Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Алгебраические уравнения" 9 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение общеобразовательная средняя школа
№ 24
Конспект урока по теме
« Алгебраические уравнения»
Составила учитель математики
Смирнова Галина Александровна
Город Кострома
2008-2009
Индивидуальный образовательный проект на уроке математики.
Тема урока: Алгебраические уравнения
Класс: 9
Курс: алгебра
Место урока в курсе: применение полученных знаний для составления
методических рекомендаций для учащихся других классов по данной теме.
Цель (по программе): выработать умение решать алгебраические
уравнения степени выше двух, системы с наличием данных уравнений и
решать текстовые задачи с помощью составления таких систем.
Цель урока: составить методические рекомендации для учащихся по
решению алгебраических уравнений степени выше двух.
Задачи (по программе): научить решать учащихся уравнения степени выше
двух, с помощью разложения на множители и введения вспомогательной
переменной.
Задачи урока:
• практическое применение знаний к решению алгебраических
уравнений степени выше двух;
• систематизация и ранжирование материала для составления
методических рекомендаций по данной теме.
Образовательные задачи:
✓ сформировать умение применять теоретические знания для
практического решения алгебраических уравнений степени выше двух,
систем уравнений, задач;
✓ формировать базу знаний, выходящих за пределы школьной
программы.
Развивающие задачи:
✓ развивать творческую сторону мышления;
✓ учить осуществлять исследовательскую деятельность.
Воспитательные задачи:
✓ формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей
решения.
Оборудование: карточки с заданиями, тетрадь, дополнительная литература и
учебник.
Данный урок проходит в групповой форме, работа групп была определена
тематикой домашнего задания.
Возможные маршруты:
1. Работа с исторической справкой.
2. Решение алгебраических уравнений.
3. Теорема Э.Безу.
4. Решение алгебраических уравнений способом разложения на
множители и введение вспомогательной переменной.
5. Решение систем уравнений и задач.
Продукт урока: методические рекомендации к решению алгебраических
уравнений степени выше двух, систем уравнений и задач.
План занятия:
Информационный ввод – 2 минуты
Актуализация ЗУН – 3 минуты
Исследовательская работа в группах – 15 минут
Психофизиологическая пауза – 1 минута
Решение алгебраических уравнений – 12 минут
Решение систем уравнений и задач – 10 минут
Подведение итогов – 2 минуты (Рефлексия. Учитель предлагает дать
самооценку своей работе по следующим вопросам:
• На какие из поставленных, в начале урока, вопросы вы получили
ответ (отметьте в таблице)
• Что у тебя хорошо получилось
• Какие задания вызвали затруднения
• Что тебе следует повторить при подготовке к следующему уроку?
• Что тебе следует выучить?
• Какое задание вызвало интерес?
• Что тебе понравилось на уроке?
• Ты выбрал правильно маршрут?
Пояснительная записка.
Работа на уроке на избранную тему является актуальной в связи с тем,
что данная тема не изучается в общеобразовательном школьном курсе
математики, знания полученные в ходе работы могут применяться для
решения заданий повышенной сложности, для решения систем
уравнений, задач практического характера в математике и физике. Решение
многих задач математики, физики, экономики и практики сводится к
решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических
уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление
сделать уравнения разрешимыми — одна из главных причин расширения
понятия числа. Нам необходимо с помощью нашей работы доступнее
преподнести материал, используя такие средства, как дополнительную
литературу, сайты Интернета (поисковые серверы: Yandex, Rambler, List. Al-
tavista. Aport) собственные задумки и предложения, электронную
презентацию и сайт.
Целью данного урока является овладение теоретическими знаниями в
данной области математики для практического решения алгебраических
уравнений степени выше двух.
Методы работы: Проведение учебно – исследовательской
деятельности, связанной с подбором и анализом математических источников,
обобщением, систематизацией и анализом собранного материала.
Вывод по уроку:
- Рассмотренные в ходе урока вопросы являются информационной
базой для учащихся заинтересованных в изучении математики.
- Полученные знания способствуют углубленному изучению данной
темы, расширению кругозора учащихся.
- Учащиеся получили навыки учебно-исследовательской деятельности.
- В процессе исследования были сформулированы методические
рекомендации, которые можно использовать для углубленного изучения
данной темы в старшей школе (тригонометрические, логарифмические и др.
темы), для индивидуального обучения, внеклассных и факультативных
занятий по математике, так же учителя могут использовать материалы урока
при изложении данной темы в других учебных классах и контроля знаний
учащихся.
