Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Функция у = sin x, её график и свойства" 11 класс

Разработка урока алгебры в 11 классе с использованием материала научно-исследовательской работы
Бирюкова Вера Николаевна
учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 1»
п. Пуровск, Пуровского района ЯНАО
Тема урока: Функция у = sin x, её график и свойства.
(2 урока)
Цели урока:
1. Научить обучающихся, строить график функции у = sin x и читать этот график
2. Сформулировать свойства функции у = sin x с помощью графика.
3. Рассмотреть материалы исследовательской работы «Что общего между функцией синус и
заходом Солнца».
4. Отрабатывать умения учащихся при использовании свойств функции у = sin x для сравнения
значений синуса различных углов, для решения простейших тригонометрических уравнений и
неравенств.
Задачи урока:
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале,
умений построения графика функции у = sin х, формировать навыки свободного чтения
графиков;
Развивающая - формирование способности анализировать, обобщать полученные знания,
формирование логического мышления;
Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний; воспитание графической
культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
Оснащение:
1. Компьютер, мультимедиа, экран.
2. Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И. Шабунин. Алгебра и начала
математического анализа. Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений- М:
Просвещение, 2016 г.
Ход урока
I. Организационный момент. Приветствие.
II. Объявление темы и целей урока.
III. Актуализация опорных знаний
Фронтальный опрос:
1) При каких значениях х, функция у = sin x, принимает значение,
равное 0? 1? – 1?
2) Может ли функция у = sin x принимать значение больше 1? Меньше – 1?
3) При каких значениях х функция у = sin x принимает наибольшее (наименьшее) значение?
4) Каково множество значений функции у = sin x?
Повторив знаки значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса к каждой четверти координатой
плоскости, учащиеся показывают несколько точек единичной окружности, соответствующих
числам, синус которых – положительное (отрицательное) число, затем отвечают на вопросы учителя.
1.Какой знак имеет значение функции у = sin x, если х =
; х =

; 0 ;
1. ;  ?
2.Как получить график функции у = f(x + t), если дан график функции у = f(x)?
/График смещается по оси Ох: если (+t), то смещение на t единиц влево; если (- t), то смещение на t
единиц вправо/
Изобразить график функции у = f(x + t), если дан график функции у = f(x):
а) f(x)= 0,5х
3
, t = 1; б) f(x) = cos x, t = -
.
IV. Изучение нового материала
1. Так как sin x = cos(x -
), то построение начнём с графика функции у = cos x на отрезке [- ],
затем сдвинем его на
вправо.
Затем старшеклассники учатся изображать эскиз графика функции у = sin x по точкам:
(0;0), (
;1), ( ; 0), (

;-1), (;0) и формулируют свойства, записывая их в таблицу.
Свойства функции у = sin x
1.Область определения
R – множество действительных чисел.
2. Множество значений
[ - 1; 1]
3. Периодичность
Т = 2
4. Чётность / нечётность
нечётная
5.Функция принимает:
Значение, равное 0
Наибольшее значение, равное 1
Наименьшее значение, равное - 1
Положительные значения
Отрицательные значения
При х = n, n
При х =
При х =
(2
(
6.Возрастание / убывание функции
[- ], - возрастает;
[ ],
2. Чтобы лучше запомнить свойства функции у = sin x, рассмотрим материалы научно-
исследовательской работы «Что общего между функцией у = sin x и заходом Солнца».
Заход Солнца и тригонометрическая функция синус.
Палий Дарья Витальевна
ЯНАО, Пуровский район, п. Пуровск
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1»
10 класс
Научный руководитель – учитель
муниципального общеобразовательного учреждения
«Средняя общеобразовательная школа № 1»
п. Пуровск Пуровского района, учитель математики,
Бирюкова Вера Николаевна
Глава I
1.1. Практическая значимость функциональной зависимости.
Трудно переоценить образовательное, воспитательное и практическое значение графика, как
способа выражения функциональной зависимости. С построением графика связано изучение свойств
функции, развитие мышления и решения целого ряда задач, убеждающих их в практической
значимости теории.
Многочисленные примеры движений в окружающем мире позволяют обосновать практическую
значимость математической теории. Мы видим преломление абстрактных математических понятий в
Z
Znn + ,2
2
Znnn + ),2;
Znnn ++ ),22;2
nn
2
2
;2
2
++
Zn
nn
2
2
3
;2
2
++
Zn
реальной действительности, что значительно расширяет наш кругозор, делает предмет математики
интересным, а знания осмысленными и глубокими, неформальными. Например, форму параболы
принимает струя воды, бьющая из шланга, по параболе летит мяч или камень; то есть – парабола- это
траектория движения материальной точки, брошенной в наклонном или горизонтальном
направлении. [5]
Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера,
Гюйгенса, Лейбница, одним из основных стимулов, для которых было постичь законы движения тел,
они говорили, что математика – это часть физики.
Механические колебания, движения при плавании; движения ползущей змеи, движения китов,
дельфинов – графики получаются в результате наблюдений из повседневной жизни, они идут по
волновой линии. [5]
1.2. Восход и заход Солнца
Такие астрономические явления, как заход Солнца и восход Солнца происходят каждый день в
разное время и только благодаря вращению вокруг Солнца. В другом случае, небесное светило было
бы в постоянном зените, что лишило бы Землю не только восходов и заходов, но и сама жизнь на
планете бала бы невозможной.
Заходом и восходом называют промежутки времени, когда верх края Солнца находится на одном
уровне с линией горизонта.
Большинство людей знают, что Солнце восходит на востоке и заходит на Западе, однако это не более
чем обобщение. На самом деле это бывает только два дня в году – во время весеннего и осеннего
равноденствия. В другие дни Солнце восходит с севера на юг. Ежедневно точки, в которых
происходит заход Солнца и восход Солнца незначительно перемещаются. В день летнего
солнцестояния оно восходит по максимуму к северо - востоку. Каждый день после этого светило
поднимается чуть-чуть южнее. В день осеннего равноденствия Солнце восходит строго на востоке и
заходит на западе.
С давних времён люди отслеживали рост и параметры точек восхода и захода Солнца с большой
детализацией. Таким образом, в древности можно было ориентироваться во времени при помощи
зубчатых вершин гор вдоль линии горизонта, или при помощи стоячих камней, выстроенных особым
образом. [10]
Заход светила - это пересечение светилом западной части горизонта и его переход на невидимую
часть неба. [8]
В течение ряда лет люди излагали первоначальные сведения о тригонометрических функциях,
исходя из наблюдений картины движения Солнца по небесной сфере и описания зависимости
момента захода Солнца от даты календаря.
В статье одного из учителей математики Х. Шенфельда школы города Берлина, рассказывается,
что получить сведения о тригонометрических функциях можно получить исходя из наблюдений
картины движения Солнца по небесной сфере и описывая зависимость момента захода Солнца от
даты календаря. Автор приводит пример графика для города Берлина. [7]
В статье Л.И. Серовой «Нетрадиционные подходы к изучению функций в школе» также
приведены примеры построения графика движения Солнца по небесной сфере для городов Москва и
Волгоград.
Во всех случаях замечено, что множество точек расположено вдоль волновой линии. Кроме того,
во всех случаях получили график синуса с некоторыми отклонениями от «идеального». И свойства
тригонометрической функции у = sin x можно сформулировать, анализируя график захода Солнца.[5]
Нам захотелось проверить эти факты на примере трёх городов, причём все три города
расположены в разных географических широтах. Сравнить результаты и построенные графики.
Глава II
2.1.
Графики захода Солнца и тригонометрической функция у = sin x.
Для того чтобы выяснить, в чём сходство между заходом Солнца и функцией синус, был составлен
дневник захода Солнца в 2016 году для городов: Сочи, Москвы, Тарко – Сале.
Город Сочи - географические координаты: 43° 35минут 7 секунд северной широты 39° 43минуты 13
секунд восточной долготы.
Город Москва - географические координаты: 55° 45 минут 7 секунд северной широты 37° 36 минут
56 секунд восточной долготы.
