Организация и управление самостоятельной учебной деятельностью по математике учащихся 9 класса на основе использования дистанционных форм коммуникаци
Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя
общеобразовательная школа №49 г. Орска» имени «60-летия победы
советского народа в Великой отечественной войне 1941 - 1945гг.»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Методика обучения математике, направленная на обеспечение
управления самостоятельной учебной деятельностью учащихся 9 класса
в контексте использования дистанционных форм коммуникации
Составитель:
Абрамова Анастасия Алексеевна,
учитель математики
Орск
2021
Решение проблемы развития самостоятельной учебной деятельности
учащихся при обучении математике в контексте компетентностного подхода
представляется возможным посредством организации практических работ.
Под практической работой понимается познавательная деятельность
учащихся, включающая элементы учебного исследования, и основанная на
выполнении следующих учебных заданий:
- предусматриваемых самостоятельное выявление учащимися новых
знаний и способов деятельности;
- направленных на достижение дидактических целей обучения;
- выполнение которых представляет собой относительно завершенный
исследовательский цикл: наблюдение – гипотеза – проверка гипотезы;
- решаемых конструктивными методами.
Логико-дидактический анализ школьных учебников по математике
показывает, что самостоятельную учебную деятельность посредством
практических работ целесообразно организовывать при:
- выявлении существенных свойств математических понятий и
отношений между ними;
- выявлении зависимостей и закономерностей между математическими
объектами;
- изучении факта, отраженного в формулировке теоремы, в ее
доказательстве;
- обобщении теоремы;
- составлении обратной теоремы и ее доказательстве;
- выявлении частных случаев некоторого факта в математике;
- обобщении и теоретическом обосновании различных прикладных
вопросов;
- классификации математических объектов, отношений между ними,
основных фактов изучаемого раздела;
- решении конструктивных задач различными способами;
- моделировании геометрических фигур и задачных ситуаций;
- составлении новых задач, вытекающих из решения данных;
- применении теоретических знаний к решению практических задач и
т.д.
Основными требованиями, положенными в основу разработки
комплекса заданий для практических работ по математике являются:
- постановка вопроса должна быть такой, чтобы ответ на него
предполагал проведение исследования;
- задания должны предлагать использование различных методов и
способов решения;
- в заданиях должны отсутствовать прямые указания на использование
известных теоретических фактов;
- задания должны обеспечивать формирование компетенций учащихся
в самостоятельной учебной деятельности;
- задания должны обеспечивать организацию полноценной
самостоятельной учебной деятельности учащихся с учетом возрастных и
индивидуальных особенностей учащихся.
Выделяют несколько типов практических заданий, направленных на
развитие самостоятельной учебной деятельности учащихся по математике, и
являющихся основой составленных комплексов заданий.
1. Комплекс заданий, направленных на формирование понятий:
- задания на распознавание;
- задания на подведение под определение понятия;
- задания на классификацию понятий;
- задания на определение свойств.
Процесс выполнения этих заданий способствует:
- усвоению определения понятия, терминологии и символики,
созданию верного соотношения между внутренним содержанием понятия и
его внешним выражением;
- выработке верного представления об объеме понятия;
- осознанному применению понятия в простейших, достаточно
характерных ситуациях;
- включению понятия в различные связи и логические отношения с
другими понятиями;
- формированию умения применять понятия в нестандартной ситуации.
2. Комплекс заданий по математике, направленных на выведение
умозаключений, формулирование и усвоение утверждений:
- задания на нахождение зависимости или закономерности изменения
какой-либо величины;
- задания на формулирование следствий из заданных условий;
- задания на обобщение и конкретизацию;
- задания на нахождение избыточных, недостающих и противоречивых
данных в задаче;
- задания на нахождение закономерности в построении геометрических
фигур;
- задания на исследование изменения формы, размещения, размеров
геометрических фигур.
3. Комплекс заданий по математике, направленных на выдвижение
гипотезы решения:
- задания на нахождение различных методов, способов решения задачи
и выбор более рационального из них;
- задания на составление новых задач;
- задания на нахождение дополнительных элементов, необходимых для
решения задачи;
- экстремальные задания (связанные с понятиями наибольшего,
наименьшего, в том числе с понятием экстремума).
Решая задачи последнего типа, учащиеся видят, с одной стороны,
абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую и
эффективную их применяемость к решению практических задач.
4. Комплекс заданий по математике, активизирующих умственную
деятельность:
- задания на логическое конструирование;
- задания на обнаружение ошибок.
5. Комплекс заданий по математике, направленных на овладение
общим подходом решения конкретных задач:
- задания на выявление общего подхода (алгоритма) решения задач;
- задания на овладение действиями, являющимися компонентами
общего подхода решения задач.
6. Комплекс заданий по геометрии, выполняемых с помощью
компьютера:
- задания на исследование преобразований плоскости;
- задания, расширяющие навыки построения фигур;
- задания, «визуализирующие» теоремы геометрии, прикладные
вопросы;
- задания по готовым чертежам;
- проведение компьютерного эксперимента;
- задания по моделям геометрических фигур, их разверткам.
Использование компьютерных технологий при выполнении
практических работ по геометрии в большей степени способствует
формированию у школьников геометрической интуиции, конструктивных
умений, пространственных представлений.
7. Комплекс заданий по геометрии, выполняемых с помощью
тактильных действий.
В этот комплекс включают задания, условия которых задаются
конкретными техническими деталями, различными предметами или
специально для этого изготовленными моделями, чертежами и т.п., для
выработки у учащихся умений и навыков применения полученных
математических знаний в практических ситуациях.
Выполнение заданий данного типа предполагает:
- деятельность учащихся, представленную предметными операциями
(измерения, вычисления, разрезание, разделение, раскраска, склеивание,
построение чертежа, технические умения учащихся);
- использование в процессе решения органов чувств и особенно
двигательного аппарата рук;
- наличие раздаточного материала (шаблоны, модели, развертки
геометрических тел), измерительных приборов, чертежных инструментов,
лабораторного оборудования;
- вычислительную обработку результатов измерений с помощью
необходимых формул и сравнение результатов измерений и вычислений;
- применение таблиц, справочной литературы, включая учебники,
специальные описания или инструкции.
При составлении комплекса заданий для самостоятельного выполнения
необходимо учитывать следующие особенности:
- задания должны иметь точные указания по их выполнению;
- комплекс заданий должен соответствовать учебным возможностям
учащихся;
- степень сложности заданий должна удовлетворять принципу
постепенного перехода с одного уровня самостоятельности на другой;
- сведение к минимуму шаблонности выполнения заданий;
- задания должны строиться на основе дифференцированного подхода к
учащимся;
- содержание работы, форма ее выполнения должны вызывать интерес
у
учащихся.
Представленные комплексы предполагают самостоятельное
выполнение заданий учащимися в условиях дистанционной коммуникации с
учителем. Учащиеся получают документ с заданиями в формате Microsoft
Word и выполняют их, при необходимости консультируясь с учителем.
Результаты выполненных заданий могут быть оформлены как в электронном,
так и в рукописном варианте. После окончания срока выполнения работы
учащиеся отправляют документ с выполненными заданиями учителю.
Результаты проделанной работы обсуждаются на общей конференции
учителя с учащимися.
Комплекс заданий по алгебре, направленных на формирование
понятий арифметической и геометрической прогрессий (КЗ1)
Цель: Изучить понятия арифметической и геометрической прогрессий
и их характеристические свойства.
Задание на подведение под определение понятия:
1. Заполните таблицу 1:
Таблица 1 – Задание 1 на подведение под определение арифметической
прогрессии из КЗ1
№
Примеры числовых
последовательностей
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1; 4; 7; 10;…
2
30,5; 25; 19,5; 14;…
3
; …
4
По какому принципу образованы данные в таблице числовые
последовательности?________________________________________________
_________.
Такие последовательности называются арифметическими
прогрессиями и обозначаются:
.
Попробуйте сформулировать определение арифметической прогрессии:
________________________________________________________________.
Найдите в учебнике определение арифметической прогрессии и
сравните его с данным Вами определением.
Как называется число
d?__________________________________________.
Запишите рекуррентное задание арифметической прогрессии:
__________________________________________________________________
__.
Задание на распознавание:
2. Определите, какие из данных числовых последовательностей
являются арифметическими прогрессиями:
а) 15,3; 14; 12,7; 11,4;…; д)
;
б) 11; 11; 11; 11;…; е)
;
в)
ж)
;
г)
; з)
Задания на определение свойств:
3. Занесите выбранные Вами в предыдущем задании числовые
последовательности в таблицу 2и заполните её:
Таблица 2 – Задание 3 на определение свойств монотонности
арифметической прогрессии из КЗ1
№
Арифметическая
прогрессия
Рекуррентное задание
прогрессии
(если не
задано)
Значение
разности
прогрессии
d
Прогрессия является
возрастающей ()
последовательностью
или убывающей ()
1
2
3
4
5
1
2
…
Существует ли закономерность между значением разности прогрессии
и монотонностью числовой последовательности? Если да, то какая?
__________________________________________________________________
_.
4. Заполните таблицу 3:
Таблица 3 – Задание 4 на определение характеристического свойства
арифметической прогрессии из КЗ1
№
Арифметическая
прогрессия
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
Существует ли связь между членом прогрессии и средним
арифметическим предшествующего и последующего членов? Если да, то
какая?
__________________________________________________________________
_.
Найдите в учебнике характеристическое свойство арифметической
прогрессии и сравните с ним свой вывод.
Запишите формулу характеристического свойства арифметической
прогрессии:________________________________________________________
_____.
Творческое задание:
5. Придумайте свой пример арифметической прогрессии. Докажите,
что данная числовая последовательность является арифметической
прогрессией с помощью характеристического свойства. Запишите её
рекуррентное задание. Укажите разность арифметической
прогрессии:___________________________.
Задание на подведение под определение понятия:
6. Заполните таблицу 4:
Таблица 4 – Задание 6 на подведение под определение геометрической
прогрессии из КЗ1
№
Примеры числовых
последовательностей
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2; 4; 8; 16;…
2
1,2; - 3,6; 10,8; -32,4;…
3
…
4
По какому принципу образованы данные в таблице числовые
последовательности?________________________________________________
_________.
Такие последовательности называются геометрическими прогрессиями
и обозначаются:
.
Попробуйте сформулировать определение геометрической прогрессии:
________________________________________________________________.
Найдите в учебнике определение геометрической прогрессии и
сравните его с данным Вами определением.
Как называется число
q?__________________________________________.
Запишите рекуррентное задание геометрической прогрессии:
__________________________________________________________________
__.
Задание на распознавание:
7. Определите, какие из данных числовых последовательностей
являются геометрическими прогрессиями:
а) 0,8; 0,8; 0,8; 0,8;…; ж)
…;
б)
;…; з) ;
в)
и) 80; 20; 5;
;…;
г) 50; 25; 12,5; 6,25;…; к)
…;
д)
; л)
;….
Задания на определение свойств:
8. Занесите выбранные Вами в предыдущем задании числовые
последовательности в таблицу 5 и заполните её:
Таблица 5 – Задание 8 на определение свойств монотонности
геометрической прогрессии из КЗ1
№
Геометрическая
прогрессия
Рекуррентное
задание
прогрессии
Значение
знаменателя
прогрессии
q
Прогрессия является
возрастающей ()
последовательностью или
убывающей ()
1
2
3
4
5
1
2
…
Существует ли закономерность между значением знаменателя
прогрессии и монотонностью числовой последовательности? Если да, то
какая?
__________________________________________________________________
_.
9. Заполните таблицу 6:
Таблица 6 – Задание 9 на определение характеристического свойства
геометрической прогрессии из КЗ1
№
Геометрическая
прогрессия
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1; 2; 4; 8; 16;…
2
3
Существует ли связь между квадратом члена прогрессии и
произведением предшествующего и последующего членов? Если да, то
какая?
__________________________________________________________________
_.
Найдите в учебнике характеристическое свойство геометрической
прогрессии и сравните с ним свой вывод.
Запишите формулу характеристического свойства геометрической
прогрессии:________________________________________________________
_____.
Творческое задание:
10. Придумайте свой пример геометрической прогрессии. Докажите,
что данная числовая последовательность является геометрической
прогрессией с помощью характеристического свойства. Запишите её
рекуррентное задание. Укажите знаменатель геометрической
прогрессии:________________________.
Задания на усвоение понятий:
I уровень:
11. Вставьте пропущенные слова в формулировку определения
арифметической прогрессии:
Арифметическая прогрессия – это ___________, каждый член которой,
начиная с (со)__________ получается из ____________ путем _____________
его ____________ число(ом).
12. Среди предлагаемых формул выберите те, которые характеризуют
а) геометрическую прогрессию; б) арифметическую прогрессию:
1)
; 3)
;
2)
; 4)
.
Ответ: а)_____; б)______.
13.Среди некоторых последовательностей, заданных рекуррентно,
найдите арифметические и геометрические прогрессии; укажите разность
арифметической прогрессии и знаменатель геометрической прогрессии:
а)
; в)
;
б)
; г)
.
14. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел
3 и 12.
15. Проверьте, обладают ли члены следующих числовых
последовательностей характеристическими свойствами арифметической и
геометрической прогрессий:
а)
2
1
, 1 , 2, 4, …
б) 3, 13, 23, 33, …
в) 3, 30, 300, 3000, …
II уровень:
16. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
17. Найдите пятый и шестой члены прогрессий:
а) 2,4; 3; 3,6; 4,2; …
б) 48; 72; 108; 162; …
18. Зная разность d и пятый член арифметической прогрессии, найдите
первые семь членов этой прогрессии:
.
19. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если
известны ее знаменатель и третий член:
III уровень:
20. Докажите с помощью характеристического свойства, что
последовательность является
а) арифметической прогрессией:
;
б) геометрической прогрессией:
.
21. Дана конечная арифметическая прогрессия
.
Является ли арифметической прогрессией последовательность
а)
;
б)
.
В случае утвердительного ответа укажите ее разность.
22. Величины углов выпуклого четырехугольника образуют
а) арифметическую прогрессию с разностью 42º;
б) геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2.
Найдите углы этого четырехугольника.
Комплекс заданий по алгебре на овладение общим подходом решения
комбинаторных задач (КЗ2)
Цель: выявить алгоритм решения комбинаторных задач и отработать
навыки его применения к решению задач.
Задания на овладение действиями, являющимися компонентами
общего подхода решения задач:
1. Запишите формулы основных типов комбинаций в комбинаторике
(при возникновении затруднений воспользуйтесь учебником):
Перестановки:_________________________________________________
_;
Сочетания:____________________________________________________
_;
Размещения:__________________________________________________
__.
2. Вычислите:
а)
; г)
б)
; д)
в)
е)
.
3. Для каждой из предложенных задач определите:
а) n и k, где n –количество элементов множества из которого делается
выборка, k – количество элементов выборки;
б) важен ли порядок расположения элементов в выборке (ответ
обоснуйте).
1) В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и
его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
а) n = ____; k = ____; б) порядок ____________, т.к.
_________.
2) Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей
на 6 стульях?
3) В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика,
русский язык, литература и история. Сколько различных способов
составления расписания на понедельник существует?
4) Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы.
Сколько всего партий было сыграно?
5) Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при
помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
6) Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи
цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются)
7) Сколько вариантов экзаменационных билетов из двух вопросов
можно создать, имея список из 20 вопросов?
8) У лесника 3 собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил
пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары
собак.
Задания на выявление общего подхода (алгоритма) решения задач:
4. Дайте определения основным типам комбинаций в комбинаторике
(при возникновении затруднений воспользуйтесь учебником):
Перестановки –
это______________________________________________;
Сочетания –
это_________________________________________________;
Размещения –
это________________________________________________.
5. Опираясь на определения заполните таблицу 7:
Таблица 7 – Задание 5 на выявление общего подхода решения
комбинаторных задач из КЗ2
Название
Количество элементов
Важность порядка
Формула
комбинации
из множества n,
входящих в
комбинацию
расположения
элементов в
комбинации
1
2
3
4
Дано: n
Выбираем: k (k<n)
Порядок не имеет
значения
Исходя из данных таблицы определите, по каким признакам можно
классифицировать типы
комбинаций:____________________________________.
6. Опираясь на выявленные признаки составьте схему, отражающую
алгоритм решения комбинаторных задач формульным методом (с помощью
формул). Примерная структура схемы представлена на рисунке 1:
Определить количество элементов n множества, из которого
выбирается k элементов (k n)
………………………………………………?
Да Нет
……………………………..?
…………
Да Нет
……….…. …………...
Рисунок 1 – Примерная структура схемы общего подхода решения
комбинаторных задач к заданию 6 из КЗ2
Задания на усвоение общего подхода решения задач:
I уровень:
7. Рассмотрите пример решения задачи:
Пример. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать
председателя, его заместителя и казначея. Сколькими способами это можно
сделать?
Решение:
1) Нам необходимо выбрать трех человек из девяти, значит: n=9, k=3.
2) Важно ли кто из выбранных людей займет место председателя? его
заместителя? казначея? Да. Значит, речь идет или о перестановке или о
размещении.
3) Выбираем ли мы все элементы n из множества? Нет. Значит, наша
выборка – размещение и количество таких выборок:
Ответ: 504 способа.
8. Самостоятельно решите предложенные задачи по аналогии с
примером:
1) Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить
из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.
2) Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5,7,8,но
забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число
вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруги.
3) В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух
солистов. Сколькими способами это можно сделать?
4) На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными
способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?
5) Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов
овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?
6) Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть
между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?
II уровень:
7) При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего
было рукопожатий, если встретились 6 друзей?
8) В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно
рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в
различных вагонах?
9) Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из
которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли
рядом?
III уровень:
10) Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4,
5, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).
11) Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4
женщинами, по другой – 6 мужчинам, по третьей – 3 работникам независимо
от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если
имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Комплекс заданий по геометрии, направленных на формулирование и
усвоение утверждений по теме «Длина окружности и площадь круга» (КЗ3)
Цель: вывести формулы длины окружности, длины дуги окружности,
площади круга и площади кругового сектора.
Задание на нахождение закономерности изменения величины:
1. Проведите эксперимент « Нахождение длины окружности с
помощью нити».
Цель эксперимента: Найти отношение длины окружности к ее
диаметру.
Оборудование: 5-6 предметов с круглым основанием (ваза, стаканы,
чашки разных размеров и т.п.; нить; листы бумаги; ножницы; карандаш;
линейка; калькулятор.
Ход работы:
1) Возьмите один из подготовленных Вами предметов, например, вазу
и нить. Охватите с помощью нити круглое основание предмета (горлышко
или дно вазы). Длина нити, получившейся в результате одного охвата, и
будет являться длиной окружности, находящейся в основании предмета.
Ножницами отрежьте получившийся кусочек нити и измерьте его с помощью
линейки. Результаты измерения занесите в столбец 2 таблицы 1.
2) Повторите опыт, используя другие предметы. Результаты измерений
занесите в столбец 2 таблицы 1.
3) Теперь возьмите один из предметов, поставьте его на лист бумаги
круглым основанием вниз и обведите карандашом. Вырежьте бумажный круг
и согните пополам. Ребро получившегося полукруга будет являться
диаметром окружности. С помощью линейки измерьте длину диаметра.
Результаты измерения занесите в столбец 3 таблицы 1.
4) Повторите опыт, используя другие предметы. Результаты измерений
занесите в столбец 3 таблицы 1.
5) Вычислите с помощью калькулятора отношение длины окружности
(столбец 2) к диаметру (столбец 3). Результаты вычислений занесите в
столбец 4 таблицы 8.
Таблица 8 – Результаты измерений и вычислений из задания 1 на
нахождение закономерности изменения величины КЗ3
№ измерения
Длина окружности
(длина нити) C,
см
Длина диаметра
окружности D,
см
Отношение длины
окружности к
диаметру
1
2
3
4
1
2
…
6) Сравните значения, получившиеся в столбце 4. Найдите среднее
арифметическое этих значений.
7) Сделайте вывод по проведенному
эксперименту:___________________.
В результате проведенного эксперимента Вы, скорее всего, заметили,
что отношения длин разных окружностей к их диаметрам приближены к
одному и тому же числу. А именно, к числу приблизительно равному 3,
14159. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»). Итак,
отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для
всех окружностей.
Задания на формулирование следствий из заданных условий:
2. Заполните пропуски:
где
C – это …;
D – это …;
R – это ….
3. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 2), заполнив
пропуски:
Рисунок 2 – Чертеж к заданию 3 на формулирование следствий из
заданных условий из КЗ3
Решение:
.
Задание на обобщение:
4. На основе задачи из задания 2 выведите общую формулу длины дуги
окружности l градусной меры α.
Сверьте полученную Вами формулу с формулой длины дуги
окружности из учебника.
Задание на формулирование следствий из заданных условий:
5. Выведите формулу площади круга, заполнив пропуски:
Дано:
правильный n–угольник;
окружность,
описанная около
.
Найти: S – площадь круга, ограниченного .
Решение:
1) Разобьем
на равных треугольников (рисунок 3):
Рисунок 3 – Чертеж 1 к заданию 5 на формулирование следствий из
заданных условий из КЗ3
Пусть
=
2) Пусть (n стремится к бесконечности), т. е. число сторон
многоугольника неограниченно увеличивается (рисунок 4):
Рисунок 4 – Чертеж 2 к заданию 5 на формулирование следствий из
заданных условий из КЗ3
Тогда
.
Сверьте полученную Вами формулу с формулой площади круга из
учебника.
Задание на конкретизацию:
6. Выведите формулу площади кругового сектора, ограниченного дугой
градусной меры α (по аналогии с выводом формулы длины дуги
окружности).
Сверьте полученную Вами формулу с формулой площади кругового
сектора из учебника.
Задание на нахождение закономерности или зависимости изменения
какой-либо величины:
7. Определите изменится ли конкретная величина при заданных
условиях. Ели да, то как?
Если радиус окружности:
а) увеличить в 4 раза, то длина окружности _______________, площадь
круга________________;
б) уменьшить в 3 раза, то длина окружности _______________,
площадь круга________________;
в) увеличить в раз, то длина окружности _______________, площадь
круга________________;
г) уменьшить в раз, то длина окружности _______________, площадь
круга________________.
Если длину окружности:
а) увеличить в раз, то радиус окружности _______________, площадь
круга _______________;
б) уменьшить в раз, то радиус окружности _______________,
площадь круга _______________.
Если градусную меру дуги окружности:
а) увеличить в раза, то длина дуги окружности ______________,
площадь круга _______________, площадь кругового
сектора_______________;
б) уменьшить в раз, то длина дуги окружности ______________,
площадь круга _______________, площадь кругового
сектора_______________.
Задания на усвоение утверждений:
I уровень
8. Заполните таблицу 9, пользуясь значением :
Таблица 9 – Задание 8 на усвоение утверждений из КЗ3
4
3
0,7
54,3
101,5
82
18π
6,28
9
49π
6,25
9. Овца привязана цепью длиной 9,6 м. Какая площадь доступна ей?
