Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Сумма бесконечной геометрической прогрессии" 10 класс

Тема: «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»
Цель урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения
практических задач; развитие познавательного интереса к математике.
Задачи урока:
Образовательные:
• совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию
формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии; применять
полученные знания в практических ситуациях; расширять знания путём
решения нестандартных задач;
Развивающие:
• развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;
Воспитательные:
• воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; формировать
отношения взаимной ответственности при совместной работе.
1. Вступительная часть. Определение темы, цели, задач урока.
Мотивация учебной деятельности.
Учитель: Закончился двадцатый век
Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строение звезд и Земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг:
«Прогрессио – движение вперед!»
(Фото со слайда).
Что вы сможете разглядеть в этой будничной сцене?
На ней изображена одна из закономерностей алгебры.
2. Тест-опрос.
тест
1. Формула для вычисления суммы
бесконечной геометрической
прогрессии при q<1
2. Найдите знаменатель
геометрической прогресси:
6; 3; 1,5; 0,75, …
а)2 б)0,5 в)-2 г)5
3. Самоконтроль (ответы к тесту по ключу)
4. Примеры практического применения темы.
Учитель: Формулу суммы членов бесконечной геометрической
прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном
виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.
a) Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.
Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0,(7) в
обыкновенную.
Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде: 0 (7) = 0 777 =
7/10+7/100+7/1000+7/10000+ .
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член
которой равен b
1
= 7/10, а знаменатель q = 1/10.
В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:
S = 7/10/(1−1/10) = 7/9. Таким образом, 0,(7) = 7/9.
0,(23) = 0,23232323…= 0,23+0,0023+0,000023+…
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член
которой равен b
1
= 0,23, а знаменатель q = 0,01.
S = 0,23/(1−1/100) = 0,23/0,99 = 23/99. Таким образом, 0,(23) = 23/99.
б) Постройте график функции:
Решение: Область определения функции: х ≠ 0.
1 + sin 30 + sin
2
30 + sin
3
30 + … = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… -
сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, у которой q = 1/2.
Тогда S = 1 : (1 – 1/2 ) = 2.
Функция приобретает вид: 1) у = х + 2, если х > 0;
2) у = х – 2, если х < 0.
у =
в) Решение уравнений, используя сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
1. Решить уравнение:
х
2
– 6 | х | = 3 + 2 + 1 + ½ +1/4 + …
Решение: 2 + 1 + ½ +1/4 + …
Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4.
Уравнение приобретает вид: х
2
– 6 | х | = 3 + 4,
х
2
– 6 | х | -7 = 0.
1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6 х -7 = 0, a + c = b
Корни : 7 и -1; причём х = - 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0.
2) Ели х < 0, то имеем х
2
+ 6 х -7 = 0, a + c + b = 0
Корни: - 7 и 1, причём х = 1 не удовлетворяет условию х < 0.
Ответ: -7; 7
5. Самостоятельная работа c правом выбора задания.
• Представьте периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:
0,(6); 0,(17); 0,1(8)
• Постройте график функции: y = (x - (3 -
3
2
+
3
4
-
3
8
+ …))
2
+ 1;
y = (x + (1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+ …))
2
- 1
y
x
2
-2
-4
2
-2
0
• Решите уравнение: x
2
−2x
3
+4x
4
−8x
5
+ = 2x+1 x 1
Решение: Упростим левую часть уравнения, применяя формулу S = b
1
/1−q суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
x
2
−2x
3
+4x
4
−8x
5
+ = x
2
1−2x+4x
2
−8x
3
+ = x
2
b
1
= 1, q = −2x = x
2
( 1/(1− −2x ) = x
2
/1+2x .
Тогда уравнение принимает вид x
2
/1+2x = 2x+1 x 1.
Решим его: x
2
/1+2x = 2x+1 x
2
= 2x+1
2
3x
2
+4x+1= 0 x
1
= −1 x
2
= −1/3 .
Так как x 1 , то корень уравнения будет x = −1/3.
6. Итог урока
1) Чему научились на уроке?
2) Что нового узнали с урока?
3) Актуальна ли для вас эта тема?
7. Домашнее задание: §25, №13(а, б), 14(а), 15(а, б)
8. Развивающее задание
Условие задания:
В квадрат, сторона которого
равна 48 см, вписан другой квадрат,
вершины которого являются
серединами сторон первого
квадрата, в этот квадрат вписан
таким же образом другой квадрат, и
т.д. (см. рис.).
Определи сумму площадей всех
квадратов.
Сумма площадей всех квадратов равна
см2.
Дополнительные вопросы:
1. Сторона третьего по порядку квадрата равна см.
2. Площадь наибольшего квадрата равна см2.
3. Знаменатель равен .
4. Выбери, какую из формул надо использовать в решении задачи:
• (b
1
+b2)/q
2
• b
1
/(1−q
2)
• b
1
(1−q
n
)/(1−q)
• b
1
/(1−q)
Учитель.
Урок сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
Наш урок хотелось бы закончить мудрыми словами Цицерона:
«Недостаточно владеть премудростью, нужно также уметь пользоваться
ею».
Надеюсь, ребята, мы нашли вместе с вами подтверждение этим словам.
Учитель: Как вы считаете, прав ли был Цицерон? (Ответ: Да, недостаточно
просто знать, нужно уметь использовать информацию).
Вывод: Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, мы
увидели, что прогрессии встречаются при решении задач во многих реальных
ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний,
связанных с прогрессиями.
Спасибо за урок!
Приложение к уроку
1. В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую
очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”.
Если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год
вклад увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна
вкладу, умноженному на 1,03. Ещё через год уже эта сумма увеличится на
3%, т.е. вновь умножится на 1,03. За 20 лет сумма на сберкнижке увеличится
в (1,03)
20
1,8 раза.
Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50%
годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)
10
55,7 раза. Под такой
процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало
страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент.
Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в
упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся
возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было
разрешено, но не должно было быть большим 10%.
2. Еще один пример геометрической прогрессии – изменение массы
радиоактивного вещества со временем. Известно, что за единицу времени
такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в
другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества
определяется величина T – время периода полураспада. Массы не
распавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
3. Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам
геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой
коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет
планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по
восстановлению лесов.
4. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на
протяжении одной минуты одна из них делится на две.
5. Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и
арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления
(пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди
размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от
лишнего населения необходимы войны.
• Решите уравнение, если известно, что
x
<1:
.
6
13
...12)
;
2
7
......
1
)
;
8
3
...16842)
;4......)
5432
432
432
432
xxxxxã
xxxxx
x
â
xxxxá
xxxxxa
n
n
№ 4
4......)
432
n
xxxxxà
,левая часть геометрическая прогрессия
....;;
3
3
2
21
xbxbxb
,
2
x
x
x
q
т.к
x
<1, можно применить формулу для суммы геометрической прогрессии
q
b
S
1
1
.
5
4
1045
,0
1
14
,4
1
x
xx
x
xx
x
x
Ответ:
5
4
б) х=0,3;
в) геометрическая прогрессия b
1
=x;q=x;
x
<1
;
2
7
......
1
432
n
xxxxx
x
1,0,
3
1
,
3
2
,0
12
299
,
2
7
1
1
21
2
xxxx
xx
xx
x
x
x
Ответ:
.
3
1
,
3
2
г)
.
9
7
,
2
1
• Постройте график функции
1) y = (x - ( 3 -
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟒
-
𝟑
𝟖
+ …))
2
+ 1
2) y = (x + (1+
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
+ …))
2
- 1
Ответы: 1)у = (x – 2)
2
+ 1; 2)у = (x + 2)
2
- 1
• Обратите периодическую десятичную дробь в обыкновенную.
b) 0,(6)
c) 0,(17)
d) 0,1(8)
Ответы: 2/3; 17/99; 17/90.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: