Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Решение нестандартных задач с параметрами" 11 класс

1
УРОК АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
Кравцова Н. В., учитель математики
ТЕМА «Решение нестандартных задач с параметрами»
ЦЕЛИ:
Образовательные:
• организовать деятельность школьников по самостоятельному
применению знаний в разнообразных ситуациях при решении
показательных уравнений с параметрами;
• способствовать быстрой актуализации знаний учащихся при решении
нестандартных задач;
• организовать деятельность учащихся по применению понятий
«показательное уравнение», «показательная функция», «алгоритмов
действий;
• обеспечить развитие у школьников умений самостоятельно применять
знания в разнообразных ситуациях с учётом своего индивидуального
познавательного стиля.
Развивающие:
• создать содержательные и организационные условия для
формирования и развития у школьников познавательной
компетентности;
• способствовать развитию математической культуры каждого
школьника.
Воспитательные:
• воспитывать чувство ответственности каждого школьника за
собственную деятельность и деятельность всего класса, способствовать
сплочению классного коллектива.
Список используемой литературы на уроке:
1. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В. Алгебра и начала
анализа.8-11 класс.
2. Жафяров А. Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.
3. Мельников И. И., Сергеев И. Н. Как решать задачи по математике на
2
вступительных экзаменах.
4. Натяганов В. Л., Лужина Л. М. Методы решения задач с параметрами.
5. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами
ТИП УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ: учебное занятие по комплексному
применению знаний и способов деятельности.
ЛОГИКА УРОКА: мотивация → актуализация комплекса знаний и способов
деятельности → самостоятельное применение знаний в сходной и новой
ситуациях → самоконтроль и контроль → коррекция → рефлексия.
ХОД УРОКА
1. Тема сегодняшнего урока «Решение нестандартных задач с
параметрами», т.е. задач, входящих в III часть единого государственного
экзамена (блок «С»).
2. Задачи, которые рассмотрим сегодня, содержат показательную функцию.
- Перечислите свойства элементарной показательной функции.
1) Монотонна: возрастает, если основание больше 1; убывает, если
основание больше 0, но меньше 1.
2) Ограничена снизу, т.е. Е(у)=(0; )
- Могут ли эти свойства меняться и от чего это зависит? (от показателя
степени).
3. На доске записать решение домашних задач № 1 и 2. (вызываются 2
ученика)
1. Дана функция у = f(x), где
x
x
xf
3
27
3 )(
. При каких значениях
параметра а функция у = f(х+а) является нечётной?
2. При каких значениях параметра а множество значений функции
128
1
2
2
2
xx
axx
xf )(
принадлежит промежутку [0;127] для всех значений х?
На прошлом уроке мы встретились с функцией, которая была чётной, а
в домашней работе была предложена задача с параметром, в которой речь
идёт о нечётной функции. Большого различия в решении этой задачи не
может быть, сравним решение с решением одного из учеников.
Задача №2 домашнего задания была посвящена ограниченности
показательной функции.
Сравните своё решение с решением, предложенным на доске
(обратить внимание на возможное различие в решении, сверить ответы).
4. Сегодня предлагаю вам рассмотреть задачу несколько иного содержания.
При каких а>0 область значений функции
ax
a
y
x
x
3
5
1
не содержит ни
одного целого чётного числа.
Наметим способ решения. (Обговорить этапы; на доске решают 2
ученика, дополняя, комментируя решения друг друга; отвечая на вопросы
3
остальных учеников. Обратить внимание на способ нахождения множества
значений).
5. К доске для записи решения домашнего уравнения приглашается
ученик.
Решите уравнение
3329
2
13
73
33
53
xxx
x
x
x
b
Перейдём к уравнениям, содержащим показательные выражения.
Уравнения с параметрами можно разделить на 3 типа:
I. Решить уравнение (домашнее уравнение).
II. Задачи на исследование: найти число корней в зависимости от
параметра.
III. Задачи, в которых рассматривается взаимозависимость количества
корней двух уравнений; уравнения и неравенства; или же другие
дополнительные условия.
Сверим решение домашнего уравнения с решением, записанным на
доске. (На доске допускается не очень подробная запись. Обговорить
различные способы решения).
6. Два уравнения подготовили как индивидуальное домашнее задание 2
ученика. (Обратить внимание обучающихся на этапы рассуждения,
необходимые обоснования, выводы в записи учеников. В тетрадь
записывают по вариантам – одно из них).
№2. Даны два уравнения:
и
x
x
p
p
34791
1
1
. Значение параметра р ≠ 1 выбирается так, что число
различных корней первого уравнения равно произведению числа р + 1 и
числа различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при
каждом значении параметра, выбранном таким образом.
№3. Даны два уравнения
x
х
p
p
37333
3
4
и
75532137
2
xpxppp )(
(р≠3) причём при делении числа
различных корней второго уравнения на число различных корней первого
уравнения получится число 4 - р. Решите первое уравнение при каждом
значении параметра, выбранного таким образом.
7. Подведение итогов урока, объявление оценок.
8. Комментарии к домашнему заданию:
1. Переформулируйте задание так, чтобы рассматривать множество
значений, как заданное.
2. После введения замены, не забудьте условие о значении новой
переменной.
3. Запись решения проведите по рекомендациям, полученным на
уроке.
4
9. Рефлексия: прошу оставить свои кнопки-мнения о «важности темы»,
«об уровне вашего восприятия» на стенде. (К доске выставляется стенд из
пенопласта, обтянутый тканью. Посередине изображён вертикальный
термометр с отметками трёх цветов: красная полоса – самая нижняя –
«понял плохо» слева, «тема не нужная» - справа; жёлтая полоса –
посередине – «почти понял, но не уверен» - слева, «тема интересная, но я
обойдусь без неё» - справа; зелёная полоса – самая верхняя – «всё понял, могу
применять» - слева, «для меня очень важная тема» - справа).
На стенде 30% кнопок в области зелёной полосы, 50% кнопок – в
области жёлтой полосы и между зелёной и жёлтой. 15% - между красной и
жёлтой и 5% - на красной полосе.
5
Решение домашнего задания.
1. Дана функция у = f(x), где
x
x
xf
3
27
3 )(
. При каких значениях
параметра а функция у = f(х+а) является нечётной?
Решение.
Найдём у = f(х+а)=
x
x
3
27
3
. Условие нечётности: f(x+a)=-f(-x+a). Получим:
)3(333
ax
27
ax
ax
27
ax
ax
ax
ax
ax
2727
3333
0;33
0)3(3)3(3
0)3(33)3(33
03333
xx
xxa3a
a3axa3ax
axa3xa3xax
для любого х (как сумма положительных чисел)
51
32
3
33
033
3
3a
,
a
a
aa
aa
a
Ответ: при а=1,5
x
x
xf
3
27
3 )(
является нечётной.
2. При каких значениях параметра а множеством значений функции
128
1
2
2
2
xx
axx
xf )(
принадлежит промежутку [0;127] для всех значений х?
Решение.
127280
1
2
2
2
xx
axx
.; 4
1
2
32222
2
2
4
1
2
3
2
2
xx
axx
y
t
xx
axx
Заметим, что х
2
-х+1>0 для
любого х.
Двойное неравенство равносильно системе:
0134
0643
2
2
axx
axx
Чтобы эти условия выполнялись одновременно и для любого х, необходимо и
достаточно выполнения условий:
,
0
0
2
1
D
D
т.е.
71
426426
434
26426
163
724
2
2
a
a
a
a
a
a
;;
Ответ: при а[-1;
426
]
а
-1
426
426
7
6
3. Решите уравнение
3329
2
13
73
33
53
xxx
x
x
x
b
Решение.
Обозначим 3
х
=t; t>0.
.;; 13
13
2
1
7
3
5
tt
tt
b
t
t
t
t
(t+5)(t+1)+(t-7)(t-3)=2b
t
2
+6t+5+t
2
-10t+21-2b=0
2t
2
-4t+26-2b=0
t
2
-2t+13-b=0
D=4-52+4b=4b-48. D
0, если b
12.
t=1+
12b
или t=1-
12b
3
x
=1+
12b
0; 3
x
=1-
12b
; 1-
12b
0. 1
12b
. b
13.
Но t3, т.е. 1+
12b
3. b16
1-
12b
3 – всегда верно.
Тогда: при b[12;13)
121log
121log
3
3
bx
bx
при b[13;16) (16;+) х =
121log
3
b
при b(-;12) {16} – нет корней.
4. При каких а>0 область значений функции
ax
a
y
x
x
3
5
1
не содержит ни
одного целого чётного числа.
Решение.
Рассмотрим равенство
ax
a
y
x
x
3
5
1
как уравнение с параметром у; а и
переменой х. Найдём все такие у, при которых найдётся а0 такое, что это
уравнение имеет хотя бы одно решение.
a>0 a
x
+3a>0. Уравнение примет вид: уа
х
+3ау=а
х-1
+5. Домножим почленно на
а>0.
уа
a
x
+ 3a
2
y = a
x
+ 5a
a
x
(ya - 1) = 5a - 3a
2
y
Если
à
ó
1
, то решений нет: а
х
0 = 5а - 3а. 0 =2а, но а>0.
Если у
à
1
, то а
х
=
;
à
ó
àó
à
óà
óàà
1
3
5
3
1
35
2
а>0; а
х
>0, значит, должно
выполняться условие:
à
ó
àó
à
1
3
5
3
>0.
à
ó
ó
à
1
3
5
>0;
à
ó
à
ó
1
3
5
<0.
7
aà
1
3
5
, тогда
Решением являются у
àà 3
51
;
- область значений. Чтобы область значений
функции не содержала чётных целых чисел, должно выполняться условие:
Nê
ê
à
ê
à
2
3
5
22
1
,
5
61
22
1
ê
à
ê
a
что имеет решение,
если 2к - 2<
;
5
6ê
10к – 10 < 6к; к<2,5 (к
N) тогда к = 1 или к = 2.
При к=1 получим:
,
5
61
0
1
à
à
т.к. а
0 по условию, то а
6
5
.
При к=2 получим:
.;;;
2
1
12
5
12
5
1
5
121
2
1
à
à
à
à
à
à
Объединяя эти решения, получим: а
2
1
12
5
;
;
6
5
Ответ: при а
2
1
12
5
;
;
6
5
5. Даны два уравнения:
12411224
2
pxppxp )(
и
x
x
p
p
34791
1
1
.
Значение параметра р ≠ 1 выбирается так, что число различных корней
первого уравнения равно произведению числа р + 1 и числа различных
корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом
значении параметра, выбранном таким образом.
Решение.
Пусть к – число корней первого, n – второго уравнения, тогда заметим, что
191
1
1
p
p
при р
1, тогда у =
x
p
p
1
1
91
возрастающая, а у=47 - 3х – убывающая
второе уравнение имеет 0 или 1 корень.
Если n = 0, то и к = 0.
Если n = 1, то к = р + 1. р = к
1.
При возведении уравнения
12411224
2
pxppxp )(
в квадрат
получим квадратное уравнение, которое может иметь 2; 1; 0 корней.
Если к = 2
р = 1 (не удовлетворяет условию р
1).
+
+
-
у
à
1
à3
5
8
к = 1 к = 0
р = 0 р =
1
Проверим на уравнении
полученные
решения.
1) к = 1
р = 0
14124 õõ
4
1
0124
014
õ
õ
õ
24х + 1 = 16х
2
+ 8х + 1
16х
2
16х = 0
х = 0 или х = 1 - 2 корня; к = 2, а по предположению к = 1.
2) к = 0
р =
1
24
1
4
1
0241
014
141241411124
õ
õ
õ
õ
õõõõ ..
Уравнение не определено, т.е. корней не имеет, что соответствует
предположению к = 0. Значит, р =
1.
Решим второе уравнение:
x
x
34791
0
2
х
= 47
3х
х = 5 очевидный корень, т.к. 32=47
15 единственный, т.к. у = 2
х
у = 47 – 3х
Ответ: р =
1, х = 5.
6. Даны два уравнения
x
p
p
37333
3
4
и
75532137
2
xpxppp )(
(р≠3) причём при делении числа различных корней второго уравнения на
число различных корней первого уравнения получится число 4 - р. Решите
первое уравнение при каждом значении параметра, выбранного таким
образом
Решение.
Пусть к – число различных корней первого уравнения, n - число
различных корней второго уравнения, тогда
ð
ê
n
4
, т.е. n = к(4
р); р
3.
Заметим, что 3 + 3
3
4
ð
ð
>1, значит у =
õ
ð
ð
3
4
33
возрастающая, а у = 73 – 3х -
убывающая.
Первое уравнение либо имеет один корень, либо не имеет совсем, т.е.
к=0 или к = 1. Но к – знаменатель (к
0), осталось к = 1. Тогда n = 4
n.
При возведении уравнения
75532137
2
xpxppp )(
в
квадрат, получим квадратное уравнение и число его корней может быть:
n = 0 n = 1 n = 2
p = 4 p = 3 (не удовлетворяет условию р
3) р = 2.
9
Если р = 4, то второе уравнение не имеет корней, что верно. Проверим
число его корней при р = 2:
089
6931
3
1
3
331
35681
2
2
õõ
õõõ
õ
õ
õõ
õõ
,
х = 8 – п.к. х = 1 – получили один корень, а при р = 2, должен быть n = 2.
Значит, верно только: n = 0; р = 4.
Решим первое уравнение при р = 4.
(3+3
0
) = 73–3х
4
х
= 73–3х,
х = 3 – очевидный корень, т.к. 64 = 64.
х = 3 – единственный корень, у = 4
х
– возрастающая; у = 73–3х – убывающая.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: