Итоговая работа "Методы решения уравнений" 11 класс скачать

Итоговая работа.

Урок алгебры в 11 классе по теме «Методы решения уравнений»

Урок можно проводить при повторении курса алгебры и подготовки к ЕГЭ, а также как

обобщающий урок по теме «Решений уравнений».

Цель: повторение и обобщение материала по теме «Методы решения уравнений».

Задачи:

- формировать умение классифицировать уравнения по методам решения;

- закрепить навыки решения уравнений различными методами;

- отрабатывать навыки самоконтроля с целью подготовки к итоговой аттестации;

- воспитывать чувство коллективизма, ответственности.

Тип урока: урок-обобщение, урок-практикум.

Оборудование: ПК, проектор, карточки с самостоятельной работой.

Методы обучения: частично-поисковый метод, репродуктивный, обобщающий.

Формы работы: фронтальный опрос, работа в группах, взаимопроверка, самопроверка.

План урока.

Конспект урока рассчитан на 2 учебных часа (90 мин.).

1. Организационный момент. (2 мин.)

2. Устная работа. (15 мин.)

3. Доклады учащихся. (25 мин.)

4. Работа в группах. (35 мин.)

5. Проверка решений. (10 мин.)

6. Итог урока. (3 мин.)

Предварительная работа: за неделю до урока в классе выбираем группу учащихся,

которые готовят презентации по методам решения уравнений, а также оформляют краткое

решение еще нескольких уравнений для работы в группах.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Приветствие.

Тема «Уравнения» - одна из важнейших тем курса алгебры. Мы изучили различные

виды уравнений, а также методы их решения. Цель урока – повторить и обобщить

сведения о методах решения уравнений. Но прежде вспомним основные определения и

правила.

2. Устная работа.

- Что называют решением уравнения? (Решением уравнения называют то значение

переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.)

- Что значит – решить уравнение? (Решить уравнение – это значит найти все его корни

или доказать, что корней нет.)

- Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)? (ОДЗ переменной

уравнения

)()( xgxf 

называют множество тех значений переменной х, при которых

одновременно имеют смысл выражения

)(xf

и

)(xg

.)

- Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям? (Прибавление к обеим

частям уравнения одного и того же числа, умножение обеих частей уравнения на одно и

то же число, деление обеих частей уравнения на одно и то же число не равное нулю.)

- Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему?

(Деление уравнения на выражение, содержащее переменную - при этом может произойти

потеря корней и возведение обеих частей уравнения в квадрат - при этом могут появиться

посторонние корни.)

На доске задания для устной работы.

Укажите ОДЗ уравнения:

1)

9

5

9

5

x

(х – любое число) 6)

5,0

2

cos 

x



(х – любое число)

2)

4

15







x

(х≠15) 7)

81

9

1

9















x

(х – любое число)

3)

57

8

75

8







x

(

4,1x

и

7

5

x

) 8)

2)8(log

7

 x

(x>-8)

4)

2,0

415

1



 x

(

75,3x

) 9)

5)3(log

2

x

x

(

1x

,

03

2

x

)

5)

1sin x

(х – любое число) 10)

)15(log)5(log

77

xx 

(

150  x

)

11) Имеет ли решение уравнение

223

2112163 xxxx 

(нет, т. к. правая часть

уравнения отрицательна при любом х)

3. Назвать виды уравнений:

- линейные

- квадратные

- дробные рациональные

- иррациональные

- тригонометрические

- логарифмические

- показательные

Основные методы решения:

1) Разложение на множители.

2) Деление на многочлен.

3) Избавление от знаменателя.

4) Введение новой переменной.

Доклады учащихся.

1. Метод разложения на множители.

Уравнение вида

0)()(  xgxf

можно заменить совокупностью двух более простых

уравнений

0)( xf

и

0)( xg

, где

ОДЗx

.

Способы разложения на множители:

- вынесение общего множителя за скобки;

- способ группировки;

- применение формул сокращенного умножения.

Пример 1.

0sin3sin4

2

 xx

ОДЗ: x - любое число.

Вынесем за скобку множитель

xsin

.

0)3sin4(sin xx

Znnx

x





,

0sin



4

3

sin

03sin4





x

Znnx

n

 ,

4

3

arcsin)1(



Ответ:

n



,

Znn

n

 ,

4

3

arcsin)1



Пример 2.

0521215

23

 xx

.

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

0)1(21)1(5

3

 xxx

0)1(21)1)(1(5

2

 xxxxx

Вынесем множитель

)1( x

за скобку:

0)5265)(1(

2

 xxx

1

01





x

05265

2

x

х=0,2 х=5

Ответ: -1; 0,2; 5.

Пример 3.

092

234

 xxx

.

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем первые три слагаемых и воспользуемся формулой квадрата разности двух

чисел:

03)(

222

 xx

Применим формулу разности квадратов двух чисел:

0)3)(3(

22

 xxxx

03

2

 xx

03

2

 xx

2

131

x

нет корней.

Ответ:

2

131

.

2. Метод введения новой переменной.

Введение новой переменной позволяет разбить задачу на подзадачи и решить вместо

одного сложного несколько простых уравнений.

Пример 4.

016)12(16)12(3

24

 xx

ОДЗ: х – любое число.

Замена:

tx 

2

)12(

,

0t

016163

2

 tt

4t

,

3

4

t

Вернемся к замене:

4)12(

2

x

3

4

)12(

22

x

212 x

3

4

12

2

x

5,0

5,1





x

32

23 

x

Ответ: 1,5; -0,5;

32

23 

.

