Презентация "Окружность и ее элементы" 9 класс


Подписи к слайдам:
Геометрия 9 класс

Геометрия 9 класс

  • Окружность и ее элементы

Содержание

  • Основные понятия
  • Свойства вписанных углов
  • Углы, связанные с окружностью
  • Отрезки, связанные с окружностью
  • Теорема Птолемея
  • Окружность, вписанная в многоугольник
  • Окружность, описанная около многоугольника
  • Вневписанная окружность

Основные понятия

  • Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние от заданной точки (центра).
  • Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
  • Радиус — отрезок, соединяющий точку окружности с центром.
  • Содержание

Основные понятия

  • Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
  • Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.
  • Секущая — прямая, проходящая через две произвольные точки окружности.
  • Содержание

Основные понятия

  • Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются ее хордами.
  • Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.
  • Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.
  • Содержание

Свойства вписанных углов

  • 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  • — вписанный угол, BA и BC — хорды, OA — радиус.
  • Проведем радиус OA. Рассмотрим треугольник OAB:
  • Следовательно, он равнобедренный и
  • Угол AOC — внешний, следовательно,
  • Следовательно,
  • Угол AOC измеряется дугой AC, следовательно, его половина измеряется половиной дуги AC.
  • Что и требовалось доказать.
  • Доказательство.
  • 1) Центр на одной из сторон.
  • Содержание

Свойства вписанных углов

  • 2) Центр лежит внутри угла ABC.
  • — вписанный угол, BD — диаметр,
  • По свойству 1:
  • Следовательно,
  • Что и требовалось доказать.
  • 3) Центр лежит вне угла.
  • — вписанный угол, BD — диаметр.
  • Что и требовалось доказать.
  • Содержание

Свойства вписанных углов

  • 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  • Доказательство.
  • и
  • — вписанные углы, KL — дуга.
  • Следовательно,
  • Что и требовалось доказать.
  • По свойству 1:
  • Содержание

Свойства вписанных углов

  • 3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
  • Доказательство.
  • — внутренний угол, BC — диаметр.
  • Так как BC — полуокружность, следовательно,
  • Таким образом,
  • Что и требовалось доказать.
  • По свойству 1:
  • Содержание

Свойства вписанных углов

  • 4. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.
  • Доказательство.
  • , AB и CD — хорды.
  • 2. Треугольники OAB и OCD равны, т.к.
  • (радиусы).
  • и
  • Следовательно,
  • В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, следовательно,
  • Что и требовалось доказать.
  • 1. Проведем радиусы
  • Содержание

  • Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.
  • Доказательство.
  • — внешний угол треугольника DOB.
  • Что и требовалось доказать.
  • Угол
  • Содержание
  • Углы, связанные с окружностью

  • Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
  • По теореме о внешнем угле треугольника MBC:
  • Что и требовалось доказать.
  • Доказательство.
  • Содержание
  • Углы, связанные с окружностью

  • Доказательство.
  • Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.
  • опирается на дугу
  • Тогда,
  • Что и требовалось доказать.
  • 2. Угол
  • 1. Проведем диаметр.
  • Содержание
  • Аналогично для тупого угла
  • Углы, связанные с окружностью

  • Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг.
  • По теореме о вписанных углах:
  • По теореме об угле между касательной и хордой
  • .
  • — внешний угол треугольника ABM.
  • Что и требовалось доказать.
  • Доказательство.
  • Содержание
  • Углы, связанные с окружностью

  • Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
  • Доказательство.
  • Проведем радиусы в точки касания, они перпендикулярны касательным.
  • Примечание.
  • Тогда
  • Что и требовалось доказать.
  • Содержание
  • Углы, связанные с окружностью

  • Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из одной точки, равны.
  • Доказательство.
  • , так как гипотенуза OA — общая,
  •  — радиусы.
  • .
  • Следовательно,
  • Что и требовалось доказать.
  • Содержание
  • Отрезки, связанные с окружностью

  • Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная.
  • Доказательство.
  • Пусть AB и CD — данные хорды, O — точка пересечения.
  • Проведем хорды AC и BD.
  • ~
  • , так как
  •  — вертикальные,
  •  — опираются на дугу CB.
  • Что и требовалось доказать.
  • Тогда
  • Содержание
  • Отрезки, связанные с окружностью

  • Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная.
  • Доказательство.
  • Проведем хорды AC и BD.
  • ~
  • (по двум углам):
  •  — общий,
  •  — опираются на дугу BC.
  • Что и требовалось доказать.
  • Тогда
  • Содержание
  • Отрезки, связанные с окружностью

  • Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
  • Доказательство.
  • ~
  • , так как
  •  — общий,
  • Тогда
  • Что и требовалось доказать.
  • Содержание
  • Отрезки, связанные с окружностью

  • Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов).
  • Доказательство.
  • , так как они опираются на одну дугу BC.
  • Что и требовалось доказать.
  • Содержание
  • Отрезки, связанные с окружностью

  • Теорема. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
  • Доказательство.
  • 1. Проведем диагонали AC и BD.
  • 3. Тогда треугольники KBA и ACD подобны (по равному по построению углу и по углу, опирающемуся на дугу AD); треугольники AKD и ABC подобны (по двум углам: 
  • 2. Выберем на диагонали BD точку K так, чтобы
  • (по построению) и
  • ).
  • Что и требовалось доказать.
  • 4. Тогда:
  • Содержание
  • Теорема Птолемея

  • Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.
  • 1) В любой треугольник можно вписать окружность.
  • , где p — полупериметр.
  • Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.
  • Содержание
  • Окружность, вписанная в многоугольник

  • 2) В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
  • , так как AK и AL — касательные к окружности, проведенные из одной точки.
  • Тогда сумма противоположных сторон есть для данного четырехугольника величина постоянная.
  • Аналогично с остальными отрезками.
  • Содержание
  • Окружность, вписанная в многоугольник

  • 3) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
  • Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.
  • Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон.
  • Содержание
  • Окружность, вписанная в многоугольник

  • Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.
  • 1) Около любого треугольника можно описать окружность.
  • ;
  • Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
  • Содержание
  • Окружность, описанная около многоугольника

  • 2) В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
  • Тогда
  • Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.
  • Содержание
  • Окружность, описанная около многоугольника

Вневписанная окружность

  • Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника делит его периметр пополам:
  • Доказательство.
  • 1.
  • Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон.
  • Теорема. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением его боковой стороны равно полупериметру p.
  • — отрезки касательных, исходящих из одной точки.
  • 2. 
  • Таким образом,
  • Следствие:
  • .
  • ,
  • Содержание

Вневписанная окружность

  • Теорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по формуле:
  • Доказательство.
  • 1. Площадь четырехугольника ONAM:
  • 2. Площадь четырехугольника ONAM:
  • 3. Таким образом,
  • Что и требовалось доказать.
  • .
  • Содержание

Вневписанная окружность

  • Теорема. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
  • Доказательство.
  • Что и требовалось доказать.
  • Содержание

Конец

  • Конец
  • Начать заново
  • Завершить показ