Конспект занятия "Уравнения с модулем"
Тема занятия: «Уравнения с модулем».
ЦЕЛИ:
• обобщить и систематизировать понятие модуля;
• познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений,
содержащих модуль;
• развивать познавательные интересы учащихся.
Оборудование: мультимедийный проектор, презентации «Решение
уравнений с модулем», карточки для самостоятельной работы.
I. Обобщение понятия модуля.
Модулем числа х называется само число х, если оно положительно
или равно нулю, и –х, если оно отрицательно.
Из определения следует, что │х│ ≥ 0.
Свойства модуля:
1. х
2
= │х│
2
2. │-х│ = │х│
3.│х-у│ = │у-х│ 4. │ху│ = │х│· │у│
5.│х/у│ = │х│/│у│
ПЛАН ЗАНЯТИЯ:
I. Обобщение понятия модуль.
II. Устная работа.
III. Знакомство с новой темой.
IV. Решение уравнений.
V. Самостоятельная работа.
VI. Подведение итогов.
II. Устная работа.
1. Решите уравнения: │х│ = 15; │х│ = 0; │х│ = -2
2. Найдите значение выражения │х-5│+│ х-8│, если 6 ≤ х ≤ 7,8
3. Найдите сумму корней уравнения │х-3│ = 5
4. Решите уравнение │9-3х│ = 0
III. Изучение новой темы.
Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод
решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:
Пример 1. Решите уравнение: │3-2х│=13
Решение. По определению модуля 3-2х = -13 или 3-2х = 13
х = 8 х = -5
Ответ: -5; 8.
Пример 2. Решите уравнение: │х+2│= 2х + 1
Решение. Выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль при
х=-2, поэтому по определению модуля имеем:
1) если х ≥ -2, то х+2 = 2х +1, отсюда х = 1 – корень уравнения, т.к. 1 > -2;
2) если х < -2, то –(х+2) = 2х+1, -3х =3 , отсюда х = -1 не является корнем,
так как не удовлетворяет условию х < -2.
Ответ: 1.
Если уравнение содержит несколько знаков модуля, то его проще
решать методом интервалов. Если его решать последовательным
раскрытием знаков модуля, то после раскрытия первого модуля надо
рассматривать два случая, после раскрытия второго модуля – еще два, т.е.
решение будет довольно громоздким. Метод интервалов для уравнений с
модулем состоит в том, что находят сначала все точки, в которых функции
под знаком модуля обращаются в нуль. Эти точки делят область допустимых
значений уравнения на промежутки, на каждом из которых функции, стоящие
под знаком модуля, сохраняют знак.
Пример 3. Решите уравнение: 2│х + 1│ - │2х - 2│ = 4 (см. Презентация №1)
Решение. Поделим обе части уравнения на 2, тогда уравнение примет вид:
│х + 1│ - │х - 1│ = 2
Выражения под знаком модуля обращаются в нуль при х
1
= -1 и х
2
= 1.
Эти точки делят область допустимых значений уравнения на
три промежутка:
1) x ≤ –1; 2) –1 < x ≤ 1; 3) x >1.
Проверим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных
промежутков:
Раскрывая модуль на каждом из полученных промежутков, решаем уравнение
и проверяем принадлежность полученных корней данному промежутку:
1) если x ≤ –1, то уравнение имеет вид –х – 1 + х – 1 = 2 или 0х = 4,
данное равенство не имеет смысла;
2) если –1 < x ≤ 1, то х + 1 + х – 1 = 2 или 2х = 2 => х = 1 – корень
уравнения, так как 1 принадлежит рассматриваемому промежутку;
3) если x >1, то х + 1 – х + 1 = 2 или 0х = 0, данное равенство является
тождеством, следовательно, любое число из рассматриваемого
промежутка (1 ; +∞) является решением данного уравнения.
Объединив найденные решения, получим, что уравнение имеет множество
решений [1; +∞).
IV. Решение уравнений.
Решите уравнения:
1) │2х - 4│ + │х + 6│ = 10 – х ( для проверки см. Презентация №2);
2) │х - 5│ - │х + 3│ +│х + 4│ = 10 (ответ: -6; 14)
3) │х - 2│ + │х - 1│ - │х│ = 4 (ответ: -1; 7)
V. Самостоятельная работа (на карточках).
Образцы карточек:
Решите уравнения:
1) │4-х│=2
2) │х+5│=│х-7│
Решите уравнение:
│х+2│+3│х-1│-│х│=8
Решите уравнения:
1) │5х+3│=1
2) │2х-3│=5
3) │х+1│=3
Решите уравнения:
1) │2х+5│+│2х-3│=8
2) │х-3│=│х│-3
Решите уравнения:
1) │2х-1│+х=3
2) │х-1│+│1-2х│=2│х│
Решите уравнения:
1) │х-1│-│х-2│=1
2) │3х-4│=0,5
Решите уравнения:
1) │х│-│х+2│=0
2) │1-х│+2=│3-х│
3) │х│-2│х+1│+3│х+2│=0
4) │2х+1│-│3-х│=│х-4│
Решите уравнения:
1) │х+1│=│3-2х│
2) │2х-3│-│5х+4│=0
3) 2│3х+1│-5│2-х│=4│х+8│-7
VI. Подведение итогов.
Уравнения, содержащие модули, используются как на школьных экзаменах,
так и на экзаменах при поступлении в учебные заведения. Мы не ставили
перед собой задачу представить модули во всей широте и объеме этого
понятия. Мы рассмотрели несколько уравнений для приобретения
первоначальных навыков в решении задач, содержащих абсолютные
величины.
Домашнее задание: Решите уравнения:
1) │х+1│+│х+3│=6;
2) │3х-8│-│3х-2│=6;
3) │х│=2│х-4│+х-2;
4) 2│х+6│-│х│+│х-6│=18;
5) │х│-2│х+1│+3│х+2│=0.
