Презентация "Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Теорема Эйлера" 10 класс


Подписи к слайдам:
МАОУ «Сладковская СОШ»

  • Многогранники.
  • Вершины, ребра, грани многогранника.
  • ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА.
  • 10 класс
  • Выполнила: Кайгородова С.В.

Правильным называется многогранник, у которого все грани являются правильными многоугольниками, и все многогранные углы при вершинах равны.

С глубокой

  • С глубокой
  • древности
  • человеку
  • известны пять
  • удивительных
  • многогранников

По числу граней их называют правильный тетраэдр

гексаэдр (шестигранник) или куб

октаэдр (восьмигранник)

додекаэдр (двенадцатигранник)

икосаэдр (двадцатигранник)

Развертки правильных многогранников

  • Историческая справка
  • Четыре сущности природы были известны человечеству: огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников
  • Великий древнегреческий философ Платон, живший в IV – V вв. до нашей эры, считал, что эти тела олицетворяют сущность природы.

атом огня имел вид тетраэдра,

  • атом огня имел вид тетраэдра,
  • земли – гексаэдра (куба)
  • воздуха – октаэдра
  • воды - икосаэдра

Но оставался додекаэдр,

  • Но оставался додекаэдр,
  • которому не было
  • соответствия Платон
  • предположил, что существует
  • ещё одна(пятая) сущность.
  • Он назвал её мировым
  • эфиром. Атомы этой
  • пятой сущности и имели
  • вид додекаэдра.
  • Платон и его ученики в своих работах большое внимание уделяли перечисленным многогранникам. Поэтому эти многогранники называют также платоновыми телами.

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:

  • Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:
  • Г+В-Р=2,
  • где Г-число граней, В-число вершин,
  • Р- число ребер данного многогранника.
  • Грани + Вершины - Рёбра = 2.
  • Теорема Эйлера

Характеристики правильных многогранников

  • Многогранник
  • Число сторон грани
  • Число граней, сходящихся в каждой вершине
  • Число граней
  • (Г)
  • Число ребер
  • (Р)
  • Число вершин
  • (В)
  • Тетраэдр
  • 3
  • 3
  • 4
  • 6
  • 4
  • Гексаэдр
  • 4
  • 3
  • 6
  • 12
  • 8
  • Октаэдр
  • 3
  • 4
  • 8
  • 12
  • 6
  • Икосаэдр
  • 3
  • 5
  • 20
  • 30
  • 12
  • Додекаэдр
  • 5
  • 3
  • 12
  • 30
  • 20

Двойственность правильных многогранников

  • Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют двойственную пару многогранников. Число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот.

Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр.

  • Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр.

Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

  • Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

Сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра.

  • Сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра.
  • Многогранники в природе, химии и биологии
  • Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
  • Кристалл пирита— природная модель додекаэдр.
  • Кристаллы поваренной соли передают форму куб.
  • Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра.
  • Хрусталь (призма)
  • Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
  • В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!
  • В молекуле метана имеет форму правильного тетраэдра.

  • Многогранники в искусстве
  • «Портрет Монны Лизы»
  • Композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
  • гравюра «Меланхолия»
  • На переднем плане картины изображен додекаэдр.
  • «Тайная Вечеря»
  • Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдр.

  • Многогранники в архитектуре
  • Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью трехмерного моделирования.
  • Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса Нерукотворного — главный въезд в Казанский кремль. Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию «Барма». Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду.
  • Спасская башня Кремля.
  • Александрийский маяк
  • Пирамиды
  • Музеи Плодов