Пример 5.

0252

223

 xyyxx

ОДЗ: х и у любые числа.

Многочлен называется однородным, если сумма показателей степеней переменных

в каждом члене многочлена равна n. Если

);( yxp

- однородный многочлен, то

0);( yxp

однородное уравнение.

Вынесем общий множитель за скобки:

0)252(

22

 yxyxx

Если х=0, то у – любое число.

Если

0x

, то

0252

22

 yxyx

. Разделим обе части уравнения на

2

x

и введем новую

переменную

t

x

y



.

0252

2

 tt

2t

5,0t

Вернемся к замене:

2

x

y

2

1



x

y

xy 2

yx 2

Пусть а – действительное число. Тогда ответ можно записать в виде:

(0; а), (а; 2а), (2а; а).

Пример 6.

01454

234

 xxxx

ОДЗ: х – любое число.

Многочлен называют симметрическим, если коэффициенты членов, равно отстоящих от

концов, равны между собой. Для многочленов с двумя переменными - если при

одновременной замене х на у и у на х, многочлен сохраняет свой вид. Например,

0

3333

 yyxx

.

Разделим обе части данного уравнения на

2

x

.

0

11

454

2



x

xx

Сгруппируем 1 и 5 слагаемое, 2 и 3 слагаемое:

05)

1

(4)

1

(

2



x

Пусть

x

xt

1



, тогда

2

22

1

2

x

xt 

, а

2

1

2

 t

x

0542

2

 tt

034

2

 tt

3

1



t

Вернемся к замене:

1



x

3

1



x

Решив эти уравнения, получаем корни

2

53

.

Ответ:

2

53

3. Метод деления на многочлен.

Этот метод применяют при решении уравнений высших степеней. Цель – понизить

степень многочлена.

Теорема. Если

0

x

- целый корень уравнения

0)( xf

, где

)(xf

- многочлен с целыми

коэффициентами, свободный член которого не равен 0, то

0

x

- делитель свободного члена

многочлена.

Пример 7.

067

3

 xx

ОДЗ: х – любое число.

Выпишем делители свободного члена многочлена:

±1; ±2; ±3; ±6.

Число 1 обращает многочлен в 0. Значит х=1 – корень уравнения.

Разделим многочлен

67

3

 xx

на двучлен

1x

. Получим

6

2

 xx

.

06

2

 xx

3x

2x

Ответ: 1; -3; 2.

4. Избавление от знаменателя.

Для того чтобы избавиться от знаменателя необходимо умножить обе части уравнения на

общий знаменатель. Этот тип уравнений требует собой осторожности, т.к. найденные

корни могут обращать знаменатель в 0.

Пример 8.

0

1

5

1

2

22







 xx

ОДЗ:

01

2

x

при любом х,

01

2

x

при

1x

Умножим обе части уравнения на

)1)(1(

22

 xx

0)1(5)1(2

22

 xx

037

2

x

Уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.

4. Работа в группах.

Учащиеся разбиваются на 3-4 группы и самостоятельно выполняют задания. Ученики,

подготовившие доклады присоединяются к группам. Задания, выполненные докладчиками

не должны совпадать с заданиями для группы.

5. Проверка решений.

По окончанию работы докладчики представляют краткое решение заданий. Это может

быть презентация или оформленное на бумаге решение. Члены группы могут проверять

как свои работы, так и работы других участников группы, включая докладчиков.

5. По результатам работы выставляются оценки. Дополнительные отметки

выставляются учащимся, подготовившим доклады. Д.з.

Задания для самостоятельной работы.

1 вариант.

А)

01243

23

 xxx

(-2; 2; 3)

Б)

0

)1(

4

1

2

22







 x

x

(-5)

В)

0178

36

 xx

(-1; 0,5)

Г)

02562

234

 xxxx

(-2; 1)

Д)

4

3

1

3

1

3









x

(1,2; 2)

Е) Решите уравнение относительно х

010275

22

 yxyx

(-5у; -0,4у)

2 вариант.

А)

02442 

xx

(2; -1)

Б)

0

42

7

42

1

4

2

22







 xx

x

(-14; 1)

В)

77507

13



 xx

(-1; 1)

Г)

0485

2345

 xxxxx

(-1; 2)

Д)

6245)3(

2

 xxxx

(0; 5)

Е)

954

323

 yxyx

(х и у любые действительные числа)

3 вариант.

А)

099

23

 xxx

(-3; -1; 3)

Б)

62

3

1

9

1

22











x

xxx

(1; 2)

В)

043

48

 xx

(-1; 1)

Г)

0412136

234

 xxxx

(1; 2)

Д)

01464

234

 xxxx

(1)

Е) Решите уравнение относительно х

045

22

 yxyx

(у; 4у)

4 вариант.

А)

xx

92733

1





(2; 3)

Б)

22

32

29

186

1

62

5

xxxx

x









(-1; 0,2)

В)

02

63

 xx

(64)

Г)

0617144

245

 xxxx

(-2; 1; 3)

Д)

012101453

234

 xxxx

(

6

731

;

31

)

Е)

022

3223

 yxyyxx

(

)

2

4

;

2

4

(

33

;













3

32

;

3

33

)

Итоговая работа "Методы решения уравнений" 11 класс

Алгебра - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы