Ученики на Учителя.com


Методическая разработка "Метод замены множителей" 10-11 класс

Иофе Наталья Рудольфовна,
учитель математики ГОУ гимназии № 209
Центрального района Санкт-Петербурга
Методическая разработка урока на тему:
«Метод замены множителей».
Алгебра, 10-11 класс.
Цель урока: познакомить учащихся с методом замены множителей, как
эффективным способом решения целого класса неравенств.
Задачи урока:
— ввести понятие метода замены множителей и рассмотреть применение этого
метода для решения различных видов неравенств;
— повторение и обобщение метода интервалов;
— повторение и обобщение метода решения систем неравенств;
— развитие мышления;
— расширение кругозора учащихся;
— воспитание познавательной активности;
— повышение интереса к изучению математики на примере красоты метода
замены множителей;
— подготовка учащихся к решению задачи С3 ЕГЭ по математике.
Оборудование: компьютер, МФУ, мультимедийный проектор.
Ход урока.
I.Организационный этап (1 мин).
II. Этап проверки домашнего задания (5 мин).
(на экран выводятся отсканированные решения из тетрадей учащихся)
1). Решить неравенство:
Корни числителя:
Корни знаменателя:
Ответ:
2). Решить неравенство:
Корни числителя:
Корни знаменателя:
Ответ:
3). Решить систему неравенств:
Ответ:
От
−1
От
2
От
III. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового
материала (4мин).
1). Рассмотрим функцию
Задание: записать
Решение
Вспоминаем, что выражения называются значениями функции, а
выражения, стоящие в скобках: ; …; ; - называются значениями аргумента.
2). Вспоминаем определения возрастающей и убывающей функций.
Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве M, если для
любых из множества М выполняется условие: ( .
IV. Этап усвоения новых знаний (10 мин).
Определения возрастающей и убывающей функций можно сформулировать по-другому.
Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве M, если для
любых из множества М выражения и имеют одинаковый
(противоположный) знак.
Этот факт можно использовать при решении неравенств, в правой части которых стоит
ноль. Можно в левой части (числителе и/или знаменателе левой части) заменить
разность значений монотонной функции разностью значений аргумента. При этом, если
функция возрастающая, то знак неравенства сохранится, а если функция убывающая, то
знак неравенства поменяется на противоположный. Такой прием решения неравенств и
называется методом замены множителей.
Рассмотрим несколько неравенств.
№1. Решить неравенство
В числителе левой части стоит разность значений возрастающей на R функции .
В знаменателе тоже можно увидеть разность значений функции , если
представить единицу как . Эта функция убывает на R. Значит, исходное неравенство
равносильно неравенству
Решим полученное неравенство методом интервалов.
Корни числителя: 5;
Корень знаменателя: 0
Ответ:
V. Этап закрепления нового материала (15 мин).
Вызванные учащиеся решают неравенства на доске под контролем учителя (остальные
работают в тетрадях).
№ 2. Решить неравенство
Приведем неравенство к виду, в котором явно видна разность значений
логарифмической функции.
Заменим разность значений логарифмической функции на разность значений аргумента.
В числителе функция возрастающая, а в знаменателе убывающая, поэтому знак
неравенства изменится на противоположный. Важно не забыть учесть область
определения логарифмической функции, поэтому данное неравенство равносильно
системе неравенств.
Первое неравенство решим методом интервалов.
Корни числителя: 8; 8; Корень знаменателя: 1
Ответ:
От
№3. Решить неравенство
Заменим в числителе и знаменателе разность значений монотонных функций разностью
значений аргументов, учитывая область определения функций и характер монотонности.
Корни: ;
Корни: ;
Корни числителя: ; . Корни знаменателя: ;
Ответ:
№4. Решить неравенство
Можно заменить разность значений корня разностью подкоренных выражений. Функция
корня возрастающая, значит, знак неравенства сохраняется. При этом необходимо учесть
область определения арифметического квадратного корня.
Ответ:
VI. Этап усвоения новых знаний (6 мин).
Рассмотрим еще одну ситуацию, в которой можно применить метод замены
множителей. Неравенства и равносильны, значит,
выражения и имеют одинаковый знак. Этот факт также
От
От
можно использовать при решении неравенств, в правой части которых стоит ноль.
Можно в левой части (числителе и/или знаменателе левой части) заменить разность
модулей двух функции разностью квадратов этих функций. Знак неравенства при этом
сохранится.
№5. Решить неравенство
Заменим в числителе разность модулей двух функций разностью их квадратов, а в
знаменателе разность значений логарифмической функции разностью аргументов.
В знаменателе функция убывающая, значит, знак неравенства изменится на
противоположный. При этом надо учесть область определения логарифмической
функции.
Первое неравенство решим методом интервалов.
Корни числителя:
Корни знаменателя:
Ответ:
VII. Этап подведения итогов урока и информирования учащихся о домашнем задании
(4 мин).
Подведение итогов урока с помощью мини-презентации. Материал, выделенный в
рамку, раздается каждому учащемуся.
Метод замены множителей.
Метод можно применить в том случае, если в правой части неравенства стоит ноль, а
левая часть представлена в виде произведения или частного. Метод позволяет упростить
неравенство, сведя его решение к решению более простого неравенства или системы
более простых неравенств.
1 случай. Если среди множителей (числителя или знаменателя) есть выражение,
являющееся разностью значений функции, монотонной на всей области определения,
его можно заменить разностью значений аргумента.
При этом 1) Необходимо учесть область определения функции.
2) Если функция является возрастающей, то знак неравенства сохраняется.
3) Если функция является убывающей, то знак неравенства меняется на
противоположный.
2 случай. Если среди множителей (числителя или знаменателя) есть выражение,
являющееся разностью модулей двух функций, его можно заменить разностью
квадратов этих функций.
Домашнее задание.
Решить неравенства, используя метод замены множителей:
1)
2)
3)
4)
Ответы к домашнему заданию.
1)
2)
3)
4)
Материалы для дальнейшего изучения метода замены множителей.
№1. Этим методом можно решать логарифмические неравенства с переменной в
основании логарифма.
Решить неравенство
Перейдем к любому числовому основанию.
Ответ:
№2. Решить неравенство
Ответ:
№3. Решить неравенство
Ответ:
№4. Решить неравенство
Ответ:
Литература
1. Белоненко Т.В., Васильева Н.И. Сборник конкурсных задач по математике. –
Санкт-Петербург: СМИО Пресс, 2003
2. Сергеев И.Н., Панферов В.С. ЕГЭ-2010. Математика. Задача С3. Уравнения и
неравенства. – М.: МЦНМО, 2010
3. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. – М.:
Илекса, 2007
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: