Ученики на Учителя.com


Конспект урока по алгебре "Методы решения квадратных уравнений" 8 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
основная общеобразовательная школа № 34
муниципального образования Каневской район
Конспект урока по алгебре
в 8 классе по теме
«Методы решения квадратных уравнений»
подготовил
учитель математики
Донченко Олег Юрьевич
ст. Новоминская
2017
2
Тема урока: Решение квадратных уравнений размыми методами.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цель урока: обобщение и систематизация способов решения квадрат-
ных уравнений, формирование умения выбора рационального способа.
Формируемые результаты:
Предметные:
формировать умение решать квадратные уравнения раз-
ными методами.
Личностные:
развивать готовность к самообразованию и решению твор-
ческих задач.
Метапредметные:
формировать умение определять способы действий в
рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия
в соответствии с изменяющейся ситуацией.
Планируемые результаты: учащиеся вспомнят и научатся решать
квадратные уравнения.
ХОД УРОКА
I.
Организационный момент
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: «Дороги не те
знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые пре-
вращаются в умственные мышцы».
Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.
II.
Сообщение темы и цели урока
Посмотрите на доску. Это лишь некоторые задания экзаменационной
работы 9 класса. На сегодняшний день мы не знаем многих тем и алгоритмов
решения некоторых заданий.
Но как вы думаете, что их объединяет?
Для их выполнения нужно уметь решать квадратные уравнения.
Применение тестовой системы приводит к необходимости в быстром ре-
шении уравнений. Поэтому мы должны научиться приемам, которые помогут
экономить время и эффективно решать квадратные уравнения.
А что для этого нужно знать? (способы решения квадратных уравне-
ний).
Тема урока «Решение квадратных уравнений размыми методами».
3
Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя
из его темы?
Другими словами обобщить и систематизировать весь предшествующий
опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо? (Для возмож-
ности выбора рационального пути решения).
Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, на-
учиться выбирать рациональный путь решения.
III.
Обобщение и систематизация знаний
—
Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения.
—
Какое уравнение называется квадратным?
—
От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
—
По какой формуле вычисляется дискриминант?
—
Заполните схему (рис. 1)
Рисунок 1 – Схема
—
Понятие
дискриминант
придумал английский ученый Сильвестр, он
называл себя даже «математическим Адамом» за множество придуманных
терминов.
—
Проверим составленную таблицу.
4
та.
— Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминан-
Задание:
Вычислите дискриминант и укажите количество корней урав-
нения 2, 1 или 0.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
Дискриминант
Число корней
𝑎
2
−
6
𝑎
+ 9 = 0
𝑎
2
−
2
𝑎
+ 3 = 0
𝑎
2
+ 7
𝑎
−
1 = 0
𝑎
2
−
6
𝑎
−
12 = 0
−
3
𝑎
2
+
𝑎
−
2
=
0
Дискриминант и число корней приведено в следующей таблице.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
Дискриминант
Число корней
𝑎
2
−
6
𝑎
+ 9 = 0
0
1
𝑎
2
−
2
𝑎
+ 3 = 0
−
8
0
𝑎
2
+ 7
𝑎
−
1 = 0
45
2
𝑎
2
−
6
𝑎
−
12 = 0
12
2
−
3
𝑎
2
+
𝑎
−
2
=
0
−
25
0
—
Можно ли, не решая уравнения, определить, имеет ли оно корни или
нет? (Да, можно. Уравнение всегда имеет корни, если первый коэффициент
и свободный член имеют противоположные знаки.)
—
А если они одного знака? (Тогда надо находить дискриминант.)
—
Дети, давайте теперь перейдем к методам решения квадратных урав-
нений.
1)
Применение формул корней квадратного уравнения
Задание:
Решите уравнение (самостоятельно):
2
𝑎
2
+ 5
𝑎
−
7 = 0
.
—
К какому виду относится следующее квадратное уравнение:
𝑎
2
−
7
𝑎
= 8
? (Приведенное).
2)
Подбор корней с применением теоремы Виета
—
Какую теорему используют для решении приведенных квадратных
уравнений? (т. Виета)
5
𝑎
𝑎
—
Давайте встомним теорему Виета.
«Если
числа
𝑎
и
𝑎
таковы,
что
их
сумма
равна
−
𝑎
,
а
произведение
равно
𝑎
,
то
эти
числа
являются
корнями
уравнения
𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
=
0
».
Задание:
Найдите корни квадратного уравнения
𝑎
2
−
7
𝑎
= 8
(
𝑎
1
=
−
1
,
𝑎
2
= 8
).
Задание:
Пу
сть
𝑎
1
и
𝑎
2
—
к
орни
квадратного
уравнения
𝑎
2
+7
𝑎
−
11
=
0
.
Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1
+
1
.
1
𝑎
1
1
+
𝑎
2
=
𝑎
1
+
𝑎
2
𝑎
1
·
𝑎
2
=
−
7
=
−
11
𝑎
1
7
11
𝑎
2
— Какую теорему применили?
3)
Применение свойств коэффициентов
Задание: Решая уравнения, заполните таблицы.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
𝑎
𝑎
+
𝑎
+
𝑎
𝑎
1
2
𝑎
2
+ 5
𝑎
−
7 = 0
2
−
7
0
1
4
𝑎
2
−
9
𝑎
+ 5 = 0
4
5
0
1
9
𝑎
2
−
4
𝑎
−
5 = 0
9
−
5
0
1
7
𝑎
2
−
𝑎
−
6 = 0
7
−
6
0
1
ВЫВОД:
Если в квадратном уравнении
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
сумма коэффи-
циентов равна нулю (𝑎 +
𝑎
+
𝑎
= 0), то один из корней равен 1, а другой
𝑎
.
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
𝑎
𝑎
−
𝑎
+
𝑎
𝑎
1
𝑎
2
+
−
7
𝑎
−
8
=
0
1
−
8
0
−
1
3
𝑎
2
−
2
𝑎
−
5 = 0
3
−
5
0
−
1
2
𝑎
2
−
𝑎
−
3 = 0
2
−
3
0
−
1
10
𝑎
2
+ 3
𝑎
−
7 = 0
10
−
7
0
−
1
ВЫВО
Д:
Пу
с
т
ь
дано
квадратное
уравнени
е
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
=
0
.
Если
𝑎
−
𝑎
+
𝑎
=
0
или
𝑎
=
𝑎
+
𝑎
,
то
𝑎
1
=
−
1
,
𝑎
2
=
−
𝑎
.
— Давайте в тетрадях запишем сводную таблицу для способа примене-
ния свойств коэффициентов.
Уравнение
Свойство коэффициентов
Корни уравнения
6
𝑎
𝑎
−
Продолжение таблицы 5
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
+
𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
1
= 1
,
𝑎
2
=
𝑎
𝑎
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
= 0
𝑎
−
𝑎
+
𝑎
= 0
или
𝑎
=
𝑎
+
𝑎
𝑎
1
=
−
1
,
𝑎
2
=
−
𝑎
𝑎
Это ещё один способ решения квадратных уравнений.
Задание:
Выберите уравнения, которые можно решить, используя эти
свойства. Запишите корни.
а)
203
𝑎
2
+ 220
𝑎
+ 17 = 0
б)
5
𝑎
2
−
9
𝑎
+ 4 = 0
в) 𝑎
2
+
6𝑎
−
16
=
0
г)
25
𝑎
2
−
20
𝑎
−
5 = 0
д)
2
𝑎
2
−
11
𝑎
+ 15 = 0
— Чем удобен это способ? (позволяет устно найти корни уравнения).
Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть
еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных ме-
тодов в отдельности. И оценим его «перспективы».
4)
Метод «переброски» старшего коэффициента
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение
𝑎𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎
=
0
,
а
приведенное
𝑎
2
+
𝑎𝑎
+
𝑎𝑎
=
0
,
к
оторое
получаетс
я
из
данного
«переброск
ой»
к
оэффициент
а
𝑎
,
а
затем
разделить
найденные
к
орни
на
𝑎
для
нахождения корней исходного уравнения:
𝑎
1
=
𝑎
1
и
𝑎
2
=
𝑎
2
.
Пример:
Решите уравнение
2
𝑎
2
−
9
𝑎
−
5 = 0
.
Решение:
Заменим приведенным квадратным уравнением с «переброс-
кой» коэффициента
𝑎
:
𝑎
2
−
9
𝑎
−
5
·
2
=
0
𝑎
2
−
9
𝑎
−
10
=
0
Р
ешив
это
уравнение,
получим:
𝑎
1
=
10
,
𝑎
2
=
−
1
.
Вернемся к корням исходного уравнения:
𝑎
1
=
𝑎
1
=
𝑎
10
= 5
, 𝑎
2
=
2
𝑎
2
=
𝑎
−
1
=
0, 5
2
Ответ:
𝑎
1
= 5
, 𝑎
2
=
−
0
,
5
Задание:
Решите уравнение
𝑎
2
−
4
𝑎
+ 3 = 0
различными методами.
7
У доски 5 обучающихся. Метод, которым придется решать, написан в
произвольно выбираемой карточке:
1)
по общей формуле;
2)
по формуле с четным вторым коэффициентом;
3)
по теореме Виета;
4)
по сумме коэффициентов;
5)
графическим способом.
—
Каким из способов проще и быстрее решить данное уравнение?
Задание: Тестирование с самопроверкой.
—
Чтобы проверить, как вы умете применять полученные знания вы-
полним тест. (Приложение 1.)
Время выполнения теста 5–7 минут. Выпишите буквенный код в тет-
радь.
Номер задания
Вариант I
Вариант II
1
В
Г
2
Г
Б
3
Г
А
4
В
В
5
А
А
—
Свои предварительные результаты вы можете узнать уже сейчас.
Проверьте правильность выполнения заданий. Критерии выставлении оценки
следующие:
«5» – 5 заданий
«4» – 4 задания
«3» – 3 задания
«2« – 1–2 задания
IV.
Подведение итогов
—
Какие способы решения квадратных уравнений существуют?
Это, конечно, далеко не все способы решения квадратных уравнений.
Помните, что при решении уравнений, нужно выбирать наиболее раци-
ональный способ решения.
8
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1
Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре
за курс основной школы. 9 класс / Л. В. Кузнецова, Е. А. Бунимович, Б. П.
Пигарев, С. Б. Суворова. — 14-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2008. — 191,
[1] c. : ил.
2
Муравин, Г. К. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /
Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. — 15-е изд., стереотип. —
М. : Дрофа, 2013. — 254, [2] c. : ил.
3
ЕГЭ-2012. Математика : типовые экзаменнационные варианты : 30
вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. — М. : Национальное
оразование, 2011. — 240 с. — (ЕГЭ-2012. ФИПИ — школе).
4
ГИА-2013. Математика : типовые экзаменнационные варианты : 30
вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. — М. : Издательство
«Национальное образование», 2013. — 192 с. — (ГИА-2013. ФИПИ — школе).
5 Методические указания к решению конкурсных задач по математике.
Санкт-Петербург. 2004
6
Тесты математика, варианты и ответы централизованного (абитури-
ентского) тестирования, пособие для подготовки к тестированию. Москва.
2004
7
Брадис, В. М. Четырехзначные математические таблицы / В. М. Бра-
дис. — 13-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2010. — 93, [3] с. : ил.
8
Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. —
М. : Мнемозина, 2010. — 215 с. : ил.
9
Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся
общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г.
Мордковича. — 12-е изд., испр. и доп. — М. : Мнемозина, 2010. — 271 с. :‘ил.
9
7
7
7
7
3
3
12
7
12
Приложение 1
Ф. И.
Вариант I
1.
Какое из чисел
−
2
,
−
1
,
3, 5 является корнем уравнения 4𝑎
2
−
11𝑎
−
3 = 0?
A.
−
1
Б.
−
2
В. 3 Г. 5
2.
Чему равна сумма корней уравнения
7
𝑎
2
−
19
𝑎
+ 4 = 0
?
A.
4
Б. −
4
В.
−
19
Г.
19
3.
Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
A. 4𝑎
2
−
3𝑎
−
4 = 0
Б.
𝑎
2
+ 4
𝑎
+ 3 = 0
В.
9
𝑎
2
+ 6
𝑎
+ 1 = 0
Г.
5
𝑎
2
−
𝑎
+ 1 = 0
4.
Найдите корни квадратного уравнения
2
𝑎
2
−
3
𝑎
+ 1 = 0
.
A.
−
0
,
5;
−
1
Б.
0, 5;
−
1
В.
0, 5; 1
Г.
−
0
,
5; 1
5.
Ук
ажите
наибольший
к
орень
квадратного
уравнения
313
𝑎
2
−
326
𝑎
+
13
=
0
.
A.
1
Б.
13
В.
326
Г.
313
Ф. И.
Вариант II
1.
Какое из чисел 2, 1, 3,
1
является корнем уравнения
3
𝑎
2
+ 2
𝑎
−
1 = 0
?
A.
1
Б.
2
В.
3
Г.
1
2.
Чему равна сумма корней уравнения
12
𝑎
2
+ 7
𝑎
+ 1 = 0
?
7
Б.
−
7
В.
7
Г. −
7
3.
Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
A.
𝑎
2
−
𝑎
+ 5 = 0
Б.
𝑎
2
+ 4
𝑎
+ 3 = 0
В.
2
𝑎
2
+ 6
𝑎
+ 4
,
5 = 0
Г.
2
𝑎
2
−
3
𝑎
−
8 = 0
4.
Найдите корни квадратного уравнения
5
𝑎
2
−
12
𝑎
+ 7 = 0
.
A.
−
1
,
4;
−
1
Б.
5
; 1
В.
1; 1, 4
Г.
0, 5; 1
5.
Ук
ажите
н
аибольший
к
орень
квадратного
уравнения
4271
𝑎
2
−
4272
𝑎
+
1
=
0
A.
1
Б.
−
4272
В.
4271
Г.
4272
A.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: