Презентация "Функция. Свойства функции"

Подписи к слайдам:
Функция. Свойства функции.
  • Выполнил:
  • учитель математики и информатики
  • МОУ СШ № 7 Волгограда
  • Изотова Ирина Юрьевна
План:
  • Определение функции.
  • Область определения. Область значений.
  • Способы задания функции.
  • Возрастание, убывание функции.
  • Ограниченность функции.
  • Наибольшее, наименьшее значения функции.
  • Выпуклость, вогнутость функции.
  • Четность, нечетность функции.
  • Элементарные функции, их свойства и графики.
Определение функции
  • Определение функции
  • Зависимость между двумя переменными х и у,
  • при котором каждому значению переменной х соответствует
  • единственное значение переменной у называют функцией .
  • Обозначают у = f(х),
  • где х – независимая переменная (аргумент),
  • у = f(x) – зависимая переменная (функция).
  • х2
  • х1
  • у2
  • у1
  • у
  • х
  • О
  • у
  • х
  • хо
  • у1
  • у2
  • О
  • хо
  • у1
  • у2
  • у
  • х
  • О
  • Не является функцией
  • Не является функцией
  • Является функцией
Область значений функции
  • х
  • у
  • О
  • Область значений функции
  • Множество всех значений функции у = f(х),
  • где х принадлежит Х (области определения).
  • Обозначение: Е(f) = [m;n]
  • Область определения функции
  • Множество всех допустимых значений х (аргумента, независимой переменной) при которых выражение имеет смысл.
  • Обозначение: D(f) = [а;b]
  • b
  • a
  • х
  • у
  • О
  • n
  • m
Способы задания функции
  • Табличный.
  • Аналитический (формулой)
  • у = 2х + 5;
  • f(x) =
  • n
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • n2
  • 1
  • 4
  • 9
  • 16
  • 25
  • 36
  • 49
  • 64
  • 81
  • 100
  • Описанием (с помощью естественного языка)
  • Например:
  • «Каждому отрицательному числу соответствует – 1, нулю – число 0, а каждому положительному – число 1»
  • Графический
  • х
  • у
Свойства функции
  • Возрастание
  • Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) < f(x2).
  • (Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
  • Убывание
  • Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) > f(x2).
  • (Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)
  • у
  • x
  • О
  • Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ.
  • x
  • у
  • О
Ограниченность функции
  • Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу на множестве D(f), если все значения функции на области определения больше некоторого числа.
  • (Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) > m.)
  • Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве D(f), если все значения функции на области определения меньше некоторого числа.
  • (Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) < m.)
  • Если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m.
  • Если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = m.
  • у
  • x
  • О
  • m
  • Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют ограниченной.
  • у
  • x
  • О
  • m
Наибольшее (наименьшее) значения функции
  • Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве D(f), если:
  • в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = m;
  • для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
  • Обозначение: У наим. = у(хо) = m.
  • M
  • хо
  • х
  • О
  • у
  • хо
  • m
  • Если у функции существует У наим, то она ограничена снизу.
  • Если функция не ограничена снизу, то У наим. не существует.
  • Если у функции существует У наиб., то она ограничена сверху.
  • Если функция не ограничена сверху, то У наиб. не существует.
  • Число M называют наибольшим значением функции у = f(x) на множествеD(f), если:
  • в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = M;
  • для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
  • Обозначение: у наиб. = у(хо) = M.
  • у
  • х
  • О
Выпуклость, вогнутость функции
  • Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
  • О
  • x
  • у
  • Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
  • x
  • у
  • О
Четность, нечетность функции
  • Функция у = f(х) называют четной, если:
  • Область определения ее симметрична относительно начала координат;
  • Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = f(x).
  • Функция у = f(х) называют
  • нечетной, если:
  • Область определения ее симметрична относительно оси ОУ;
  • Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = - f(x).
  • у
  • x
  • О
  • График симметричен относительно оси ОУ.
  • График симметричен относительно начала координат.
  • О
  • у
  • x
Алгоритм исследования функции
  • Область определения.
  • Область значений.
  • Четность, нечетность функции.
  • Возрастание, убывание функции.
  • Ограниченность функции.
  • Наибольшее, наименьшее значения функции.
  • Непрерывность функции.
  • Выпуклость, вогнутость функции.
Линейная функция
  • 1. D(f) = R;
  • 2. Не является ни четной ни нечетной;
  • 3. Если k > 0, возрастает,
  • если k < 0 убывает;
  • 4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
  • 5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
  • 6. Функция непрерывна;
  • 7.
  • 8. Не имеет выпуклости.
  • х
  • у
  • K < 0
  • О
  • У = kx + m
  • m
  • У = kx + m
  • О
  • у
  • х
  • K > 0
  • m
Функция
  • 1.
  • 2. Нечетная функция;
  • 3. Если k > 0, то функция убывает на D(f),
  • если k < 0, то функция возрастает на D(f);
  • 4. Не ограничена ни сверху, ни снизу;
  • 5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
  • 6. Функция терпит разрыв в точке х = 0;
  • 7.
  • 8. Если k > 0, то функция выпукла вверх при х < 0,
  • и выпукла вниз при х > 0;
  • Если k < 0, то функция выпукла вверх при х > 0,
  • и выпукла вниз при х < 0.
  • K > 0
  • x
  • О
  • у
  • у
  • K < 0
  • О
  • х
Функция
  • 1. D(f) = [0; + ∞);
  • 2. Не является ни четной ни нечетной;
  • 3. Возрастает;
  • 4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
  • 5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0;
  • 6. Функция непрерывна;
  • 7. Е(f) = [0; + ∞)
  • 8. Выпукла вверх.
  • у
  • х
  • О
Функция
  • 1. D(f) = R;
  • 2. Функция четная;
  • 3. Возрастает на [0; + ∞);
  • убывает ( - ∞; 0]
  • 4. Не ограничена сверху,
  • ограничена снизу;
  • 5. Наибольшего значения нет,
  • наименьшее значение 0, при х = 0;
  • 6. Функция непрерывна;
  • 7. Е(f) = [0; + ∞)
  • 8. Выпукла вниз.
  • О
  • у
  • х
Функция
  • 1. D(f) = R;
  • 2. Функция четная;
  • 3. Возрастает на [0; + ∞); убывает ( - ∞; 0]
  • 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
  • 5. Наибольшего значения нет,
  • наименьшее значение 0, при х = 0;
  • 6. Функция непрерывна;
  • 7. Е(f) = [0; + ∞)
  • 8. Выпукла вниз.
  • 1. D(f) = R;
  • 2. Функция четная;
  • 3. Убывает на [0; + ∞); возрастает ( - ∞; 0]
  • 4. Не ограничена снизу, ограничена сверху;
  • 5. Наименьшего значения нет,
  • наибольшее значение 0, при х = 0;
  • 6. Функция непрерывна;
  • 7. Е(f) = ( - ∞; 0];
  • 8. Выпукла вверх.
  • О
  • у
  • х
  • a > 0
  • у
  • О
  • х
  • у
  • a < 0
Исследуйте функцию по графику