- Создать систему дополнительных занятий по данной тематике, с
целью закрепления полученных знаний и приобретению практических
навыков при решении алгебраических уравнений степени выше двух.
ПРИЛОЖЕНИЯ
МАРШРУТЫ УЧАЩИХСЯ НА УРОКЕ.
Маршрут № 1.
Историческая справка.
Алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с
потребностями практики, в результате поиска общих приемов решения
однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи
свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были
известны приемы решения линейных уравнений. Еще со времен вавилонян и
древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является
решение уравнений и их систем. В Древнем Вавилоне 4000 лет назад умели
решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени.
Древние греки, решая уравнения, предварительно придавали им
геометрическую форму: числа отождествлялись с длинами отрезков,
нахождение неизвестной для них означало построение исконного отрезка. Но
общей теории решения уравнений в те времена ещё не было.
Рассмотрим задачу, найденную в папирусе Кахуна (18-16 в.в до н.э) и
имевшую прикладное значение. Формулировалась она в геометрических
терминах, мы же дадим её трактовку в современных обозначениях: «Найти
числа x и y, для которых x
2
+ y
2
=100 и x : y=1:0,75». В папирусе эта задача
(сводящаяся, фактически, к решению системы уравнения) решена методом
«ложного положения». «Положим x =1, тогда y=0,75 и x
2
+y
2
=1,25
2
. Но в
условии x
2
+y
2
=10
2
, значит в качестве x нужно брать не 1, а 10:1,25 = 8. Тогда
y=6».
Выдающийся узбекский ученый первой половины 9 века аль-Хорезми
впервые сформулировал правила преобразований уравнений, обосновал их
геометрически, в традициях древних греков. В 12 веке аль-Хорезми были
переведены на латинский я зык и служили долгое время в Европе основным
руководством по алгебре. Арабское название операции «восполнение»
(«перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть»), звучало
как «аль-джебр», что и дало название разделу математики, занимающемуся
решением уравнений – «алгебра».
Исторически развитие теорий уравнений и систем уравнений неразрывно
связано с расширением числовых представлений, с накоплением опыта в
преобразованиях алгебраических выражений, с развитием учения о
функциях.
В процессе развития алгебры из науки об уравнениях преобразовалась в
науку об операциях, более или менее сходных с действиями над числами.
Таким образом, современная алгебра – один из основных разделов
математики.
Маршрут № 2.
Алгебраические уравнения.
Задача 1. Разделить многочлен х
3
- 2х
2
- 5х + б на двучлен х- 1.
∆ Выполним деление уголком, пользуясь известным алгоритмом.
1) Первое слагаемое частного получается делением старшего члена делимого
на старший член делителя (х
3
: х = х
2
).
2) Найденное первое слагаемое частного умножается на делитель (х
2
(х - 1) =
x
s
- х
2
), результат записывается под делимым и вычитается столбиком из
делимого; получается первый остаток (-х
2
- 5х + 6).
3) Первый остаток делится на делитель так же, как и в п. 1), 2) и т.д.
Приведем теперь запись деления.
x
3
-2х
2
-5x + 6
6
1
2
хх
х
х
3
–х
2
-х
2
-5х+6
-х
2
+х
-6х+6
-6х+6
0
Последний остаток равен нулю. Следовательно, многочлен х
3
- 2х
2
- 5х + 6
разделился нацело на двучлен х - 1, т.е.
(х
3
- 2х
2
– 5х + 6) : (х - 1) = х
2
- х - 6. (1)
Ответ, х
2
- х - 6. ▲
Задача 2. Решить уравнение
х
3
- 2х
2
- 5х + 6 = 0.
∆ Запишем равенство (1) иначе:
х
3
- 2х
2
- 5х + 6 = (х – 1)(х
2
- х - 6)
поэтому данное уравнение можно записать в виде
(х - 1)(х
2
- х - 6) = 0. откуда х - 1 = 0 или х:
2
- х - 6 = 0.
Решая эти уравнения, находим х
1
= 1, х
2
= -2, х
3
= 3.
О т в е т. х
1
= 1, х
2
= -2, х
3
= 3. ▲
При решении задачи 2 с помощью деления многочленов удалось понизить
степень уравнения, т.е. свести решение кубического уравнения к решению
уравнений первой и второй степени.
Задача 3. Решить уравнение
х
3
- х
2
- 8х + 12 = 0.
∆Чтобы понизить степень этого уравнения, нужно найти (или угадать) один
его корень.
Далее будет доказано, что если это уравнение имеет целый корень, то он
является делителем свободного члена, т.е. числа 12 (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12).
Проверяем по порядку:
при х = 1 имеем 1 - 1 - 8 + 12
0,
при х = -1 имеем -1 - 1 + 8 + 12
0,
при х = 2 получаем 8 - 4 - 16 + 12 = 0,
т.е. х = 2 — корень уравнения.
Поэтому многочлен левой части уравнения разделится нацело на двучлен х -
2. Выполним это деление:
х
3 –
х
2
-8х +12
6
2
2
хх
х
х
3
–2х
2
х
2
-8х+12
х
2
-2х
-6х+12
-6х+12
0
Следовательно, данное уравнение можно записать так:
(х - 2)(х
2
+ х - 6) = 0.
Решая это уравнение, находим х
1,2
= 2, х
3
= -3.
О т в е т. х
1,2
= 2, х
3
= -3. ▲
Уравнения, рассмотренные в задачах 2, 3, называют алгебраическими.
Алгебраическим уравнением называют уравнение
Р
n
(х) = 0 (2)
где Р
п
(х) - многочлен степи п
1.
Степенью алгебраического уравнения (2) называется степень п многочлена
Р
п
(х).
Каждый корень уравнения (2) называют также корнем (или нулем)
многочлена Р
п
(х),
Упражнения
Выполнить деление:
1) (х
2
-2х- 35) : (х - 7);
2) (6х
2
+ 7х - 3) : (2х + 3);
3) (4х
3
- 5х
2
+ 6х + 9) : (4х + 3);
4) (6х
3
+ 7х
2
– 6х + 1) : (Зх - 1).
Решить уравнение:
1) х
3
- х
2
- 8х + 6 = 0; 2) х
3
+ Зх
2
- 12х - 10 = 0; 3) 6х
3
+ 11х
2
- Зх - 2 = 0;
4) 4х
3
+ 12х
2
- Зх - 9 = 0.
Найти корни многочлена третьей степени:
1) 4х
3
- х; 1 2) х
3
- х
2
- 16х + 16;
3) х
3
- 2х
2
- 5х + 6; I 4) 2х
3
- х
2
- 50х + 25.
Разложить на множители многочлен:
1) 4х
4
+ 4х
3
- 25х
2
- х + 6; 2) х
4
- 2х
3
- 14х
2
- 6х + 5.
.Сократить дробь:
1)х
3
+ 2х
2
+ 9
х
3
- 2х
2
+ 4х - 3
;
2)
Решить уравнение:
1) х
4
- 4х
2
+ 4х - 1 = 0; 2) 4х
4
- 8х
3
+ Зх
2
+ 2х - 1 = 0.
3) Пусть т, п — натуральные числа, и пусть число т - 1 делится на 3
n
.
Доказать, что число т
3
- 1 делится на 3
n+1
4)Доказать, что ни при каком натуральном числе п сумма п
3
+ 6п
2
+ 15n + 15
не делится на п + 2.
Маршрут № 3.
Теорема Безу
3 а д а ч а 1. Разделить многочлен 2х
4
+ х
2
- 4 на двучлен х + 1.
∆ Выполним деление уголком:
2х
4
+ х
2
- 4
3322
1
23
ххх
х
2х
4
+2х
3
-2х
3
+ х
2
- 4
- 2х
3
-2х
2
3х
2
-4
3х
2
+3х
-3х -4
-3х -3
-1
Ответ. 2х
3
- 2х
2
+ Зх - 3 и остаток -1. ▲
В результате получилось, что
2х
4
+ х
2
- 4 = (х + 1)(2х
3
- 2х
2
+ Зх - 3) - 1.
Последнее равенство выражает формулу деления многочлена Р
n
(х) на
двучлен х - а с остатком:
P
n
(x)= (x-a) Q
n-1
(x) +r (1)
где Q
n-1
(х) — частное, а число г - остаток.
Из равенства (1) при х = а получаем
Р
n
(а) =r (2)
Остаток от деления многочлена Р
п
(х) на двучлен х - а равен значению этого
многочлена при х = а.
Это утверждение и есть знаменитая теорема Безу (Этьен Безу (1730—1783)
— французский математик).
Из формулы (1) следует, что если х = а —корень уравнения Р
п
(х) = 0, то г = 0
и многочлен Р
п
(х) делится нацело на двучлен х - а.
Справедливо и обратное утверждение: если многочлен Р
п
(х) делится нацело
на двучлен х - а, то х = а корень уравнения Р
п
(х) = 0.
Задача 2. Найти остаток от деления многочлена Р
п
(х) = 2х
4
+ + Зх
3
- 4 на х + 2.
∆Так как х + 2 = х - (-2), то здесь а = -2.
По формуле (1) находим
г = Р(-2) = 2 • (-2)
4
+ 3 • (~2)
3
-4 = 4.
Ответ, г = 4. ▲
Задача 3. Выяснить, делится ли нацело многочлен
Р(х) = х
100
+ Зх
79
+ х
48
-х
27
на х + 1.
∆ Остаток от деления Р(х) на х + 1 равен
Р(-1) = (-1)
100
+ 3-(-1)
79
+ (-1)
48
- (-1)
27
= 1-3 + 1+1=0
Ответ. Многочлен Р(х) нацело делится на х + 1. ▲
Задача 4, Разложить на множители многочлен х
4
+ Зх
3
– 13х
2
- 9х + 30, если
известно, что числа 2 и -5 — корни этого многочлена.
∆ По теореме Безу данный многочлен делится нацело на (х - 2) и на (х + 5), и
поэтому делится нацело на их произведение (х - 2)(х + 5) = х
2
+ Зх - 10.
Выполним это деление:
х
4
+ 3х
3
–13х
2
-9х +30
3
103
2
2
х
хх
х
4
+3х
3
-10х
2
-3х
2
- 9х
+ 30
-3х
2
- 9х
+ 30
0
Итак: х
4
+ Зх
3
- 13х
2
- 9х + 30 = (х - 2)(х + 5)(х
2
- 3) =(х - 2)(х + 5)(х -
3
)(х
+
3
).
Ответ: (х - 2)(х + 5)(х -
3
)(х +
3
). ▲
Задача5 *. Остаток от деления многочлена Р(х) на х - 2 равен 6, а остаток от
деления его на х + 3 равен 1. Найти остаток от деления этого многочлена на
(х - 2)(х + 3).
∆Степень многочлена Q(x) = (х - 2)(х + 3) = х
2
+ х - 6 равна 2, поэтому в
остатке получится многочлен R(x) степени не выше 1, т.е. R(x) = ах + Ь.
Формула деления такова:
Р(х) = (х - 2)(х + 3) М(х) + ах + b. (3)
Так как Р(2) = 6, Р(-3) = 1, то подставляя в формулу (3) значения х = 2 и х = -
3, получаем
2a +b = 6,
-3a +b=1.
Решая эту систему, находим а = 1, b = 4.
Ответ: х + 4. ▲
Упражнения
Написать формулу деления многочлена Р(х) на многочленQ(x):
1) Р(х) = х
2
+ Зх + 4, Q(x) = х-2
2) Р(х) = 4х
2
- х - 1, Q(х)= х+3
3) Р(х) = 6х
3
+' Зх
2
- 4х + 3, Q(x) = 2х + 1;
4) Р(х) = 9х
3
+ 9х
2
- 13* - 6, Q(x) = 3х + 1.
Найти остаток г от деления многочлена Р(х) на х - а, если:
1)Р(х) = х
4
- 2х
3
- х, а = 3;
2) Р(х) = х
5
-+3х
4
-8, а = -2;
3) Р(х) = 7х
30
+ х
15
+x
7
, a= -1;
4) Р(х) = :4х
41
- х
39
+ 3
,
a =1.
Выяснить, делится ли нацело многочлен Р(х) на х - а, если:
1) Р(х) = x
6
- 2х
3
- 6х
2
- 12х, а = 2;
2) Р(х) = 2х
4
+ Зх
3
- 2х
2
-.5, а = -3; j
3) Р(х) - 5х
30
- Зх
25
+ 2х
16
, a = -1;
4) Р(х) = 7х
16
+ 4х
13
- Зх
10
, а = -1.
Выяснить, является ли число а корнем многочлена Р(х), если:
1) Р(х) = Зх
5
- 5х
4
+.х
3
- 3, а = 2;
2).Р(х) = 2х
4
+ 5х
3
- 2х
2
- 9, a = -3;
3) Р(х) = 2х
5
- Зх
4
+ Зх
3
- х
2
- 4х + 2, а=
2
1
;
4) Р(х) = х
6
- 3х
5
+ 5х
4
- х
3
+ 1, a = -2.
Разложить многочлен Р(х) на множители, если известно, что a — корень
этого многочлена:
1) Р(х) = х
3
+'5х
2
+11х +7, a = -1;
2) Р(х) = 2Х
3
- 13х
2
+ 18х - 15, а = 5;
3) Р(х) = Зх
3
+ 10х
2
+ 4х + 3, а = -3;
4) Р(х) = х
3
- 8х
2
+ 8х - 7, а = 7.
Найти частное М(х) и остатокR(х) от деления многочлена Р(х) на многочлен
Q(x):
1) Р(х) = Зх
3
+ 4х
2
, Q(x) = Зх + 2;
2) Р(х) = х
3
- Зх
2
, Q(x) = 2х
2
+ 5;
3) Р(х) = Зх
4
+ 6х
3
- 2х
2
- х + 7, Q(x) = х
3
+ 2х
2
- 4х;
4) Р(х) = 2х
4
+ Зх
3
- х, Q(x) = х
2
+ х + 1.
5) Найти такой многочлен Q(x), чтобы, при делении многочлена Р(х) == 15х
6
- 5х
4
+ 6х
3
- 1 на Q(x) частное было равно М(х) = 5х
3
+ 2, а остаток R(x) = 2х -
1,
6)Найти такое число с, чтобы многочлен Р(х) = х
5
- х
4
+ сх
3
делился нацело на:
1) х + 4; 2) х - 5; 3) х - 6; 4) х + 7.
7) При делении многочлена на (х + 4) остаток равен 5, а при делении на (х ~
5) остаток равен 14. Найти остаток от деления этого многочлена на (х + 4)(х -
5).
8) При делении многочлена на (х + 3) остаток равен 10, а при делении на (х +
5) остаток равен 14. Найти остаток от деления этого многочлена на х
2
+ 8х +
15.
Маршрут №4.
Решение алгебраических уравнений разложением на множители и
введение вспомогательной переменной.
Одним из способов решения алгебраических уравнения является разложение
их левых частей на множители.
Рассмотрим алгоритм разложения многочлена на множители.
1)Пусть Р
п
(х) — многочлен степени п
1.
Если х
1
— корень этого многочлена, т,е. Р
п
(х
1
) = 0, то по теореме Безу
многочлен Р
л
(х) нацело делится на (х – х
1
), т.е.
Р
л
(х)= (х – х
1
)Q
n-1
(х)
где Q
n-1
(х) — частное.
2) Если х
2
— корень многочлена Q
n-1
(х), т.е. Q
n-1
(х
2
) = 0, то
Q
n-1
{х) = (х - х
2
) Q
n-2
(x).
Продолжая этот процесс п раз, получаем
Р
п
(х) = а
о
(х – х
1
)(х - х
2
) …. (х - х
;n
), где а
0
— коэффициент старшего члена
многочлена Р
п
(х).
Таким образом, решение алгебраического уравнения можно осуществить
последовательным разложением его левой части на множители. При этом
степень уравнения можно понизить, зная хотя бы один его корень.
Способ нахождения корней некоторых уравнений дает следующая теорема.
Теорема. Если уравнение
a
0
х
п
+ а
1
х
п-1
+ ... + а
n-1
х + а
n
= 0 (1)
с целыми коэффициентами а
0
, а
1
... а
п-1.
, где а
п.
0 имеет целый корень, то
этот корень является делителем числа а
п
(свободного члена уравнения (1)).
О Пусть х = т — целый корень уравнения (1), т.е.
а
о
т
п
+ а
1
т
п
.. + а
n-1
т + а
п
= 0. (2)
Из этого равенства следует, что т
0, так как а
п
0. Разделив равенство (2)
на т
0, получаем
m
a
n
= -a
0
m
n-1
– a
1
m
n-2
- …- a
n-1
.
Правая часть этого равенства — целое число, так как по условию m, a
0
, а
1
,...,
а
n-1
— целые числа. Следовательно,
m
a
n
— целое число, т.е. число а
п
нацело
делится на т. •
Итак, целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами
(если такие есть) нужно искать только среди делителей свободного члена
уравнения.
Задача 1, Решить уравнение
4х
5
+ 4х
4
-13х
3
-6х
2
+ 9х + 2 = 0. (3)
∆ Обозначим Р
5
(х) — многочлен, стоящий в левой части уравнения (3).
Найдем все целые корни уравнения (3), Делителями числа 2 являются числа
1; -1; 2; -2. Проверяем: Р
5
(1) = 0, Р
5
(-1) = 0, Р
5
(2) = 84
0, Р
5
(-2) = 0. Поэтому
Р
5
(х) = (х - 1)(х + 1)(х + 2) Q
2
(x).
Делением многочлена Р
5
(х) на многочлен
(х - 1)(х + 1)(х + 2) = х
3
+ 2х
2
- х -2
покажем, что
Q
2
(x) = 4х
2
- 4х - 1.
Корнями этого многочлена являются числа
2
1
(1 ±
2
).
Ответ. х
1,2
= ±1, х
3
= -2, х
4,5
=
2
1
(1 ±
2
). ▲
3 а д а ч а 2. Найти значения а и b , при которых уравнение 4х
4
+ ах
3
+ bх
2
+ х
+ 2 = 0 имеет корни х
1
= 2 и х
2
= -1. Найти остальные корни этого уравнения.
∆ Подставляя в данное уравнение х = 2и х = -1, получаем систему
64 + 8а + 4b + 2 + 2 = 0,
4 – a + b -1 + 2 =0,
откуда
2a + b = -17,
a - b =5,
Решая эту систему, находим а = -4, b = -9.
Следовательно, данное уравнение таково:
4х
4
- 4х
3
- 9х
2
+ х + 2 = 0.
По теореме Безу левая часть этого уравнения делится нацело на двучлены (х -
2), (х + 1) и поэтому на их произведение (х - 2)(х + 1)==х
2
-х-2. Выполним это
деление:
4х
4
- 4х
3
–19х
2
+х +2
14
2
2
2
х
хх
4х
4
- 4х
3
- 8х
2
-х
2
+ х
+ 2
-х
2
+ х
+ 2
0
Следовательно, данное уравнение можно записать в виде:
(х- 2)(х + 1)(4х
2
- 1) = 0,
откуда х
3,4
= ±
2
1
.
О т в е т. а = -4, b = -9, х
3,
4
= ±
2
1
. ▲
Упражнения
Найти действительные корни уравнения:
1)2x
3
+ 3х
2
+Зх +1 = 0;
2)3x
3
+2x
2
+ 2x+ 1 = 0;
3) 4х
4
+ 4х
3
+ Зх
2
- х - 1 = 0;
4) 6х
4
– х
3
+ 5х
2
- х - 1 = 0.
Решить уравнение:
1) х
3
- х
2
- 8х + 6 = 0;
2) х
3
- х
2
- Зх - 1 = 0;
3) х
3
- 5х
2
+ 8х - 6 = 0;
4) 9х
3
+ 12х
2
- 10х + 4 = 0.
Найти действительные корни уравнения:
1) (2х + 1)(х
3
+ 1) + х
2
= 2х(х
3
+ 3) - 5;
2) (2х
2
- 1)
2
+ х(2х - 1)
2
= (х + 1)
2
+ 16х
2
- 6;
3) х
2
(х - 2)(6х + 1) + х(5х + 3) = 1;
4) х
2
(3х + 1) - (х
2
+ I)
2
= 3.
Решить уравнение
1) х
5
- Х
4
- 7х
3
+ 7х
2
+ 12х -12 = 0;
2) 2Х
5
- Зх
4
- 7х
3
+ 8х
2
+ 6х - 4 = 0.
Уравнение ах
3
- 2х
2
- 5х + b = 0 имеет корни х
1
= 1, х
2
= -2. Найти а, b и
третий корень уравнения.
Уравнение х
3
+ х
2
+ ах + b = 0 имеет корни x
1
= 3, х
2
= -4. Найти а, b и
третий корень уравнения.
Доказать теорему Виета для кубического уравнения:
если х
1,
х
2
, х
3
— корни уравнения х
3
+ ах
2
+ Ьх + с = 0, то х
1
+ х
2
+ х
3
= -а,
х
1
х
2
+ х
2
х
3
+ х
3
х
1
= b, x
1
x
2
x
3
= -c
Найти действительные корни уравнения:
1) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 24;
2) х
3
+ (х + 1)
3
+ (х + 2)
3
= (х + З)
3
.
Маршрут № 5.
Системы уравнений.
Линейным уравнением с двумя неизвестными называют уравнение вида aх +
by = с, где а, b, с — заданные числа.
Приведем примеры решения систем двух уравнений с двумя неизвестными,
где степень хотя бы одного неизвестного не равна единице.
Задача 1. Решить систему уравнений
х - у = 1,
х
3
– 4ху – 4х +3у + 5 = 0.
∆Решим эту систему способом подстановки. Из первого уравнения находим
у = х - 1.
Подставляя это выражение для у во второе уравнение системы, получаем
х
3
- 4х(х - 1) - 4х + 3(х -1) + 5 = 0,
х
3
- 4х
2
+ Зх + 2 =0. (1)
Найдем целые корни уравнения (1). Делителями числа 2 являются числа ±1,
±2. Проверкой устанавливаем, что х
1
= 2 - корень уравнения (1),
Делением уголком левой части уравнения (1) на х - 2 находим остаток х
2
- 2х
- 1, поэтому уравнение (1) можно записать в виде
(х - 2)(х
2
- 2х - 1) = 0.
