Ученики на Учителя.com


Урок обобщения и систематизации знаний по теме "Производная функции" 10 класс

1
Урок обобщения и систематизации знаний по
теме «Производная функции»
10 класс
Дидактическая цель: создать условия для обобщения и
систематизации изученного материала, выявления уровня овладения
системой знаний и умений.
Задачи:
Образовательная: обобщить и систематизировать изученный материал
по теме «Производная функции», выяснить степень готовности учащихся
к контрольной работе.
Развивающая: способствовать формированию ключевых компетентностей,
развитию элементов творческой самостоятельной деятельности учащихся,
внимания, наблюдательности.
Воспитательная: воспитание устойчивого интереса к изучению математики
через применение различных видов деятельности на уроке, толерантности,
культуры речи, уверенности в себе, ответственности за качество и результат
выполняемой работы на уроке.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая,
индивидуальная.
Ход урока
I. Организационный момент
Учитель. Добрый день, друзья! Рада вас видеть. Я желаю вам сегодня на
уроке удачи, точных расчетов и вычислений, новых открытий.
II. Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели урока.
Учитель. Девизом нашего урока будут следующие слова: «Я знаю, что я
умею делать. Я знаю, как это сделать», а эпиграфом к уроку я взяла
замечательные строки поэта А. Поупа:
«Был этот мир глубокой тьмой окутан.
Да будет свет! И вот явился Ньютон».
2
Учитель. Догадались, почему?
Ответ. Великий английский физик, математик и астроном Исаак Ньютон в
конце 12 века ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем
самым раскрыл её механический смысл.
Учитель. Сегодня мы с вами продолжим знакомство с производными
функций, вспомним и обобщим все те знания, которые вы получили на
предыдущих уроках. Откройте тетради и запишите тему урока «Производная
функции».
Учитель. Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока?
Ответ. Повторить теоретический материал темы «Производная», проверить
свои знания при решении задач.
III. Актуализация опорных знаний. Устная работа
Учитель. Для того, чтобы включиться в работу и сконцентрироваться,
предлагаю вам небольшую разминку.
Задание 1. Ответьте на вопросы.
Вопрос. Что называется производной функции f (х)в точке х
0
?
Ответ. Пусть функция определена в некотором интервале,
содержащем внутри себя точку
. Дадим аргументу приращение  такое,
чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение
функции  (при переходе от точки
к точке
) и составим
отношение


. Если существует предел этого отношения при  , то
указанный предел называют производной функции
в точке
и
обозначают

.
Вопрос. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения
и частного.
Ответ. 1) Производная суммы равна сумме производных.
2) Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых;
первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую
3
функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на
производную второй функции.
3) Производная частного двух функций равна производной первой функции
умноженной на вторую функцию минус произведение первой функции на
производную второй, деленное на квадрат второй функции.
Вопрос. Назовите производные элементарных функций
Вопрос. В чем заключается механический смысл производной?
Ответ. Физический (механический) смысл производной состоит в
следующем. Если s = s(t) – закон прямолинейного движения тела, то
производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v(t) = s΄(t).
Вопрос. В чем заключается геометрический смысл производной?
Ответ. Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к
графику у = f(x) в точке с абсциссой х = а можно провести касательную,
непараллельную оси у, то f΄ (a) выражает угловой коэффициент касательной:
k = f΄(a).
Задание 2. Укажите, для какой из функций
xxxf
xxxf
xxxf
sin18)(
sin5,4)(
cos9)(
2
2
+=
−=
+=
функция
xxxf cos9)( −=
является производной.
Ответ: f(x)= 4,5x
2
– sinx
Задание 3. Найти производную функции.
Примечание. На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих
преобразований задания становятся проще.
Функция
Подсказка
Ответ
1) у =

y = x
4
– x
3
y΄ = 4x
3
– 3x
2
2) y = (x
2
+ 1)(x
2
– 1)
y = x
4
– 1
y΄ = 4x
3
3) y =
y΄ =
4) y = cos
2
x + sin
2
x
y = 1
y΄ = 0
5) y = cos
2
x – sin
2
x
y = cos2x
y΄ = - 2 sin2x
6) y = (x – 2)(x
2
+ 2x + 4)
y = x
3
– 8
y΄ = 3x
2
4
7) y =
y =
y΄ =
Задание 4. Найдите скорость изменения функции h(x) = 4x
3
– x
2
в х
0
= 0.
Ответ: v (0) = 0.
(Задания 1 – 4 оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист).
IV. Решение задач
1. Составь пару.
Объяснение задания. В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции
найдите производную и запишите соответствие клеток.
Например: (х
5
)΄ = 5х
4
,следовательно, ответ:1– 9 и т.д.
4. 1
7.
13. – sin x
16.
5. 2
8. sin x
14. –
17. 0
6. х
2
9. 5x
4
15. cos х
18. 12x
-5
Ответы: 1–9; 2–4; 3–5; 4–17; 5–17; 6–3; 7–16; 8–15; 10–18; 11–14; 12–17;
13–15.
(Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ).
2. Групповая работа.
Примечание. Класс делится на 3 группы. 1 и 2 группа работают под руководством
ученика, ответственного за данную группу. 3 группа (менее подготовленная) работает
под руководством учителя. У каждого учащегося 1 и 2 группы своя зачётная карточка.
Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у ответственного за
группу (если требуется у учителя). После выполнения работы учитель проверяет
работы у ответственных, а ответственные у членов своей группы.
Задания для 1 группы
Задания для 2 группы
1. Найдите производную функции:
а) y = x
6
– 13x
4
+ 11; (1б)
б) y = x
3
+ sin x. (1б)
2. Найдите значение производной функции
y = 12 cos x в точке x
0
= –
6
. (2б)
1. Найдите производную функции:
а)
611927
5
++= xxу
; (1б)
б)
x
x
у
cos
=
. (1б)
2. Найдите значение производной функции
xу sin19=
в точке
4
0
−=х
. (2б)
5
3. Найдите точки, в которых значение
производной функции
y =
3
1
х
3
– 6x
2
+ 27x – 21 равно 0. (2б)
4. Дополнительное задание.
Найдите скорость изменения функции
y = x sinx в точке х
0
=
4
. (2б)
3. Найдите точки, в которых значение
производной функции
1387
3
1
23
−+−= xxху
равно
2−
. (2б)
4. Дополнительное задание.
Найдите скорость изменения функции
2
)1( += ху
в точке х
0
= 1. (2б)
А в это время 3 группа под руководством учителя работает следующим образом:
учитель предлагает задания. Один из учеников третьей группы решает его на доске.
Затем каждый ученик выполняет аналогичные задания на месте (карточки уже на руках
у учеников).
Задания для 3 группы для решения у доски
1. Найдите производную функции
хххху 8543
234
+++=
в точке х
0
= 0.
2. Найдите производную функции:
3
1
2
−
+
=
х
x
у
.
Задание 1. Найдите производную функции
хххху 8543
234
+++=
в точке
х
0
= 0.
Учитель. Что известно по условию задачи?
Ответ. Функция.
Вопрос. Каков способ задания функции?
Ответ. Формулой.
Вопрос. Что известно ещё?
Ответ. Точка с абсциссой х
0
.
Вопрос. Что нужно найти?
Ответ. Найти производную функции в точке х
0.
Вопрос. Как найти производную функции в точке х
0
.
Ответ. 1. Найти f΄(x). 2. Найти значение производной в точке f΄(х
0
).
Решение. 1. у΄ = (3х
4
+ 4х
3
+ 5х
2
+ 8х)΄ = 12х
3
+ 12х
2
+ 10х + 8.
2. у΄(0) = 12·0
3
+ 12·0
2
+ 10·0 + 8 = 8
6
Ответ: 8
Задание 2. Найдите производную функции: а)
3
1
2
−
+
=
х
x
у
.
Вопрос. Что известно по условию задачи?
Ответ. Функция.
Вопрос. Каков способ задания функции?
Ответ. Формулой.
Вопрос. Что требуется найти?
Ответ. Производную данной функции.
Вопрос. Как найти производную данной функции?
Ответ. По правилу дифференцирования частного.
Решение. у΄ = (


)΄ =





=





=




=


.
Задания для 3 группы
Задания для 3 группы
Вариант№1
Вариант№2
1. Найти производную функции в х
0
= 1
4354
23
+−+= ххху
. (2б)
2. Найдите производную функции
2
3
2
−
+
=
х
x
у
. (3б)
Дополнительное задание.
3. Найдите производную функции.
.)1(2
32
++= хxy
(3б)
1. Найти производную функции в х
0
= 1
y = 4x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
+ x – 1. (2б)
2. Найдите производную функции
y =
2
110
2
+
−
õ
õ
. (3б)
Дополнительное задание.
3. Найдите производную функции.
y = sin x + 4
12 +х
. (3б)
В помощь ученикам 3 группы дается образец решения
Образец.
1. Найдите производную функции
хххху 8543
234
+++=
в точке х
0
= 0
;88010012012)0('
;8101212'
23
=+++=
+++=
y
xxxy
2. Найдите производную функции: а)
3
1
2
−
+
=
х
x
у
;
7
;
)3(
16
)3(
162
)3(
1)1()3(2
)3(
)'3()1()3()'1(
'
2
2
2
22
2
2
2
22
−
−−
=
−
−−−
=
=
−
+−−
=
=
−
−+−−+
=
х
xx
х
xxx
х
xxx
х
xxxx
у
б)
;1
3
+= xy
;
12
3
12
)1(1
'
3
2
3
3
+
=
+
+
=
x
x
x
x
y
в)
2
)42( += xy
;
.16824)(2õ2')42()42(2'
11
+=+=++= xõxy
Пока ученики 3 группы выполнят задания, учитель подводит итоги с учениками 1 и 2
группы. Наиболее сложные задания разбираются на доске. Учащиеся проверяют решение
и сверяют ответы.
Ответы 1 группы
Ответы 2 группы
1.а) y´ = 6x
5
- 52x
3
;
б) y´= 3x
2
+ cos x.
2. y´= -12 sin x;
6)
6
sin(-12)
6
(' =−=−
y
3. y´= x
2
– 12x +27;
y´= 0.
x
2
– 12x + 27= 0;
Д =36;
x
1
=9; x
2
=3
4.v(x)=y´=x´sinx+ x(sinx)´=sinx +xcosx;
8
)4(2
2
2
42
2
4
cos
44
sin)
4
('
+
=+=+=ó
1. а) y´=135x
4
+ 19;
б)
x
xxx
y
2
cos
sincos
'
+
=
2. y´=19 cos x;
2
219
)
4
cos(-19)
4
(' ==−
y
3.y´= x
2
– 14x + 38;
y´= -2;
x
2
-14x + 38=-2;
Д=36;
x
1
=10; x
2
=4.
4. v(x)=y´=2(х+1);
v(1)=4.
8
Руководители 1 и 2 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от
выполненных заданий. Результаты выполнения работы 3 группы проверяет учитель и
выставляет баллы в оценочный лист.
V. Подведение итогов урока. Рефлексия
1. Каждый ученик заполняет листок самооценивания.
Фамилия Имя …………………………………….
Количество баллов
Устная работа (10 баллов)
Найди пару (12 баллов)
Участие в работе группы (8 баллов)
Итого:
«5» - 17 -20 баллов; «4» - 14 – 16 баллов; «3» - 10 – 13 баллов; «2» - менее 10 баллов.
Учитель. Ребята давай оценим нашу работу на уроке.
1. Какова цель нашего урока? Достигли ли мы цели?
2. Продолжите фразу:
• «Сегодня на уроке я узнал…»
• «Сегодня на уроке я научился…»
• «Сегодня на уроке я познакомился…»
• «Сегодня на уроке я повторил…»
• «Сегодня на уроке я закрепил…»
Учитель. Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что
хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения
производной к решению различных задач, то нарисуйте себя на вершине
самой высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже.
Покажите свои рисунки.
Учитель. Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у
меня вот такое: (показываю солнце).
Вопрос. А какое настроение у вас?
Учитель. В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение:
«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
9
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей».
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Спасибо за работу!
V. Дифференцированное домашнее задание. Выставление отметок
На оценку «3» - 2 задания, «4» - 3 задания, «5» - 4 задания.
1.Найти производную функции:
8
xy =
,
5−
= xy
,
xy =
,
xy sin=
,
xxy 32
3
+=
,
x
x
y
sin
=
.
2. Задан закон прямолинейного движения
( )
432
3
+−= tttS
. S и t измеряются
соответственно в метрах и секундах. Найти скорость и ускорение в момент
t = 2.
3. Вычислите у ' , если у (х) = ctg x – tg x.
4. Решите уравнение: f ' (x) = 0, если f (x) = х
4
– 2х
2
+ 1.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: