Ученики на Учителя.com


Разработка урока "Решение тригонометрических уравнений" 11 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №5» г. Новоалександровска
Разработка обобщающего урока по алгебре и началам
анализа в 11 классе по теме:
Решение
тригонометрических
уравнений
Автор: учитель математики
высшей категории
МОУ СОШ №5 г. Новоалександровска
Коломутова Наталья Николаевна
г. Новоалександровск
2013г.
Разноуровный обобщающий урок алгебры и начала анализа в 11 классе
по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
Цель урока:
• обобщить теоретические знания по теме «Тригонометрические уравнения»,
• повторить основные приёмы решения тригонометрических уравнений,
• рассмотреть решение данных уравнений базового и повышенного уровней
сложности,
• организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню
сформированных у них знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Продолжительность урока – 45 минут.
Ход урока:
I этап урока – организационный (1 минута)
Учитель сообщает тему и цель урока.
II этап урока (19 минут). Повторение теоретического материала по теме
«Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Основные
приёмы решения тригонометрических уравнений»
1) Учитель задаёт вопросы. Правильность ответов проверяется с помощью
мультимедийного проектора (на доске демонстрируются заранее
заготовленные слайды. Если учащиеся затрудняются ответить, учитель
демонстрирует слайд с готовым ответом и предлагает сделать запись в
тетради).
а) Какие уравнения называются тригонометрическими?
Ответ: Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в
которых переменная содержится под знаком тригонометрической
функции.
б) Перечислите простейшие тригонометрические уравнения и
формулы их корней.
Ответ: 1. cos x=a,
1a
, х=
2arccos a
n, n
Z;
2. sin x=a,
1a
, х=
a
n
arcsin)1(
n, n
Z;
3. tg x=a, x=arctg a+
n, n
Z;
4. ctg x=a, x=arcctg a+
n, n
Z.
в) Перечислите частные случаи решения простейших
тригонометрических уравнений.
Ответ: 1. sin x=0, x=
n; sin x=1, x=
n; sin x= -1,
x=
2
2
n; n
Z.
2. cos x=0, x=
2
n; cos x=1, x=2
n; cos x= - 1,
x=
2
n; n
Z.
г) Что нужно сказать об уравнениях вида cos x=a и sin x=a, где
а
1
?
Ответ: В этом случае уравнение не имеет корней.
д) Назовите формулы, по которым решаются простейшие
тригонометрические уравнения с модулями.
Ответ: 1.
,cos ax
0≤a≤1, x=
aarccos
n, n
Z;
2.
ax sin
, 0≤a≤1, x=
aarcsin
n, n
Z;
3.
atgx
, x=
arctga
n, n
Z;
4.
actgx
, x=
arcctga
n, n
Z.
е) Перечислите основные методы решения тригонометрических
уравнений.
Ответ: 1. Метод введения новой переменной. Этим методом
решаются тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту
же функцию одного и того же аргумента (3tg
2
x+tgx – 1=0).
2. Метод разложения на множители. При применении этого метода
необходимо пользоваться правилом: произведение нескольких
множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один
из них равен нулю (
3
sinxcosx+cos
2
x=0; sin2x=sinx).
3. Метод решения однородных уравнений. Однородное
тригонометрическое уравнение первой степени: asinx+bcosx=0,
решается делением обеих частей уравнения на cosx≠0 или sinx≠0.
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0, решается делением обеих частей
уравнения на cos
2
х≠0 или sin
2
x≠0.
4. Функционально-графический метод (основан на применении
свойств тригонометрических функций).
5. Методом введения вспомогательного угла решаются уравнения
вида asinx+bcosx=c, авс≠0.
6. Метод оценки значений левой и правой частей уравнения.
7. Решение уравнений, являющимися равенством двух одноимённых
функций.
а) sinf(x)=sing(x)
.,2)()(
,,2)()(
Zkkxgxf
Znnxgxf
б) cosf(x)=cosg(x)
.,2)()(
,,2)()(
Zkkxgxf
Znnxgxf
в) tgf(x)=tgg(x)
.,
2
)(
,,)()(
Zkkxg
Znnxgxf
2) Устные упражнения (на экран выводится тренажёр для устного счёта,
учащиеся работают по цепочке, ошибающийся считает повторно).
1. Вычислить устно
1.
2
1
arcsin
2
3
arccos
2
2
arcsin
2.
1arcsin
3
3
arctg
3arctg
3.
2
2
arccos
3
sinarccos
2
1
arccos3
2
1
arccos2
4.
2
3
arccos3
0arccos
6
sinarccos
5.
2
2
arcsin
2
1
arcsin
0arcsin
1arcsin
6.
2
1
arcsin
1arcsin
0arcsin3
2
3
arccos
7.
3
3
arctg
32arctg
1arctg
0arctg
2. Решить уравнение:
1.
1sin x
1cos x
0sin x
1cos x
2.
0tgx
1ctgx
1tg x
0ctgx
3.
2
2
sin x
2
2
cos x
2
3
sin x
2
1
cos x
4.
5,0sin x
2
1
cos x
10tgx
3
3
ctgx
5.
3cos2 x
3sin2 x
3
3
tgx
01sin5 x
6.
1
2
cos
2
sin2
xх
0sincos
22
xx
sin2xcosx+cos2xsinx=-1
III этап урока (18 минут). Практическая разноуровневая работа по
решению заданий на тему «Решение тригонометрических уравнений».
Учитель продолжает коллективную работу с учащимися 1-ой и 2-ой
групп, а учащиеся 3-ей группы начинают выполнять задания на карточках
самостоятельно.
Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки в 2-х вариантах
с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся 3-й группы - это учащиеся
со слабой математической подготовкой, при выполнении заданий учитель
оказывает им помощь.
Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.
Двое учеников из 1-ой группы и один из второй группы у доски решают
уравнения.
1-ая группа
1.Решите уравнение
2
2
3
2sin 2 sin 1 2 sin 3
2
x x x



;
2. Найдите все значения х, при каждом из которых графики функций
5
log sin
2
2
3
cos ctg 5
2 2 2
x
xx
fx
и
62
cos
4 2 2
x
gx
пересекаются.
2-ая группа
3. Решите уравнение cos3x+sin2x – sin4x=0.
1. Решение:
1) Учитывая, что
3
sin 0
2
x
, т.е.
3
sin
2
x
преобразуем уравнение к виду:
2
3
2sin 2sin 2 2 sin 3
2
x x x



,
2
2sin 2sin 2 3 2sin 3x x x
,
2
2sin 2 2 sin 2 0xx
.
2) Решим полученное уравнение:
а)
sin 1x
, что не удовлетворяет условию
2
sin
2
x
;
б)
2
sin
2
x 
, отсюда
1
1
4
n
xn
,
nZ
Ответ:
1
1
4
n
n
,
nZ
2. Решение:
1) Из условия задачи имеем:
5
log sin
2
2
3 6 2
cos ctg 5 cos
2 2 2 4 2 2
x
x x x
Учитывая, что
sin 0
2
x
, преобразуем уравнение к виду:
2
3 6 2
cos cos cos
2 2 2 4 2 2
x x x
;
2
32
6
cos cos 0
2 2 2 4
xx
.
2) Решим полученное уравнение при условии
sin 0
2
x
:
а)
3
cos
5
22
2,
26
sin 0
2
x
x
kk
x

5
4,
3
x k k
;
б)
2
cos
22
2 , , 4 ,
2 4 2
sin 0
2
x
x
k k x k k
x

.
Ответ:
5
4,
3
k

,
4,
2
kk
.
3. Решение:
cos3x+(sin2x – sin4x)=0;
применив формулу разности синусов, получим уравнение:
cos3x+( -2sinxcosx)=0;
cos3x(1 – 2sinx)=0;
cos3x=0, sinx=0,5;
x=
n
36
, x=
k
k
6
)1(
, n, k
Z.
После решения этих уравнений у доски учащиеся 1-ой и 2-ой групп
приступают к выполнению самостоятельной работы. Для них составлены
карточки в двух вариантах: для 1-oй группы- задания повышенного уровня
сложности, для второй – базового уровня.
Вариант № 1. (первый уровень)
1 . Решите уравнение
2cos 2 1x
.
2. Найдите значение выражения
2
sin 2
13

, если
3
cos
4
,
0 ; 180



oo
.
3. Решите уравнение (2cosx – 1)
.0sin x
4. Решите уравнение
2
3
tg 4 4ctg
2
xx
.
5. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения
44
3
33
cos sin
22
log cos3
xx
x
и
3
sin 6
log cos3
x
x
принимают равные значения.
Вариант № 2. (первый уровень)
1. Решите уравнение
2cos 3 3x
.
1)
2
,
93
k
kZ

3)
1,
93
k
k
kZ

2)
1,
18 3
k
k
kZ


4)
2
,
18 3
k
kZ

2. Найдите значение выражения
1
2cos
2

, если
2
sin
2

,
90 ; 270



oo
.
3. Решите уравнение (2cosx-1)
xsin
=0.
4. Решите уравнение
2
3sin 7 cos 1xx
.
5. Найдите все значения х, при каждом из которых графики функций
3
3
2sin sin cos 2 1
2 sin
x x x
fx
x

и
3
sin 2
sin
x
gx
x
пересекаются.
1)
,
6
k k Z
3)
1,
62
k
k
kZ

2)
2
4,
3
k k Z
4)
2,
3
k k Z
Вариант № 1. (второй уровень)
1. Решите уравнение
5
2sin 2
2
x

.
1)
4
,
55
π πk
kZ
3)
4
,
5
πk
kZ
2)
2
,
55
π πk
kZ
4)
2
2
π
πk, k Z
2. Решите уравнение
05,0cossin
22
xx


,2
3
2
)2
,
6
)1


,2
6
)4
,4
3
2
)3
3.Вычислить: 1+tg
2
x – sin
2
x, если sin
2
=0,5.
4. Решите уравнение: sin(x+
3
)=sin(2x+
4
).
5. Решите уравнение: 2cosx - 3sinx=0.
6. Найдите корень уравнения
2
cos 3 4cos3 5 0xx
, принадлежащий
промежутку
90 ; 180
. Ответ укажите в градусах.
Вариант №2. (второй уровень)
1. Решите уравнение
3
tg 1
5
x
.
1)
15
30 ,
4
k k Z
3)
55
,
12 3
k k Z
2)
15
15 ,
4
k k Z
4)
5 10
,
12 3
k k Z
2. Решите уравнение
1
1
2
2
xtg
tgx

,
28
)2
,2
2
)1

,
28
)4
,
8
)3
3.Вычислите: cos
2)3sin()
2
(
, если cos
2
1
.
4. Решите уравнение: cos(3x+
4
)=cos6x..
5. Решите уравнение: sin
2
x – 5sinxcosx+4cos
2
[=0/
6.Найдите корень уравнения
2
cos 3 5cos3 6 0xx
, принадлежащий
промежутку
45 ; 160
. Ответ укажите в градусах.
Вариант № 1. (третий уровень)
1. Решите уравнение
tg 3 3x
.
1)
2
93
xn


,
nZ
3)
2
93
xn

,
nZ
2)
93
xn


,
nZ
4)
93
xn

,
nZ
2. Решите уравнение
1
sin 1
3
x 
.
1)
6,k k Z
3)
3
6,
2
k k Z
2)
3
1 3 ,
2
k
k k Z
4)
3
6,
2
k k Z
3. Решите уравнение
2sin 2 1x
.
1)
,
12
k k Z
3)
,
6
k k Z
2)
1,
12 2
k
k
kZ

4)
1,
62
k
k
kZ

4. Решите уравнение:
1
sin 1
22
x
.
1)
4,
3
k k Z
3)
2
4,
3
k k Z
2)
1 2 ,
3
k
k k Z
4)
2
1 2 ,
3
k
k k Z
5. Упростите:
cos53 cos37 sin 53 sin 37
o o o o
.
1)
1
3)
0
2)
cos16
o
4)
sin16
o
6. Найдите значение выражения
2
3
cos22sin
2
2
, если
4
1) 1,5 2) 0,5 3) -0,5 4) -1,5
Вариант № 2. (третий уровень)
1. Решите уравнение
tg 2 1x
.
1)
8
xn
,
nZ
3)
82
xn


,
nZ
2)
8
xn
,
nZ
4)
82
xn

,
nZ
2. Решите уравнение
12
cos
22
x 
.
1)
4,
2
k k Z
3)
3
4,
2
k k Z
2)
1 2 ,
2
k
k k Z
4)
1
1 2 ,
2
k
k k Z
3. Решите уравнение
tg 4 1 0x 
.
1)
16 4
xn

,
nZ
3)
16 2
xn

,
nZ
2)
16 4
xn


,
nZ
4)
16 2
xn


,
nZ
4. Решите уравнение:
3
2cos 1
2
x
.
1)
2
,
63
k k Z
3)
4
,
63
k k Z
2)
2,
4
k k Z
4)
3
2,
8
k k Z
5. Упростите выражение
sin 2,5 cos1,5 cos sin1,5 cos 2,5
.
1)
sin cos
3)
cos sin 4
2)
cos 4 cos
4)
2cos
6. Найдите значение выражения
2
sin
3
1
cos3
, если
6
.
1) -2 2) -1 3) 2 4) 1
По окончании отведённого времени учащиеся сдают работы.
IV этап урока (7 минут)
Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию
Учитель отвечает на вопросы, возникшие в ходе самостоятельной работы
(можно заранее приготовить решение наиболее трудны заданий, и
продемонстрировать их на экране), еще раз обращает внимание, на те
теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости
выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных
учащихся, при необходимости выставляет отметки.
В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из
КИМов.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: