Презентация "Решение уравнений с применением свойств функции"

Решение уравнений с применением свойств функции Авторы: Фокша Ирина Николаевна, ученица 10-А класса Мардарь Вадим Вячеславович, ученик 11-А класса Руководитель: Урсул Светлана Ивановна, учитель математики первой квалификационной категории       Но мы заметили, что есть ещё одно решение. Рассмотрим функции и . Функция является возрастающей на области определения, а функция является убывающей на области определения. Из графических соображений следует, что уравнение имеет не более одного корня. Это значение легко подбирается, х=1. Ответ:{1}

•  

Цель нашей работы: Цель нашей работы: 1)Исследовать возможность применения свойств функции при решений уравнений Объект изучения: нестандартные уравнения и неравенства Актуальность исследования обусловлена тем , что аналитические методы , основанные на монотонности , ограниченности , четности функции , позволяет успешно решать нестандартные уравнения повышенного уровня сложности , включая комбинированные и уравнения с параметром .

Предмет изучения: способы решения уравнений и неравенств с помощью свойств функции

Задачи работы:

1)Исследовать применение( свойств функции при решении задач . 2)Описать методы решения уравнений с применением свойств функций , продемонстрировать их конкретными примерами

Методы исследования :

1)Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы о свойствах функций(монотонность , ограниченность , четность )

2)Классификация уравнений по методам решения

3)Анализ и обобщение методов решения нестандартных уравнений

Гипотеза. Предложили , что кроме наиболее известного графического способа решения

нестандартных уравнений , существует аналитические методы

Франсуа Виет

Г.Лейбниц

И.Бернулли

Рене Декарт

М.И.Лобачевский

Л. Эйлер

Применение ограниченности функции Схема

1) Привести уравнение или неравенство к виду f(x)=g(x)

2) Сделать оценку обеих частей: существует число М из области значений, такое что f(x) ≤M и g(x) M

3) Решить систему уравнений:

1) Привести уравнение или неравенство к виду f(x)=g(x)

2) Сделать оценку обеих частей: существует число М из области значений, такое что f(x) ≤M и g(x) M

3) Решить систему уравнений:

Пример   Решить уравнение: Решить уравнение: Решение: рассмотрим функцию у=х2+2х+3, у=(х+1)2 +2 E(у) g (x)= Так как при любых х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше двух, то данное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений

•  

Теорема. Для любого х справедливо неравенство f(x)>A и g(x)<A , то уравнение f(x)=g(x) не имеет корней на множестве М.

 

Пример Найти все целые значения х, удовлетворяющие неравенству Решение. Область определения левой части неравенства 0<х<4. Значит, нам достаточно рассмотреть три значения х: 1, 2, 3. Если х=1, то левая часть равна -1=. Если х=2, то . Если х=3, то . Ответ: 1,2   Пример Решить уравнение: Область допустимых значений арксинуса — [-1;1]. В основании степени с нецелым положительным показателем должно стоять неотрицательное число. ОДЗ:    Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из одного значения:{1}. Остаётся проверить, является ли x=1 корнем данного уравнения.       Ответ: 1.   Применение свойств монотонности функции Пример   Применение чётности функции   Пример Докажите, что при любом значении параметра а уравнение имеет нечётное число корней. Доказательство. Последнее уравнение имеет вид , где . 1) 2) Итак, функция - чётная функция при любом значении параметра а. Находим Т.к. , то исходное уравнение имеет нечётное число корней. Ч.т.д.   Пример Решить уравнение: Решение: Рассмотрим уравнение E(y)= Заметим, что , является корнем уравнения. Чтобы найти другие решения воспользуемся нечетностью функции Для этого рассмотрим его решение в области т.к если является решением, то (- также является решением. Представим множество в виде двух промежутков: 1)на Рассмотрим функцию . При а функция уравнение не имеет решения на этом промежутке. 2) принимает значения разных знаков, причем на уравнение не имеет решения Если то Это означает, что уравнение на не имеет решения Итак, Ответ:{-1;0;1}   ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе исследования получили следующие результаты: 1) Рассмотрены способы решения уравнений и неравенств с помощью свойств функции 2) Выявлена практическая значимость, которая заключается в возможности решения нестандартных уравнений и неравенств с помощью свойств функции, при этом решения становится оригинальными, мене громоздкими и «красивыми» 3) Намечены перспективы продолжить изучение свойств функции и применение производной функции при решении уравнений и неравенств Результаты исследований могут быть полезны учащимся при подготовке к ЕГЭ, олимпиадам различного уровня.

Спасибо за внимание