Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Сумма n - первых членов арифметической прогрессии"

Урок № 37
Тема урока: «Сумма n - первых членов арифметической прогрессии»
Цель урока: познакомиться с формулами нахождения суммы n – первых членов арифметической
прогрессии, научиться решать задачи на использование этих формул, развить познавательный
интерес и вычислительные навыки при решении задач, продолжить формирование
математической культуры.
ХОД УРОКА:
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся. Постановка цели урока.
2. Активизация опорных знаний.
✓ Что называют арифметической прогрессией?
✓ Как определить разность арифметической прогрессии?
✓ Назовите формулу n-го члена арифметической прогрессии и назовите каждое
составляющее этой формулы.
3. Изучение нового материала:
Пусть требуется найти сумму первых пятидесяти натуральных чисел. Эту сумму можно найти
непосредственным сложением чисел, что является очень трудоемким процессом. Поэтому
возникает необходимость попытаться найти более рациональный способ нахождения искомой
суммы. Для этой цели запишем сумму натуральных чисел от 1 до 50 дважды, расположив первый
раз слагаемые в порядке возрастания, а второй раз — в порядке убывания:
1 + 2 + 3 +.....+ 48 + 49 + 50,
50 + 49 + 48 +..... + 3 + 2 + 1.
Видно, что сумма чисел, расположенных друг под другом, равна между собой:
1 + 50 = 2 + 49 = 3 + 48 = ... = 48 + 3 = 49 + 2 = 50 + 1.
Заметно, что сумма двух членов конечной арифметической прогрессии, равностоящих от
конца, равна сумме крайних членов. В нашем случае каждая такая пара чисел в сумме дает 51, а
число пар равно 50.
Поэтому:
1+2+3+ .... +48+49+50 =


Этим же приемом воспользуемся для вывода формулы суммы первых п членов
арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через S
n
:
(1)
Если слагаемые в правой части равенства (1) напишем в обратном порядке, то сумма S
n
от
этого не изменится:
Почленно складывая равенства (1) и (2), получим:
В каждой скобке имеем сумму двух членов, равностоящих от конца конечной прогрессии,
следовательно, все эти суммы в скобках равны между собой и каждая из них равна сумме крайних
членов а
у
+ а
л
; таких скобок всего я, т.е. столько, сколько членов прогрессии.
Поэтому
Теорема: Сумма первых га членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних
членов, умноженной на число членов.
Данная формула позволяет легко найти число членов прогрессии по данным
, d, n.
Пример: Найдем сумму первых 20 членов арифметической прогрессии: 1; 3,5; ....
Решение.
Первый член прогрессии — 1, разность — 2,5. Найдем 20-й член этой прогрессии:
а
20
= 1 + 2,5 • (20 - 1) = 1 + 2,5 • 19 = 48,5.
Теперь можно вычислить искомую сумму:
Ответ: 495.
4. Решение задач:
Решить № 186 (1,2) №191(а)
5. Рефлексия
6. Постановка Д/з
§11, Решить № 186(3)
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: