Проект "Квадратные уравнения с параметром, их разновидности и способы решения"

Проект по теме:

«Квадратные уравнения с параметром , их разновидности и способы решения»

Автор проекта :Чугунов Артём , 9Б класс

Руководитель проекта: учитель математики высшей квалификационной категории Русанова В.В.

Цели проекта:

• Определение количества корней квадратного уравнения в зависимости от параметра;
• Решение уравнений с параметром.

Задачи проекта:

• Составить алгоритм решения квадратного уравнения в зависимости от параметра;
• Рассмотреть случаи знаков корней квадратного уравнения в зависимости от параметра;
• Составить памятку решения квадратных уравнений .

Гипотеза проекта:

• Алгоритм решение квадратного уравнения с параметром поможет мне решить задачи типа №22 ОГЭ по математике , что позволит успешно сдать экзамен.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ах²+bx+с=0, где а, b, с Є R, а ≠ 0 называется квадратным уравнением. D=b²-4ac – дискриминант квадратного уравнения.

Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней; если D>0, то уравнение имеет два различных корня:

Если D=0, то уравнение имеет один корень.

Решить уравнение с параметром – это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.

• Решить уравнение с параметром – это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.

Решить уравнение с параметром :

Решение квадратных уравнений с параметрами

Схема исследования уравнения

• Если А=0, то В ∙х + с = 0 , х =
• Если А≠0, то находим дискриминант

а) D > 0

б) D < 0, то уравнение не имеет решений

в) D = 0, то уравнение имеет единственное решение

х= -

А, В, С- выражения, зависящие от параметров

Пример 1.

При каких значениях параметра а уравнение

имеет 1 корень (совпадающие корни) ?

Решение.

Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет 1 корень D = 0 .

= 0

Ответ:

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений ?

Решение.

• а = 2, а = -1

При а=2, 3х+1=0, х = - 1/3

при а = -1, , не имеет решений.

2) а 2 , а -1

В данном случае уравнение является квадратным и не имеет решений, если дискриминант меньше нуля

D =

D<0

Теперь с учетом первого случая получаем

Ответ:

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение.

По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому рассмотрим два случая

1)

Если а = -6,то -12х+1=0, х = 1/12.

2) Если а ≠ -6, то квадратное уравнение имеет единственное решение, если D =0

Ответ: при

Пример 4. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение.

1) Если а = 1,то уравнение имеет вид -2х+3=0, х = 3/2.

2) Если а ≠ 1. Найдем дискриминант уравнения

В зависимости от значения Д возможны случаи.

а) нет решений

б)

в)

Ответ: если а=1,то х = 3/2. а=2, то х=2,

а>2, то -нет решений

а<2 и то

1.Корни квадратного трехчлена расположены левее числа А.

2.Корни квадратного трехчлена расположены правее числа А.

3. Число А расположено между корнями квадратного трехчлена.

4. Корни квадратного трехчлена заключены на интервале (А;В)

5. Корни квадратного трехчлена лежат по разные стороны интервала (А;В)

ПЯТЬ БАЗОВЫХ ЗАДАЧ НА РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА:

Корни квадратного трехчлена расположены левее числа А. Корни квадратного трехчлена расположены левее числа А.

.

.

.

.

X1

X2

X1

X2

f (A)

f (A)

.

.

A

A

a > 0

a < 0

a > 0

D > 0

< A

f (A) > 0

a < 0

D > 0

< A

f (A) < 0

Корни квадратного трехчлена расположены правее числа А.

.

.

.

.

X1

X2

X1

X2

f (A)

f (A)

.

.

A

A

a > 0

a < 0

a > 0

D > 0

> A

f (A) > 0

a < 0

D > 0

> A

f (A) < 0

Число А расположено между корнями квадратного трехчлена.

.

.

.

.

X1

X2

X1

X2

f (A)

f (A)

.

.

A

A

a > 0

a < 0

a > 0

D > 0

< A

f (A) < 0

a < 0

D > 0

< A

f (A) > 0

.

.

.

.

X1

X2

X1

X2

f (B)

f (A)

.

.

A

A

a > 0

a < 0

a > 0

f (A) > 0

f (B) > 0

a < 0

f (A) < 0

f (B) < 0

Корни квадратного трехчлена заключены на интервале (А;В)

.

В

.

В

f (A)

f (B)

Корни квадратного трехчлена лежат по разные стороны интервала (А;В)

.

.

.

.

X1

X2

X1

X2

f (A)

f (A)

a > 0

a < 0

a > 0

f (A) < 0

f (B) < 0

a < 0

f (A) > 0

f (B) > 0

.

A

.

В

.

A

.

В

f (B)

f (B)

Теорема Виета

Если корни квадратного уравнения

то

Равенства, которые необходимо знать

Если корни квадратного уравнения

, то

Пример 1.

Найти сумму и произведение корней уравнения

Решение.

1) Проверка: имеет ли уравнение действительные корни?

Уравнение имеет действительные корни.

2) Нахождение суммы и произведения корней уравнения с использованием теоремы Виета.

Пример 2.

При каких значениях параметра а произведение

корней уравнения равно 10 ?

Решение.

1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения.

2) По теореме Виета произведение корней уравнения

равно 10, если

D≥ 0

Решение системы:

Ответ:

Применение теоремы Виета при исследовании знаков корней квадратного трехчлена

Уравнение имеет корни одного знака, если

Уравнение имеет корни разных знаков, если

Уравнение имеет положительные корни, если

Уравнение имеет отрицательные корни, если

Алгоритм решения квадратных уравнений с параметром

• При решении данного вида уравнений необходимо рассмотреть два случая.
• Если в квадратном уравнении главный коэффициент содержит параметр, то обязательно нужно выяснить, при каких значениях параметра главный коэффициент равен нулю. В этом случае квадратное уравнение превращается в линейное, которое имеет один корень.
• Если в квадратном уравнении главный коэффициент не содержит параметра, то количество корней зависит только от значения дискриминанта, а именно: при D<0 квадратное уравнение не имеет действительных корней, при D>0 уравнение имеет два различных действительных корня, при D=0 уравнение имеет единственный корень кратности 2.

Памятка решения квадратного уравнения с параметром

• Найти значения параметра, при котором коэффициент при х² равен нулю ( в этом случае квадратное уравнение обращается в линейное уравнение ).
• Решить уравнение при этих значениях параметра.
• Найти дискриминант уравнения .
• Найти значения параметра, при которых D>0. В этом случае уравнение имеет 2 корня. Найти эти корни.
• Найти значения параметра, при которых D=0. В этом случае уравнение имеет 1 корень. Найти этот корень.
• Найти значения параметра, при которых D<0 . В этом случае уравнение не имеет корней.
• Записать полученный результат в ответ.

Вывод Работая над проектом , я сделал вывод , что решая квадратные уравнения с параметром я подготовился не только к решению задания №22 ОГЭ , но и к решению заданий с параметром ЕГЭ.

Источники:

Алгебра. Углублённый уровень. 8 и 9 классы (Мерзляк А. Г., Поляков В. М.) 

Открытый банк заданий http://ege.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/index.php?proj=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B

Обучающая система Дмитрия Гущина https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=12