Конспект урока "Теорема Пифагора и пифагоровы числа" 8 класс
Муниципальное бюджетное учреждение
дополнительного образования
«Центр детского творчества»
Теорема Пифагора и пифагоровы числа
Разработка учебного занятия по предпрофильной подготовке
учащихся 8-х классов
Автор:
Штернберг Галина Ивановна,
методист,
педагог дополнительного
образования
Киселёвск
2015
Тема занятия: Теорема Пифагора и пифагоровы числа.
Цель: знакомство с различными способами доказательства теоремы Пифагора и
изучение способов нахождения пифагоровых чисел.
Задачи:
1. Познакомить учащихся с некоторыми способами доказательства теоремы
Пифагора.
2. Развивать навыки нахождения пифагоровых чисел.
3. Воспитывать интерес к математике.
Оборудование: доска, мел, компьютер, проектор, экран.
Ход занятия
I. Организационный момент.
Вступительное слово педагога: Математика - это такая удивительная наука, которая при
всей своей искусственности умудряется описывать практически каждый процесс,
происходящий с нами и вокруг нас. При помощи математики можно вывести правила, по
которым происходят обменные процессы в нашем организме, описать сокращение мышц
и многое, многое другое. Математика в профессиях встречается так часто, что даже
примелькалась, и мы порой не замечаем, что очень многие профессии непосредственно
связаны с математикой. Для некоторых профессиях очень важны точность и расчёт. К
профессиям, связанным с математикой, относятся такие как: инженер, архитектор,
конструктор, бухгалтер, экономист, синоптик, аналитик, расчётчик, банкир, повар,
продавец и другие. В современной жизни, когда даже обычный человек всё больше
зависит от применения науки и техники в повседневной деятельности, роль математики
очень важна. Даже самые простые расчеты человек делает бессознательно, не
задумываясь о том, что применяет математику. Поэтому очень важно учить и понимать
математику. Содержание программы предпрофильной подготовки «За страницами
учебника математики» направлено именно на расширение знаний по математике. Сегодня
мы будем повторять знакомый вам материал, но в более углубленном виде. Тему и цель
занятия пока не объявляю, в процессе работы мы сформулируем их.
II. Устная работа.
Педагог. Ребята! Недавно в школе вы изучили теорему, которая, пожалуй, является
самой главной теоремой геометрии. Сейчас мы вспомним название этой теоремы и
повторим её формулировку, но прежде ответим на следующие вопросы:
1. Как называются треугольники, изображённые на рисунках (по виду углов)? (Слайд
№ 2).
а) в) с)
2. Почему треугольник получил название прямоугольный?
3. Как называются стороны прямоугольного треугольника? (Слайд № 3)
4. Длины сторон прямоугольного треугольника связывает некоторая теорема, как она
называется?
5. Сформулируйте её.
Ответы учащихся.
Педагог. Молодцы ребята! Да! Это теорема Пифагора. (Слайд № 4). С помощью этой
теоремы решаются многие геометрические задачи. Её используют в доказательстве
многих теорем в геометрии. Теперь вы уже, наверное, догадались, что тема нашего
занятия связана с теоремой Пифагора, а формулируется она так: «Теорема Пифагора
и пифагоровы числа». Целью нашего занятия является знакомство с различными
способами доказательства теоремы Пифагора и изучение способов нахождения
пифагоровых чисел.
(Слайд № 5).
III. Знакомство с новым материалом.
Педагог. Ребята! А знаете ли вы, что теорема, нося имя знаменитого
древнегреческого философа Пифагора, на самом деле была известна ещё в древнем
Вавилоне, по крайней мере, за 1200 лет до Пифагора? Пифагор только обобщил все
сведения об этой теореме (Слайд № 6 ).
Учащиеся средних веков считали доказательство теоремы Пифагора очень
трудным и очень часто придумывали ей разные названия, то «ослиный мост», то бегство
"убогих", то «ветряная мельница», составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все
стороны равны", и даже рисовали карикатуры (Слайд № 7). В те давние времена
формулировка теоремы звучала иначе: «В прямоугольном треугольнике площадь
квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на
катетах». Существует около 500 различных способов доказательства теоремы. Для
того, чтобы вы лучше усвоили теорему Пифагора, мы рассмотрим некоторые способы
её доказательства.
1.Если взять равнобедренный прямоугольный треугольник, то достаточно просто
посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться
в справедливости теоремы. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 исходных
треугольника, а квадраты, построенные на катетах - по два (Слайд № 8).
1. Доказательства теоремы с помощью модели. Модель состоит из
четырех одинаковых прямоугольных треугольников разного цвета, которые можно
свободно перемещать в большом квадрате (Слайд № 9).
2. Доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах и
укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе (Слайд № 10).
3. Доказательство заключается в равнодополнении двух фигур
равными прямоугольными треугольниками (слайд № 11).
4. На этом способе хотелось бы остановить поподробнее, так как этим способом
доказывается теорема в школьном курсе геометрии, но в данном случае составляется
зрительный образ. Составляем большой квадрат из четырех одинаковых
прямоугольных треугольников так, чтобы в центре тоже получился квадрат. На слайде
видно, что площадь большого квадрата равна (a + b)
2
, а площадь фигуры образованной
четырьмя треугольниками (без внутреннего квадрата), равна площади одного
треугольника умноженного на четыре и равна 2ab. Площадь внутреннего квадрата
равна c
2
.Чтобы запомнить доказательство, нужно представить равенство в виде
зрительных образов, как на слайде (Слайд № 12). Выполняя все преобразования,
получаем равенство а
2
+ b
2
= c
2
, а это и есть теорема Пифагора.
( Слайд № 13).
S = (a+b)
2
S= 4 х ½ ab S= c
2
(a+b)
2
= 2ab + c
2
a
2
+2ab +b
2
= 2ab + c
2
a
2
+
b
2
= c
2
5. Этот способ аналогичен пятому, только сторонами большого квадрата является
гипотенуза данного прямоугольного треугольника, а сторона маленького квадрата равна
(а - b)
(Слайд № 14). Выполнив все действия, мы снова получаем теорему Пифагора (Слайд №
15).
S = c
2
S= 4 х ½ ab S = (a-b)
2
c
2
= 2ab + (a-b)
2
c
2
= 2ab +a
2
– 2ab + b
2
c
2
= a
2
+ b
2
6. Этот способ похож на второй и третий, только здесь доказывается, что внутри
второго большого квадрата лежит тоже квадрат (Слайд № 16).
7. Следующее доказательство основано на подобие треугольников и заключается в
том, что в прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опускается высота на
гипотенузу, которая делит треугольник на два треугольника, подобных данному (Слайд №
17). Составляем пропорции, выполняем преобразования и снова получаем теорему
Пифагора. (Слайд № 18).
8. Используем равенство треугольников. Берём прямоугольный треугольник с
катетами а и b и гипотенузой с. На продолжении катета b строим треугольник равный
данному, только расположенный иначе. Соединяем вершины полученных треугольников.
Получаем новый треугольник, который является также прямоугольным и
равнобедренным с катетами равными с, получаем трапецию. Площадь этой трапеции
можно найти двумя способами: первый – как площадь трапеции, второй – как сумму
площадей трёх треугольников (Слайд № 19).
ТРАПBMDAMBABC
SSSS
, или
2
1
2
1
2
1
2
1
2
abcab
(a+b)(a+b)
Выполняем преобразования, умножив все члены последнего равенства на 2
( Слайд № 20), получим
аb + с
2
+ аb = (а + b)
2
,
2ab + с
2
= а
2
+ 2аb + b
2
, откуда
с
2
= а
2
+ b
2
.
мы опять приходим к теореме Пифагора.
К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства
теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно
свидетельствуют об огромном интересе, проявляемом к теореме Пифагора. Вы можете
при желании найти в Интернете или в других источниках новые способы
доказательства теоремы Пифагора.
Педагог. Попробуем применить полученные знания о теореме Пифагора и решим устно
следующие задачи: (Слайд № 21)
1. Катеты равны 3 и 4. Найдите гипотенузу (ответ 5 ).
2. Катеты равны 3 и
√
7 . Найдите гипотенузу (ответ 4).
3. Гипотенуза равна 10, один из катетов равен 6. Найдите второй катет (ответ 8).
4. Гипотенуза равна 7, один из катетов равен
√
13. Найдите второй катет (ответ 6).
5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен
√
2 . Найдите
гипотенузу (ответ 2).
Педагог. Предлагаю вам шуточную формулировку теоремы Пифагора.
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем. (Слайд № 22)
Педагог. Ребята! А как вы думаете, будет ли прямоугольным треугольник со сторонами
9, 12, 15? Как вы это определили? А теперь попробуйте сделать вывод.
Ответ учащихся.
Педагог. Вы использовали теорему обратную теореме Пифагора. Она
формулируется так: «Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату
третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным». Иными словами, если
выполняется условие х
2
+ у
2
= z
2
, где х,
,
у,
,
z – стороны треугольника, то эти числа
являются сторонами прямоугольного треугольника. Такие числа получили название
пифагоровы тройки или пифагоровы числа. Ребята, проверьте, являются ли числа 3, 4,
5 пифагоровыми.
Ответ учащихся.
Педагог. Треугольник с такими сторонами получил название египетский и
использовался ещё в древности для построения прямых углов, как показано на рисунке
(Слайд № 23). Египетский треугольник является самым первым и самым простейшим
из всех известных треугольников. Теперь попробуем увеличить каждую сторону
египетского треугольника в 2 раза, получим тройку чисел 6, 8, 10 и проверим, будет ли
треугольник с такими сторонами прямоугольным.
Ответ учащихся.
Педагог. Ребята! А как вы думаете, если аналогично увеличить стороны египетского
треугольника в 3 и в 4 раза, то будет ли выполняться условие х
2
+ у
2
= z
2
? Проверьте.
Какой вывод можно сделать?
Ответы учащихся.
Педагог. Оказывается, что если длины сторон треугольника пропорциональны числам
3, 4, 5 т. е. выполняется равенство (3n)
2
+ (4n)
2
= (5n)
2
, то такой треугольник также будет
являться прямоугольным. Давайте выпишем несколько таких троек.
Ответы учащихся.
Педагог. Правильно, ребята! Ими оказались тройки (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25),
(18, 24, 30) и т. д. Треугольники, длины которых равны числам из этих троек, являются
прямоугольными и их можно назвать пифагоровы треугольники.
Педагог: Как вы думаете, можно ли найти все пифагоровы тройки?
Ответ учащихся.
Педагог. А вот как это сделать, мы с вами сейчас рассмотрим. Для этого выпишем
подряд квадраты натуральных чисел и отделим их запятыми. Под каждой запятой
запишем разность между последовательными квадратами.
Работа у доски:
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 ,
3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 21 , 23 , 25 , 27, 29, 31 ,
361 , 400 , 441, 484 , 529, 576 , 625 ….
33, 35, 37, 39, 41 , 43 , 45 47. 49….. (Слайд № 24)
Педагог. А теперь, среди этих чисел, выбираем несколько, рядом стоящих троек,
которые являются квадратами натуральных чисел. Это тройки (9,16, 25), (25, 144,
169), (49, 576, 625), которые являются квадратами троек чисел (3. 4, 5) , ( 5, 12, 13), (7,
24, 25). Проверим, являются ли они пифагоровыми числами? (9 + 16 =25; 25 + 144 =
169; 49+576 = 625.) Но представьте, какой ряд чисел нам надо написать, чтобы найти
хотя бы несколько таких троек. Поэтому был найден более рациональный способ. Для
нахождения других пифагоровых чисел можно пользоваться следующими формулами:
( Слайд № 26)
х = 2 a b.
у = 𝒂
𝟐
− 𝒃
𝟐
,
z
= 𝒂
𝟐
+ 𝒃
𝟐
,
где a и b, натуральные числа, a > b, и эти числа выбираются самостоятельно.
IV . Закрепление изученной темы
Педагог. Попробуем заполнить часть таблицы пифагоровых чисел.
б а
2
3
4
5
1
2
2, 3 и 4 графы таблицы учащиеся заполняют вместе с учеником, работающим у доски.
Пятую графу учащиеся пробуют заполнить самостоятельно (дать 5 – 7 мин).
Отметить тех, кто хорошо и быстро справился с заданием. Показать результат на слайде.
(Слайд № 25).
б а
2
3
4
5
1
3, 4, 5
6, 8, 10
8, 15, 17
10, 24, 26
2
5,12, 13
12, 16, 20
20, 21. 29
3
7, 24, 25
16, 30, 34
4
9, 40, 41
Педагог. Ребята! Эту таблицу можно расширить вправо и вниз и найти множество
пифагоровых чисел. Вы можете использовать её на уроках геометрии при решении задач.
V. Рефлексия.
Педагог. Используя теорему Пифагора, которая формулируется так……. (ответ детей) и
теорему обратную т. Пифагора, которая формулируется следующим образом ….. (ответ
детей), решите устно следующие задачи: (Слайд № 28).
1. Найдите гипотенузу, если катеты равны 3 и 4 .?
2 Найдите катет, если гипотенуза равна 15, а другой катет 9?
3 Будет ли треугольник со сторонами 6,8,10 прямоугольным?
4 Будет ли треугольник со сторонами 5,7,9 прямоугольным?
5 Являются ли числа 9, 12. 15 пифагоровыми?
6 Являются ли числа 4,5,6 пифагоровыми?
3
