доставке груза из пункта А
расходы равны m+10s
1
. При доставке
груза из пункта В расходы равны
m+20s
2
. Если для пункта Р выгоднее
доставлять груз с предприятия А, то
m+10s
1
< m+20s
2
, откуда s
1
<2s
2
, в обратном случае получим s
1
>2s
2
.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы
на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек
плоскости, удовлетворяющих уравнению
s
1
=2s
2
(1)
Выразим s
1
и 2s
2
через координаты:
22
1
yxs
,
22
2
y)x300(s
.
Имея в виду (1), получим
222
200y)400x(
.
Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов,
попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из
O
O
x
y
P
B
A
s
2
s
1
пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из
пункта А.
На уроке мы увидели, что достаточно простой в применении, является
метод координат, а так же необходимым составляющим в решении задач
различного уровня. Использование данного метода, позволило нам
значительно упростить и сократить процесс решения задач.
V. Домашнее задание: дифференцированная работа по карточкам.