Город Тарко – Сале - географические координаты: 64° 54 минуты 53 секунды северной широты 77°
46 минут 22 секунды восточной долготы. .[9]
Затем все полученные точки были нанесены на координатную плоскость и плавно соединены. В
прямоугольной системе координат по оси ОХ отмечали дату захода Солнца в месяцах, а по оси ОУ
время захода Солнца в часах. Ось абсцисс совмещается со средним временем – 18 часов, так как при
сложении всех временных отрезков, а затем делении полученной суммы на 12 месяцев, в среднем
выходит 18 часов.
Заход Солнца в Сочи
Дата
01.01
01.02
01.03
01.04
01.05
01.06
01.07
01.08
01.09
01.10
01.11
01.12
Время
16:54
17:32
18:10
18:47
19:24
19:55
20:06
19:36
18:55
18:03
17:05
16:45
График захода Солнца в городе Сочи
Заход Солнца в Москве
Дата
01.01
01.02
01.03
01.04
01.05
01.06
01.07
01.08
01.09
01.10
01.11
01.12
Время
16:07
17:02
18:05
19:08
20:08
21:02
21:16
20:35
19:22
18:03
16:48
16:01
График захода Солнца в городе Москве
Заход Солнца в Тарко-Сале
Дата
01.01
01.02
01.03
01.04
01.05
01.06
01.07
01.08
01.09
01.10
01.11
01.12
Время
13:50
15:28
17:06
18:42
20:19
22:07
22:37
21:00
19:07
17:16
15:26
13:57
График захода Солнца в городе Тарко-Сале.
Если взять график функции у = sin x
и рассмотреть график, например, на промежутке от - до , то видим, что графики захода
Солнца и функции синус похожи. [4]
Из графиков видно, что каждому дню соответствует ровно один момент захода Солнца; день,
когда Солнце не заходит во всех трёх случаях не существует.
Таким образом, каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент у их
множества У. А это и есть определение функции.
Замечание:
В России есть территории, где Солнце не заходит. Исключения составляют города, расположенные
на полярном круге и за полярным кругом. Например, в городе Салехарде, расположенном на
полярном круге, полярный день, то есть день, когда Солнце не заходит, продолжается с 5 июня по 5
июля. В городах, расположенных за полярным кругом: в Мурманске полярный день - с 20 мая по 21
июля, Норильске – с 19 мая по 23 июля, в Воркуте – с 29 мая по 14 июля. А на самом Северном
полюсе полярный день длится до 186 суток. [3]
Полярные области в данном случае не рассматриваются, так как это отдельный разговор.
2.2. Сопоставление свойств.
Область определения.
Солнце будет жить много миллионов лет! Примерно через 5 миллиардов лет водородное горючее
Солнца выгорит и Солнце станет ярче в сотни раз. [2]
Солнечная система существует достаточно долго, и будет существовать в будущем, поэтому можно
считать, что область определения: х принадлежит множеству действительных чисел.
Множество значений функции.
Момент захода Солнца в городах лежит в определённых границах - Сочи: 16:54 ≤ t ≤ 20:06; Москва:
16:07 ≤ t ≤ 21:16; Тарко – Сале: 13:50 ≤ t ≤ 22:37.
Точно так же функция у = sin x принимает свои значение на отрезке: - 1 ≤ sin x ≤ 1, а функция
у = m·sin x принимает свои значения: - m ≤ m·sin x ≤ m.
Действительно, построив график зависимости захода Солнца, например, для города Сочи, можно
получить аналогичный график для более высоких широт путём растяжения от оси ОХ. Это
2
2
3
просматривается на вышивке, где изображены графики для трёх выбранных городов в одной
координатной плоскости, и чертеже графиков функций вида
у = m·sin x: у = sin x, y = 3sin x (коэффициент растяжения равен 3), y = 0,5sin x (коэффициент сжатия
равен 2). [4]
Наименьший период.
Построив графики захода Солнца для одного года, стало ясно, что моменты захода Солнца
повторяются в той же последовательности, так как полный оборот Земли вокруг Солнца
осуществляется за год. Поэтому при построении графика достаточно ограничиться одним периодом
с первого января по 31 декабря.
Промежутки возрастания и убывания.
Начиная с 21 декабря, продолжительность светлого времени суток возрастает до 21 июня, а после 21
июня продолжительность светлого дня убывает. Что говорит о возрастании и убывании функции.
Нулевые точки (корни)
Начало осени и начало весны соответствуют нулевым значениям функции.
Выводы:
Подведя итоги главе II необходимо подчеркнуть, что в ходе проведённого исследования было
выявлено, что графики захода Солнца и функции у = sin x имеют много общего: область
определения; область значений – отрезок; промежутки возрастания и убывания; имеют период;
нулевые точки. Поэтому изучение графика функции можно провести с помощью графиков захода
Солнца любого города России, расположенного до полярного круга.
Тогда материал для учащихся будет более понятен и хорошо запомнится.
Следовательно, процесс захода Солнца описывается тригонометрической функцией синус.
Заключение.
Математика - это красота, вдохновение творцов, восхищение тех, кто способен оценить её
достижения.
Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие учёные видели задачу в содействии
законов природы. Галилею принадлежат замечательные слова: «Великая книга природы написана
языком математике». В чём и убедились, проведя данное исследование.
В современном мире без математики никуда, какую бы область не брали, она всюду с нами.
И так, изучение функции синус можно провести на примере графика захода Солнца.
В перспективе было бы интересно изучить график захода Солнца в южных и заполярных широтах.
Скорее всего, график захода Солнца в южных широтах будет похож на графики в северных широтах,
а вот как будет выглядеть график захода Солнца для заполярных широт, и с какой функцией он будет
иметь что-то общее это очень интересно. Ясно одно, что график захода Солнца в заполярных
широтах будет прерываться. Исследования в этом направлении могут быть продолжены.
Назначение работы.
Результаты нашего исследования могут быть использованы учителем при подготовке к изучению
тригонометрической функции у = sin x, а учащиеся, изучая свойства тригонометрической функции
на примере графика захода Солнца, смогут лучше запомнить материал.
Данная исследовательская работа доказала, что математика и явления неразделимы.
Что дала работа самому исследователю.
До процесса написания работы трудно было представить, что заход Солнца может иметь что-то
общее с тригонометрической функцией синус. В процессе работы над исследованием был
приобретен опыт сравнения результатов, опыт построения графиков, умение провести анализ,
выявить общее. Результаты исследования заставили ещё раз задуматься о значимости математики в
нашей жизни.
V.Закрепление первичных знаний
№ 51 (устно). Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих отрезку [0;], функция
принимает: 1) значение, равное 0, 1,- 1;
2)положительные значения; 3) отрицательные значения.
/Функция принимает значение, равное 0, при х = 0;; 2 ; положительные значения
при 0 и при 2 ;
отрицательные значения при π<х<2π/.
№ 55(устно) Выяснить, возрастает или убывает функция у = sin x на промежутке: 1)
[


] /возрастает/; 3) (-
) /убывает/;
5)[2; 4] /убывает/.
№ 56. Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них
функция у = sin x возрастала, а на другом убывала:
1) [0; ] Ответ:[0; ]- возрастает; [ ] – убывает.
3) [ - ; 0] Ответ: [- ] – убывает; [- ]- возрастает.
№57. Используя свойства возрастания функции у = sin x, сравнить числа:
2
;
2
2
;
−
0;
2
1) sin и sin Ответ: sin > sin т.к функция на промежутке [ ]
убывает.
3) sin (- ) и sin (- ) Ответ: sin (- ) > sin (- ) т.к функция на промежутке
[- ] – убывает.
VI. Самостоятельная работа
Учащиеся выполняют за компьютерами тест в программе Excel , вторая половина – в
программе Word. Затем меняются местами.
Тест Excel
1 вариант
1. Период функции у = sin (2х – 1,5) равен a) ; b) ; c) ; d) 2 .