Решая уравнение
х
2
- 2х - 1 = 0,
находим х
2
=1+
2
, х
3
= 1 -
2
.
Подставляя найденные значения х в выражение у = х - 1, получаем у
1
= 1, у
2
=
2
, у
3
= -
2
Ответ. (2; 1), (1 +
2
;
2
), (1 -
2
;-
2
).▲
Задача 2. Решить систему уравнений
х - у = 3,
х
4
+6х
2
у + 8у
2
= 0. (2)
∆ Эту систему можно решить таким же способом, как решена система задачи
1. Подставив у = х - 3 во второе уравнение системы (2), получим уравнение
х
4
+ 6х
3
- 10х
2
- 48х + 72 = 0.
Однако, решение системы (2) можно упростить, если левую часть второго
уравнения системы (2) разложить на множители. Для этого решим второе
уравнение как квадратное относительно х
2
.
Получим
(х
2
)
2
+ 6у(х
2
) + 8у
2
= 0,
откуда
х
2
= -Зу ±
22
89 уу
= -3у
у
= -3у ± у. (3)
Следовательно, х
2
= -2у или х
2
= -4у, поэтому второе уравнение системы (2)
можно записать в виде
(х
2
+ 2у)(х
2
+ 4у) = 0. Итак, система (2) такова:
х - у = 3,
(х
2
+4у)(х
2
+ 2у)= 0.
Эта система распадается на две системы:
х - у = 3,
х
2
+4у= 0.
х - у = 3,
х
2
+2у= 0.
Решая эти системы, например способом подстановки, находим
х
1
= 2, у
1
= -1, х
2
= -6, у
2
= -9, х
3
= -1 +
7
,y
3
= - 4+
7
,
х
4
= -1-
7
, у
4
= - 4 -
7
.
Ответ: (2; -1), (-6; -9), (-1 +
7
; - 4+
7
), (-1-
7
;- 4 -
7
). ▲
Отметим, что в равенстве (3) знак модуля можно опустить, так как перед ним
стоят два знака: «+» и «-».
Задача 3. Найти действительные решения системы уравнений
ху + 24 =
у
х
3
,
ху - 6=
х
у
3
. (4)
∆ Заметим, что если (х; у) — решение данной системы, то х, у
0.
Перемножая уравнения системы (4), получаем
(ху + 24)(ху - 6) =Х:
2
У
2
,
х
2
у
2
+ 18 ху – 144 = х
2
у
2
,
ху = 8
Подставляя у =
х
8
, например в первое уравнение системы (4), получаем
32 =
8
4
х
,
х
4
= 256.
Действительными корнями последнего уравнения являются числа х
1
= 4, х
2
=
- 4.
Из формулы у =
х
8
находим у
1
= 2, у
2
= - 2.
Ответ. (4; 2), (-4;-2). ▲
3 а д а ч а 4. Найти действительные решения системы уравнений
х
2
(х + у) = 12,
х
2
(3х - у)= 20.
∆ Заметим, что если (х; у) — решение этой системы, то х
0, х + у
0, 3х –
у
0. Разделив первое уравнение системы (5) на второе, получаем
ух
ух
3
=
5
3
,
5х + 5у = 9х – 3у,
х=2у.
Подставляя х=2у, например в первое уравнение системы (5), находим
4у
2
3у = 12,
у
3
= 1
Последнее уравнение имеет не только один действительный корень у = 1. По
формуле х = 2у находим х = 2.
Ответ. (2; 1), ▲
Задача 5. Сумма двух положительных чисел равна 5, а разность обратных к
ним чисел равна
6
1
. Найти эти числа.
∆ Пусть х, у — положительные числа, которые нужно найти. По условию
задачи составляем два уравнения, образующие систему
х + у = 5 ,
х
1
-
у
1
=
6
1
.
Решим эту систему. Так как х > 0, у > 0, то второе уравнение можно записать
так:
6(у - х) = ху.
Подставляя в это уравнение у = 5 - х, получаем
6(5 - 2х) = х(5 - х),
30 - 12х = 5х -х
2
,
х
2
-17х + 30 = 0,
откуда х
1,2
=
2
1
(17 ±
120289
=
2
1
(17 ± 13), х
1
= 15, х
2
= 2.
По формуле у = 5 - х находим у
1
= -10, у
2
= 3. Так как х > 0, у> 0, то искомые
числа 2 и 3.
Ответ. 2; 3. ▲
3 а д а ч а 6. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за 12 дней.
Если бы каждый поочередно отдельно выполнил половину этой работы, то
они закончили бы ее за 25 дней. За какое время каждый из них выполнил бы
эту работу, работая один?
∆ Примем всю работу за единицу. Пусть первый рабочий, работая один,
закончит работу за х дней, а второй — за у дней. Тогда выполняя поочередно
по половине работы, они затратят соответственно
2
х
дней и
2
у
дней.
По условию
2
х
+
2
у
=
25.
За один день первый выполняет
х
1
часть работы, а второй
у
1
.
Работая совместно, за один день они выполняют
х
1
+
у
1
часть работы.
По условию это составляет
12
1
часть работы, т.е.
х
1
+
у
1
=
12
1
Решение задачи свелось к решению системы
2
х
+
2
у
= 25,
х
1
+
у
1
=
12
1
.
Преобразуем эту систему
х + у = 50 ,
ху
ух
=
12
1
.
Подставляя х+ у = 50 во второе уравнение, получаем
ху
50
=
12
1
, ху = 600.
Решая теперь систему
х + у = 50 ,
ху = 600
по теореме, обратной теореме Виета, получаем
z
2
– 50z + 600= 0,
z = 25 ±
600625
= 25 ± 5,
откуда z
1
= 30, z
2
= 20.
Ответ. 30 дней и 20 дней. ▲
Упражнения
Решить систему уравнений:
1) х
2
+ у
2
= 74 ,
х + у = 12;
2) х
2
- у
2
= 32 ,
х - у = 4;
3) 2х
2
- 2ху + х = -9 ,
2у -3х = 1;
4) х
2
+ 6ху + 8у
2
= 91 ,
х + 3у - 10 = 0;
5) у - х = 1 ,
х
3
-4ху + 5у = -1
6) у-х = 2,
2х
3
+9ху + 25у + 44 =0;
7) у-х = 2,
2х
3
+9 х
2
у – 5ху =0;
8) ) х - у = 1,
х
4
-3ух
2
-4у
2
=0;
9) х - у = 1,
6х
2
у +ху - у=0;
10) х + у = 2,
2х
4
+5х
2
у – 3у
2
=0;
11) х
2
– 6х – 3у – 1=0,
у
2
+2х + 9у + 14 =0;
12) 3х
2
+ 2ху + 2у =3,
2х
2
+2ху – у
2
- 2х +2х+ 6у =8.
• Произведение двух чисел равно 135, а их разность равна 6. Найти эти
числа.
• Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным
от деления
большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа.
• Периметр прямоугольника равен 14 см, а его площадь равна 12 см
2
.
Найти длины сторон прямоугольника.
• Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько
дней 216 м
3
древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно
установленную планом норму, а затем каждый день заготавливала 8
м
3
сверх плана, поэтому за день до срока было заготовлено 232 м
3
древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была
бригада заготавливать по плану?
• В бассейн проведены две трубы: через первую вода вливается, через
вторую вытекает. При совместном действии труб бассейн наполняется
за 6 ч. Если бы поперечные сечения труб были изменены так, что
первая заполняла бассейн за 7 час, а вторая спускала воду также за 7 ч,
то при совместной работе этих труб бассейн наполнился бы за 12 ч. За
сколько часов первая труба, работая отдельно, может наполнить
бассейн, а вторая слить всю воду?
• Бригада рабочих строит мост за 14 дней. Если бы в бригаде было на 4
человека больше, а каждый работал бы на один час в день дольше, то
та же работа была бы выполнена за 10 дней. При увеличении же
бригады еще на 6 человек и рабочего дня еще на один час вся работа
была бы выполнена за 7 дней. Сколько человек было в бригаде и
сколько часов в день они работали?
• Для размещения комплекта журналов достаточно купить 13
стандартных полок. Так как в продаже были полки, на каждой из
которых помещается на 7 журналов меньше, чем на стандартных, то
пришлось купить 27 полок, поэтому осталось свободное место для
семи журналов. Сколько журналов было в комплекте?
• Из пунктов А и В выехали одновременно навстречу друг другу
мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от
В, а в момент прибытия мотоциклиста в В велосипедист находился на
расстоянии 15 км от А. Определить расстояние от А до В.
• Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются
одновременно и осуществляют безостановочное движение с
постоянными скоростями между А л В. Первая их встреча произошла
через 42 мин после начала движения, а через 2 ч 34 мин после начала
движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время
после начала движения автобус и автомобиль первый раз окажутся
одновременно в пункте А?
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: