Презентация "Неопределённый интеграл и его свойства"

Тема: Неопределённый интеграл и его свойства Разработал: Кравченко Илья Вячеславович Руководитель: Карсакова Е.Н

НефтИн (филиал) ФГБОУ ВО “ЮГУ”

1.1. Первообразная функция ОПР. Функция называется первообразной для функции на данном промежутке (a;b), если для любого x из этого промежутка или

Пример. Первообразной для функции

на всей числовой оси является

так как

Теорема 1.1. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то на этом интервале она имеет первообразную. Теорема 1.1. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то на этом интервале она имеет первообразную. Теорема 1.2. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+C, где C − постоянная. 1.2. Неопределенный интеграл

где – произвольная постоянная.

ОПР. Совокупность всех первообразных

для данной функции

называется ее неопределенным интегралом и обозначается

Знак

называется интегралом, функция

– подынтегральной функцией,

– подынтегральным выражением,

Операция нахождения неопределенного интеграла для данной функции называется интегрированием этой функции.

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования.

– переменной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: 2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: Таким образом, правильность интегрирования проверяется дифференцированием! 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 6. Если то 6. Если то где − произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Данное свойство называется инвариантностью неопределенного интеграла. При вычислении неопределенного интеграла используют формулу: Таблица простейших интегралов Вычисление интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения к табличной форме и использования свойств неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием. Вычисление интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения к табличной форме и использования свойств неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием.

Вспомогательные сведения

Пример 1. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы. 1.3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов Непосредственное интегрирование Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредствен-ным интегрированием. При сведении данного интеграла к табличному часто используется следующее преобразование дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»). При сведении данного интеграла к табличному часто используется следующее преобразование дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»). Например: Примеры Интегрирование заменой переменной

Метод замены переменной (метод подстановки) состоит в преобразовании интеграла в другой интеграл

который вычисляется проще, чем исходный.

Пример Интегрирование по частям Формула где и – дифференцируемые функции, называется формулой интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям целесообразно применять, если более прост в вычислении, чем Некоторые типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям

• Интегралы вида
где − многочлен, m − число. Здесь полагают за обозначают остальные сомножители.

2. Интегралы вида 2. Интегралы вида Здесь полагают за u обозначают остальные сомножители. 3. Интегралы вида где a и b − числа. За u можно принять функцию Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.