Превообразная. Неопределённый и определённый интеграл
Лекция № 48
Первообразная и интеграл
П.1: Понятие первообразной
Пусть задана некоторая непрерывная функция и её областью определения является
промежуток X. Как известно, производная функции равна пределу отношения приращения
функции к приращению аргумента, где приращение аргумента стремиться к 0:
Вспомним геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл заключается
в том, что производная есть угловой коэффициент, но производная функции равна и тангенсу угла
наклона касательной к графику функции:
. Физический смысл заключается в
том, что производная функции в некоторой точке есть скорость, а двойная производная –
ускорение:
Остановимся на физическом смысле производной. Функция, которую мы дифференцировали для
нахождения скорости и ускорения точки есть перемещение. А как получить закон перемещения,
зная, например, скорость? Если на некотором промежутке X будет определена непрерывная
функция , а также выполняться равенство
, то функция и есть
искомое перемещение. Такая функция называется первообразная.
ПЕРВООБРАЗНАЯ – такая функция для непрерывной функции , определённой
на промежутке X, где , для которой выполняется равенство
.
П.2: Неопределённый интеграл
Решение задачи о нахождении перемещения некоторой точки было неполным, поскольку таких
решений бесконечно много. Для полного решения необходимо добавить произвольную константу
С. У функции может быть бесконечно много первообразных, и для того, чтобы объединить их
всех используют такой математический аппарат, как интеграл. Остановимся пока что на
неопределённом интеграле.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ – совокупность первообразных функции.
Само обозначение интеграла является стилизованной буквой S, так мы рассматриваем сумму всех
первообразных функции. Функция называется подынтегральная функция, а обозначение
dx – множитель переменной, по которой мы дифференцируем. Запишем чему же равен
неопределённый интеграл:
Значит, интеграл функции равен множеству первообразных этой функции. Как же их считать?
Необходимо знать таблицу первообразных. Её можно вывести, зная таблицу производных.
Существует несколько правил интегрирования. Кстати, интегрирование – процесс, обратный
дифференцированию.
1. Интеграл суммы, равен сумме интегралов:
(также и интеграл разности равен разности интегралов).
2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
3. Если
.
П.3: Определённый интеграл
Рассмотрим задачу о нахождении площади под кривой. Для этого введём определение
криволинейной трапеции.
КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ - плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной
непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми x=a и x=b.
Начертим криволинейную трапецию и обозначим некоторые части на чертеже.
У нас имеется декартова система координат, где существует геометрическое тело, ограниченное
отрезком [a; b] и графиком функции , а также прямыми, перпендикулярные отрезку [a; b]
и параллельные оси OY, соединяющие сам отрезок с графиком функции.
Для того, чтобы решить эту задачу сделаем несколько вещей:
1. Разобьём отрезок [a; b] на n равных частей. Получим точки
. Проведём
через эти точки прямые, параллельные оси OY.
2. Рассмотрим отдельно k-й взятый столбик и найдём его площадь. Основание есть отрезок
[
, а высота есть значение функции в точке
. Площадь такого прямоугольника
есть ничто иное как
, где - длина отрезка [
.
3. Площадь криволинейной трапеции будет равна сумме площадей каждого такого столбика.
Причём, чем больше столбиков, тем точнее значение площади криволинейной трапеции.
4. Подставим значения:
Теперь можно утверждать, что площадь криволинейной трапеции:
Мы вывели математическую модель. Теперь нам нужно её преобразовать и научиться работать с
ней.
Будем считать (далее в вузе это будет доказано в курсе математического анализа), что этот предел
в случае непрерывной или кусочно-непрерывной функции существует. Этот предел и будет
называется определённым интегралом.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ -число, равное пределу сумм особого вида, существующий при
условии, что функция
непрерывна на промежутке [a; b].
Для нашей задачи, интеграл можно назвать площадью под кривой.
Правила интегрирования справедливы и для определённого интеграла.
Необходимо запомнит ещё несколько формул:
1. ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА:
. Эта формула
справедлива, если функция непрерывна на отрезке [a; b].
2. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ДВУМЯ КРИВЫМИ:
Практическая работа
1. Докажите, что:
а)
– первообразная для функции
.
б)
– первообразная для функции
.
в)
– первообразная для функции
.
г)
– первообразная для функции
.
2. Найдите первообразную функции:
а
.
б)
.
в)
.
г)
.
3. Найдите неопределённый интеграл:
а)
.
б)
в)
г)
4. Вычислите, чему равен неопределённый интеграл функции в заданной точке:
а)
, y = 0
б)
, y = 2
в)
, y = 8
г)
.
5. Вычислите определённый интеграл:
а)
б)
в)
г)
6. Вычислите площадь, ограниченную двумя кривыми:
а)
,
, x=2
б)
,
в)
,
г)
,
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Рубежное тестирование "Рациональные дроби. Квадратные корни" 8 класс
- Конспект урока "Определение функции" 7 класс Ю.М. Колягин «Алгебра – 7»
- Презентация "Комбинированные уравнения" 10 класс
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГРАМОТНОСТЬ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ КАК КОМПОНЕНТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ГРАМОТНОСТИ
- Тест "Неравенства с одной переменной" 8 класс
- Тест "Применение формул сокращенного умножения" 7 класс (с ответами)