2. Множество значений функции у = sin (x – 3) равно:
а) [0; ] ; b) [- ]; c) [- ]; d) [ -3; 3].
3. Корень уравнения sin 2x = - 0,5, равен:
а) ; b) (- 1)
n ;
c) 2 ; d) (-1)
n+1 .
4. Число 3sin ( ) является:
а) отрицательным; b) положительным; с) иррациональным; d) равно 0.
5. Сравнить числа: sin ( )
а) =; b) ; c) <; d) >.
2 вариант
1. Период функции у = 5 sin x равен: а) ; b) ; c) ; d) 2 .
2. Множество значений функции у = 5sin (x – 5) равно:
а) [0; 5] b) [ ]; c) [ -5; 0] ; d) [ -5; 5].
3. Корень уравнения sin 2x = 0,5, равен:
а) (-1)
n ;
b) ; c) 2 ; d) (-1)
n
+ 2 .
4. Число 3sin (- ) является:
а) иррациональным; b) положительным; с) отрицательным; d) равно 0.
5. Сравнить числа: sin .
a) =; b) ; c) <; d) >.
10
7
10
13
10
7
10
13
2
3
;
2
7
8
8
9
7
8
8
9
−;
2
3
3
2
2
3
3
1
3
1
3
1
;
3
1
0;
3
1
Znn ,
Znn + ,
6
Znn ,
Zn
n
+ ,
212
3
2
3
2
sin()
6
5
и
3
2
2
5;
5
1
Zn
n
+ ,
212
Znn ,
Znn ,
3
Znn ,
3
6
sin
3
и
Тест Word
1 вариант
1. Среди данных функций выберите нечётные:
а) у = sin (x – 2); б) у = sin (x + 2); в)у = sin x + 2; г) у = sin (x – 1)- 1.
2. Область значений функции у = | 2sin (x – 1)- 2|
а) [- 2; 2]; б) [0; 2]; в) [1; 2]; г) [0; 4].
3. Наибольшее значение функции у = - sin (2х – 3) равно:
а) 1 б) – 1; в) 3; г) 2
4. Период функции у = 3 sin 3x равен:
а) 2 ; б) 3 ; в) ; г) .
5.Для построения графика функции у = sin (х – 3) с графиком у = sin x были выполнены
преобразования:
а) Сдвиг графика на 3 радиана вправо.
б) Сдвиг графика на 3 ед. отрезка вверх.
в) Сжатие графика вдоль оси Оу в 3 раза.
Г) Симметрия графика относительно оси Ох.
6. Уравнение: х
2
+ 2 = 2 sin x
а) не имеет решений; б) имеет решение х = 0; в) х = 0 и х = 1; г) имеет решение х =
.
2 вариант
1. Среди данных функций выберите нечётные:
а) у = sin (x – 2); б) у = sin (x + 2) + 3; в)у = sin (x + 3); г) у = sin (x + 2 )+ 1.
2. Область значений функции у = | 5sin (x + 1)- 2|:
а) [- 5; 5]; б) [0; 7]; в) [0; 5]; г) [- 2; 0].
3. Наибольшее значение функции у = - 2sin (2х – 1) равно:
а) - 2 б) – 1; в) 0; г) 2
4. Период функции у = 4 sin 3x + 1 равен:
а) 2 ; б) ; в) ; г) .
5. Для построения графика функции у = sin (х – 3) с графиком у = sin x были выполнены
преобразования:
а) Сдвиг графика на 3 радиана вправо.
б) Сдвиг графика на 3 ед. отрезка вверх.
в) Сжатие графика вдоль оси Оу в 3 раза.
Г) Симметрия графика относительно оси Ох.
6. Уравнение х
2
+ 3 = 3 sin x:
а) не имеет решений; б) имеет решение х = 0; в) х = 0 и х = 1; г) имеет решение х =
.
VII. Итоги урока
VIII. Домашнее задание: № 56(2,4), №57(2,4), №58(2,4).
3
1
3
2
Zkk ,
3
2
3
1
3
4
Zkk ,
Скачать материал

Английский язык - еще материалы к урокам: