Проект "Различные способы решения уравнений" 9 класс

«Различные способы решения уравнений» Выполнил: Калашников Сергей 9 б класса Руководитель: учитель математики Рутчина Лидия Васильевна

Муниципальное бюджетное

общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6»

г. Радужный

ПРОЕКТ по направлению: математика

Тип проекта: Информационный

Актуальность темы: Актуальность темы: В основном государственном экзамене по математике есть задания, связанные с темой «Различные способы решения уравнений». Объект исследования: квадратное уравнение. Предмет исследования различные способы решения квадратных уравнений. Цель работы: Найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений. Провести сравнительный анализ решения квадратных уравнений различными способами. Задачи: Собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений

• Гипотеза: Квадратное уравнение можно решить разными способами.

Геометрический

способ решения

квадратных

уравнений

Решение

квадратных

уравнений

с помощью

номограммы

Решение

квадратных

уравнений

с помощью циркуля

и линейки

Решения

квадратных

уравнений

способом

«переброски»

Графическое

решение

квадратного

уравнения

Решение

уравнений

с использованием

теоремы Виета

Решение

квадратных

уравнений

по формуле

Метод

коэффициентов

Метод

выделения

полного квадрата

Разложение

левой

части уравнения

на множители

Различные

способы

решения

квадратных

уравнений

Разложение квадратного трехчлена на множители

Применим формулу разложение квадратного трехчлена на множители

разложим квадратный трехчлен 3х2 - 5х + 2 на множители:

Применение способа разложение на множители на ОГЭ Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 9 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, или х + 3 = -4 х1 = 1, х2 = -7.

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

Решение неполных квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по формуле Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + c = 0 Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q x1 + x2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы

(по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

Если (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p.

Если р < 0, то оба корня отрицательны.

Если р < 0, то оба корня положительны.

Теорема Виета

Если x1 и x2 – корни квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений по свойствам коэффициентов Специальные методы решения квадратных уравнений Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его корнями. При решении уравнения ах2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) можно пользоваться следующими правилами. Решение квадратных уравнений по свойствам коэффициентов Решение уравнений способом «переброски».

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у = 5, у =6 то х1 = 2,5, х = 3 Ответ: 2,5; 3.

Решение квадратных уравнений «переброской» коэффициента а

Графическое решение квадратного уравнения преобразуем уравнение х2 + px + q = 0 х2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного

уравнения

Прямая и парабола могут

касаться ( только

одна общая

точка), т.е.

уравнение имеет

одно решение

прямая и

парабола не

имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Как древние греки решали уравнение у2 + 6y – 16 = 0. Решение представлено на рисунке, где у2 + 6у = 16,

или у2 + 6 у + 9 = 16 + 9.

Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение

у2 + 6у – 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение.

Откуда и получаем,

что у + 3 = + 5 и у + 3 = – 5,

или у = 2, у2= –8

у2	3у
3у	9

у

у

3

3

Решение уравнений сводящихся к квадратным

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений. Номограмма взята из «Четырѐхзначных математических таблиц» В.М.Брадиса.

Заключение

Умение решать квадратные уравнения разными способами позволяет:

• экономить время, применяя быстрый способ решения;
• решать уравнения с большими коэффициентами;
• наглядно представлять решение уравнения;
• решить любое квадратное уравнение по формуле.
• Все эти способы можно применять, при решении уравнений и неравенств на экзамене ОГЭ

«В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления»

В.П.Ермаков