Презентация "Элементы комбинаторики. Решение комбинаторных задач" скачать бесплатно


Презентация "Элементы комбинаторики. Решение комбинаторных задач"


Подписи к слайдам:
Комбинаторика

  • Выполнила Арсибекова Ольга Ивановна
  • учитель математики

Задача № 1. Из цифр 2, 4, 7 следует составить трехзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз. Сколько всего таких чисел можно составить?

  • Задача № 1. Из цифр 2, 4, 7 следует составить трехзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз. Сколько всего таких чисел можно составить?
  • Решение.
  • 1 способ. Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2: 224, 227, 242, 272, 244, 277, 247, 274 – 8 чисел.
  • Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 4: 442, 447, 424, 474, 422, 477, 427, 472 – 8 чисел.
  • Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 7: 772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742 – 8 чисел.
  • Ответ. 24 числа.

2 СПОСОБ

  • 2
  • 2
  • 4
  • 7
  • 22
  • 24
  • 27
  • 4
  • 7
  • 224
  • 227
  • 2
  • 4
  • 7
  • 242
  • 244
  • 247
  • 2
  • 4
  • 7
  • 272
  • 274
  • 277
  • Всего 8чисел
  • Мы составили дерево возможных вариантов трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра 2. Составим дерево возможных вариантов для трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра 4, получим 8 чисел и для трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра 7, тоже 8 чисел. Всего 24 числа.

  • Задача № 2. «Этот вечер свободный можно так провести…»: пойти погулять к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вити или к Вике. А можно остаться дома, сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, а потом поиграть с братом или разобраться у себя на письменном столе. Сколько всего вариантов существует для проведения данного вечера.
  • Решение.
  • вечер
  • прогулка
  • дом
  • река
  • площадь
  • парк
  • Витя
  • Вика
  • Витя
  • Вика
  • Витя
  • Вика
  • ТВ
  • книга
  • брат
  • стол
  • брат
  • стол
  • Всего 10 вариантов

  • Задача № 3 На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?
  • Решение

  • Плюшка
  • Бутерброд
  • Пряник
  • Кекс
  • Кофе
  • Кофе, плюшка
  • Кофе, бутерброд
  • Кофе, пряник
  • Кофе,
  • кекс
  • Сок
  • Сок, плюшка
  • Сок,
  • бутерброд
  • Сок, пряник
  • Сок,
  • кекс
  • Кефир
  • Кефир, плюшка
  • Кефир, бутерброд
  • Кефир, пряник
  • Кефир, кекс
  • 12 вариантов завтрака

ЗАДАЧА № 4. СКОЛЬКО РАЗЛИЧНЫХ ТАНЦЕВАЛЬНЫХ ПАР (ЮНОША, ДЕВУШКА) МОЖНО СОСТАВИТЬ ИЗ ПЯТИ ЮНОШЕЙ И ВОСЬМИ ДЕВУШЕК.

  • Решение.
  • Каждый из пяти юношей может пригласить любую из восьми девушек.
  • Поэтому различных танцевальных пар можно составить 5 ∙ 8 = 40.
  • Выполненные при решении этих задач рассуждения опираются на следующее утверждение.
  • Ответ. 40 танцевальных пар.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ.

  • Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

ЗАДАЧА. СКОЛЬКО СРЕДИ ЧЕТЫРЁХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ЦИФР 3, 4, 6, 8 (БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ), ТАКИХ, КОТОРЫЕ НАЧИНАЮТСЯ С ЦИФРЫ 3? А. 24 Б. 18 В. 6 Г. 12

  • Решение
  • На первое место можно поставить только одну цифру – 3
  • На второе место можно поставить любую из трёх: 4, 6 или 8
  • На третье место можно поставить любую из двух оставшихся цифр
  • На четвертое место можно поставить одну оставшуюся цифру
  • Используя правило умножения получаем 1∙3∙2∙1=6
  • Ответ. В

ЗАДАЧА. НАЙДИТЕ СУММУ ЦИФР ВСЕХ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, КОТОРЫЕ МОЖНО СОСТАВИТЬ ИЗ ЦИФР 2, 4, 6, 8(БЕЗ ПОВТОРЕНИЯ). А. 360 Б. 480 В. 240 Г. 400

  • Решение
  • Все числа состоят из одних и тех же цифр, значит сумма цифр каждого числа одинаковая и равна 2+4+6+8= 20.
  • Выясним сколько таких четырехзначных чисел существует.
  • На первое место можно поставить любую из четырех данных цифр.
  • На второе место любую из трёх оставшихся цифр.
  • На третье место любую из двух оставшихся цифр.
  • На четвёртое место одну оставшуюся цифру.
  • По правилу умножения получаем 4∙3∙2∙1=24 числа.
  • Сумма цифр 24 чисел составляет 24∙20=480.
  • Ответ Б.

ЗАДАЧА. ИЗ КЛАССА, В КОТОРОМ УЧИТСЯ 15 ДЕВОЧЕК И 10 МАЛЬЧИКОВ, НУЖНО ВЫБРАТЬ ОДНУ ДЕВОЧКУ И ОДНОГО МАЛЬЧИКА ДЛЯ ВЕДЕНИЯ ШКОЛЬНОГО ВЕЧЕРА. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ ЭТО МОЖНО СДЕЛАТЬ?

  • Решение
  • Применим правило умножения: девочку можно выбрать 15 способами,
  • мальчика – 10 способами,
  • пару мальчик – девочка – 15 ∙ 10 = 150 способами.
  • Ответ. 150

ЗАДАЧА. В ЧЕМПИОНАТЕ ГОРОДА ПО ФУТБОЛУ ИГРАЕТ ДЕСЯТЬ КОМАНД. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОГУТ РАСПРЕДЕЛИТЬСЯ ТРИ ПРИЗОВЫХ МЕСТА?

  • Решение
  • На первое место можно поставить любую из 10 команд,
  • на второе – любую из 9 оставшихся,
  • на третье – любую из 8 оставшихся.
  • По правилу умножения общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720.
  • Ответ. 720.

ЗАДАЧА. В РАСПИСАНИИ УРОКОВ НА СРЕДУ ДЛЯ ПЕРВОГО КЛАССА ДОЛЖНО БЫТЬ ЧЕТЫРЕ УРОКА: ДВА УРОКА МАТЕМАТИКИ, УРОК ЧТЕНИЯ И УРОК ФИЗКУЛЬТУРЫ. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО СОСТАВИТЬ РАСПИСАНИЕ НА ЭТОТ ДЕНЬ?

  • Решение
  • Урок чтения можно поставить на любой из четырёх уроков,
  • Урок физкультуры – на любой из трёх оставшихся.
  • После этого для двух уроков математики останется единственный вариант поставить их в расписание.
  • По правилу умножения общее число способов составить расписание на среду равно 4 ∙ 3 = 12.
  • Ответ. 12.

ЗАДАЧА. В КОНФЕРЕНЦИИ УЧАСТВОВАЛО 30 ЧЕЛОВЕК. КАЖДЫЙ УЧАСТНИК С КАЖДЫМ ОБМЕНЯЛСЯ ВИЗИТНОЙ КАРТОЧКОЙ. СКОЛЬКО ВСЕГО ПОНАДОБИЛАСЬ КАРТОЧЕК?

  • Решение.
  • Каждый из 30 участников конференции раздал 29 карточек.
  • Значит, всего было роздано 30 ∙ 29 = 870 карточек.
  • Ответ. 870.

ЗАДАЧА. СКОЛЬКО ТРЁХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ МОЖНО ЗАПИСАТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ ТОЛЬКО ЦИФРЫ 0, 2, 4, 6?

  • Решение
  • На первое место можно поставить любую из цифр, кроме нуля, - это 3 варианта ;
  • на второе место – любую из 4 цифр и
  • на третье – тоже любую из 4 цифр.
  • По правилу умножения общее количество вариантов равно 3 ∙ 4 ∙ 4 = 48.
  • Ответ. 48.

ЗАДАЧА. В МЕНЮ ШКОЛЬНОЙ СТОЛОВОЙ 2 РАЗЛИЧНЫХ СУПА, 4 ВТОРЫХ БЛЮДА И 3 ВИДА СОКА. СКОЛЬКО МОЖНО СОСТАВИТЬ ВАРИАНТОВ ОБЕДА ИЗ ТРЕХ БЛЮД?

  • Решение
  • Первое блюдо можно выбрать 2 способами,
  • второе блюдо – 4 способами и
  • третье блюдо – 3 способами.
  • По правилу умножения общее количество вариантов равно 2 ∙ 4 ∙ 3 = 24.
  • Ответ. 24.

Задача № 1. В семье шесть человек, а за столом в кухне шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти шесть стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

  • Задача № 1. В семье шесть человек, а за столом в кухне шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти шесть стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
  • Решение
  • Предположим, что первой садится бабушка. У нее имеется 6 вариантов выбора стула.
  • Вторым садится дедушка и независимо выбирает стул из 5 оставшихся
  • Мама делает свой выбор третьей, и выбор у нее будет из 4 стульев
  • У папы будет уже 3 варианта, у дочки – 2, ну а у сын сядет на единственно незанятый стул.
  • По правилу умножения имеем 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 .
  • Ответ. 720 дней.

  • Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙…∙ (n-1) ∙ n.
  • Задача № 2. В 9 «А» классе в среду семь уроков: алгебра, геометрия, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить на среду?
  • Решение
  • Для алгебры – 7 вариантов.
  • Для геометрии – 6 вариантов.
  • Для литературы – 5 вариантов и т. д.
  • По правилу умножения получаем: 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7! = 5040.
  • Ответ. 5040.

  • Определение. Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке.
  • Теорема о перестановках элементов конечного множества:
  • n различных элементов можно расставить
  • по одному на n различных мест ровно
  • n! способами.
  • Рn=n!

Задача. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

  • Решение
  • Используя теорему о перестановках имеем:4-е друга могут занять по одному 4-е различных места ровно
  • 4! способами.
  • Pn = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
  • Ответ. 24 способа

ЗАДАЧА. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО С ПОМОЩЬЮ БУКВ K, L, M, N ОБОЗНАЧИТЬ ВЕРШИНЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА?

  • Решение
  • Используя теорему о перестановках имеем:4-е различные буквы можно записать по одной около 4-ех различных вершин многоугольника ровно 4! способами.
  • Pn = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
  • Ответ. 24 способа

ЗАДАЧА. СКОЛЬКО РАЗЛИЧНЫХ НЕЧЕТНЫХ ПЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, В КОТОРЫХ НЕТ ОДИНАКОВЫХ ЦИФР, МОЖНО ЗАПИСАТЬ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР 1, 2, 4, 6, 8?

  • Решение
  • Т.к. числа должны быть нечётными, то на последнем пятом месте может быть только нечётная цифра – это 1.
  • Осталось 4-е цифры(2, 4, 6, 8) и 4-е разряда.
  • Используя теорему о перестановках имеем: Pn = 4! = 24
  • Ответ. 24 числа.

ЗАДАЧА. СКОЛЬКО РАЗЛИЧНЫХ ЧЁТНЫХ ПЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, ВСЕ ЦИФРЫ КОТОРЫХ РАЗЛИЧНЫ, МОЖНО ЗАПИСАТЬ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР 1, 2, 3, 4, 5?

  • Решение
  • Т. к. числа должны быть чётными, значит на последнем пятом месте должна стоять чётная цифра – это 2 или 4.
  • Найдем сколько пятизначных чётных чисел, которые оканчиваются цифрой 2.
  • Осталось 4-е цифры(1, 3, 4, 5) и 4-е разряда. Применяя теорему о перестановках имеем: Pn = 4! = 24 числа.
  • Рассуждая аналогично, получим, что пятизначных чётных чисел, оканчивающихся цифрой 4, тоже 24.
  • Получаем: 24 + 24 = 48.
  • Ответ. 48 чисел.

Задача. Сколькими способами можно записать двузначных чисел с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?

  • Задача. Сколькими способами можно записать двузначных чисел с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?
  • Решение
  • Решим эту задачу, используя правило умножения.
  • В записи двузначного числа на первом месте может стоять любая из данных четырёх цифр, а на втором – любая из трёх оставшихся.
  • По правилу умножения таких двузначных чисел: 4 ∙ 3 = 12
  • Ответ. 12 чисел.

  • При решении задач из 4-ёх данных элементов (цифр 1, 2, 3, 4) были образованы всевозможные соединения по 2 элемента в каждом, причём любые два соединения отличались либо составом элементов (например, 12 и 24), либо порядком их расположения (например, 12 и 21).
  • Такие соединения называются размещениями.
  • Определение. Размещениями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.
  • Число всевозможных размещений из m элементов по n элементов обозначают
  • Формула для вычисления:
  • =
  • m!
  • (m-n)!

ЗАДАЧА. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ 3 УЧЕНИКА МОГУТ ЗАНЯТЬ МЕСТА В КЛАССЕ, В КОТОРОМ СТОЯТ 20 ОДНОМЕСТНЫХ СТОЛОВ

  • Решение
  • Задача сводится к нахождению числа размещений из 20 элементов по 3 элемента в каждом.
  • Используя формулу для вычисления числа размещений имеем
  • Ответ. 6840

ЗАДАЧА. В КЛАССЕ ИЗУЧАЮТ 9 ПРЕДМЕТОВ. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО СОСТАВИТЬ РАСПИСАНИЕ НА ПОНЕДЕЛЬНИК, ЕСЛИ В ЭТОТ ДЕНЬ ДОЛЖНО БЫТЬ 6 РАЗНЫХ УРОКОВ?

  • Решение
  • Найдем число размещений из 9 элементов по 6 элементов в каждом.
  • Применяя формулу получаем:
  • Ответ. 60480

ЗАДАЧА. СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ СПОСОБОВ ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ВЕРШИН ДАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА С ПОМОЩЬЮ БУКВ A, B, C, D, E, F?

  • Решение
  • Задача опять сводится к нахождению числа размещений из 6 элементов по 4 элемента.
  • Получаем:
  • Ответ. 360

ЗАДАЧА. В КЛАССЕ 30 ЧЕЛОВЕК. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОГУТ БЫТЬ ВЫБРАНЫ ИЗ ИХ СОСТАВА СТАРОСТА И КАЗНАЧЕЙ?

  • Решение
  • Для того, чтобы ответить на вопрос задачи найдем число размещений из 30 элементов по 2 элемента в каждом.
  • Ответ. 870

ЗАДАЧА. В ЧЕМПИОНАТЕ ПО ФУТБОЛУ УЧАСТВУЮТ 10 КОМАНД. СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ РАЗЛИЧНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЗАНЯТЬ КОМАНДАМ ПЕРВЫЕ ТРИ МЕСТА?

  • Решение
  • Найдем размещения из 10 элементов по 3 элемента в каждом.
  • Ответ. 720

Задача. Из пяти шахматистов для участия в турнире нужно послать двух. Сколькими способами это можно сделать?

  • Задача. Из пяти шахматистов для участия в турнире нужно послать двух. Сколькими способами это можно сделать?
  • Решение
  • Из пяти шахматистов можно составить пар.
  • Но из этих пар надо выбрать те, которые отличаются составом участников, но не их порядком.
  • Таких пар в 2 раза меньше, т.е.
  • Ответ. 10 способов.

  • При решении задач из пяти человек были образованы соединения по 2, которые отличаются только составом пар.
  • Такие соединения называются сочетаниями.
  • Определение. Сочетаниями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
  • Число всевозможных сочетаний из m элементов по n элементов обозначают
  • Формула для вычисления:
  • =
  • m!
  • (m-n)!
  • n!

ЗАДАЧА. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ДЕЛЕГИРОВАТЬ ТРОИХ СТУДЕНТОВ НА МЕЖВУЗОВСКУЮ КОНФЕРЕНЦИЮ ИЗ 9 ЧЛЕНОВ НАУЧНОГО ОБЩЕСТВА.

  • Решение
  • Создание групп из трех человек без учета их порядка расположения является сочетанием.
  • Используя формулу находим
  • Ответ. 84 способа.

ЗАДАЧА. В ШКОЛЬНОМ ХОРЕ 6 ДЕВОЧЕК И 4 МАЛЬЧИКА. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ ИЗ СОСТАВА ХОРА ДВУХ ДЕВОЧЕК И ОДНОГО МАЛЬЧИКА ДЛЯ УЧАСТИЯ В ВЫСТУПЛЕНИИ ОКРУЖНОГО ХОРА?

  • Решение
  • Составление пар из числа девочек без учета их порядка расположения – есть сочетание.
  • Мальчика можно выбрать 4 способами.
  • Используя правило умножения, получаем
  • 4 ∙ 15 = 60
  • Ответ. 60 вариантов.

ЗАДАЧА. В ВАЗЕ ЛЕЖАТ 5 РАЗНЫХ ЯБЛОК И 6 РАЗЛИЧНЫХ АПЕЛЬСИНОВ. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ ИЗ НИХ МОЖНО ВЫБРАТЬ 2 ЯБЛОКА И 2 АПЕЛЬСИНА.

  • Решение
  • Выбор 2 яблок из 5(порядок не важен) – сочетания.
  • Выбор 2 апельсинов из 6(порядок не важен) – сочетания.
  • По правилу умножения – 10 ∙ 15=150.
  • Ответ. 150 способов.

ЗАДАЧА. ИМЕЕТСЯ 3 РАЗНОЦВЕТНЫХ МЯЧА, 5 РАЗНОЦВЕТНЫХ КУБИКОВ И 4 РАЗНОЦВЕТНЫХ СКАКАЛКИ. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ НАБОР ИЗ ДВУХ МЯЧЕЙ, ДВУХ КУБИКОВ И ДВУХ СКАКАЛОК? А. 180 Б. 60 В. 23 Г. 12

  • Решение
  • Найдем сколько различных вариантов выбора мячей.
  • Найдем сколько различных вариантов выбора кубиков.
  • Найдем сколько различных вариантов выбора скакалок.
  • 3 ∙10 ∙ 6 = 180. Ответ. А