10. Выразите из формулы длины окружности π («пи»).
11. Найдите длину окружности, если диаметр окружности равен 0,72.
12. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная
мера равна 180°. Чему равна площадь кругового сектора, ограниченного этой
дугой?
13. Вычислите длину дуги окружности, если её определяет
центральный угол, равный 45°, а радиус окружности равен 2 см. Чему равна
площадь кругового сектора, ограниченного этой дугой?
II уровень
14. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 5):
Рисунок 5 – Чертеж к заданию 14 на усвоение утверждений из КЗ3
OKL = 30°, KL =
м.
Найдите длину окружности.
15. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 6):
Рисунок 6 – Чертеж к заданию 15 на усвоение утверждений из КЗ3
ΔABC — равносторонний, DO =
дм.
Вычислите площадь круга.
16. Около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 м и
12 м, описан круг. Вычислите длину окружности и площадь круга.
17. Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 6 см. В
треугольник вписан круг. Вычислите площадь вписанного круга.
III уровень
18. Решите задачу по готовому чертежу (рисунок 7):
Рисунок 7 – Чертеж к заданию 18 на усвоение утверждений из КЗ3
Вычислите площадь сектора, площадь треугольника EOF и площадь
сегмента, если радиус круга равен 9 см и центральный угол равен 150°.
19. Вычислите площадь вписанного в ромб круга, если сторона ромба
равна 11 м, а площадь ромба равна 99
.
20. В круге проведена хорда AB = 8 м, которая находится на
расстоянии 3 м от центра круга. Найдите площадь круга.
21. ABCD — квадрат, BC= 20 см, на сторонах квадрата AB и AD
построены полукруги (рисунок 8). Вычислите площадь полученной фигуры.
Рисунок 8 – Иллюстрация к заданию 21 на усвоение утверждений из
КЗ3
Комплекс заданий по геометрии, направленных на формирование
понятий, относящихся к разделу «Начальные сведения из стереометрии»
(КЗ4)
Цель: изучить основные понятия стереометрии.
1. Посмотрите видеоролики, перейдя по ссылкам:
Предмет стереометрии. Многогранники
(https://www.youtube.com/watch?v=oq4AP54mOyI&list=PLHYZenZg0FRlb8bH
nEwHuosjBkBjtLtb5&index=56);
Объекты в стереометрии. Изображение пространственных объектов
(https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/effektivnye-kursy/ob-ekty-v-
stereometrii-chast-1-izobrazhenie-prostranstvennyh-ob-ektov-bazovyy-uroven).
2. Из предложенных утверждений выберите те, которые относятся к
стереометрии:
а) изучает формы, размеры и взаимное расположение фигур;
б) основными фигурами являются, точка, прямая и плоскость;
в) изучает свойства круга, параллелограмма;
г) изучает свойства геометрических фигур на плоскости;
д) вычисляет площади и объемы;
е) основными фигурами является точка и прямая;
ж) рассматривает геометрические тела;
з) вычисляет площади;
и) изучает свойства куба, шара, цилиндра;
Ответ:____________.
Дайте определение
стереометрии:__________________________________.
3. Из предложенного списка выберите верное утверждение о
поверхности геометрического тела:
а) является верхней границей тела;
б) является границей (оболочкой) тела, отделяющей его от остального
пространства;
г) является замкнутой областью пространства.
Ответ:____________.
4. Исправьте ошибки на чертеже (рисунок 9):
Рисунок 9 – Задание 4 на исправление ошибок на чертеже из КЗ4
5. Укажите верные высказывания об изображении пространственных
объектов на плоскости:
1) параллельные отрезки изображаются на чертежах параллельными
отрезками;
2) перпендикулярные отрезки изображаются на чертежах
перпендикулярными отрезками;
3) прямоугольные треугольники на чертежах изображаются
произвольными треугольниками;
4) невидимые части геометрического тела изображаются штриховой
линией;
5) параллельность на чертежах не сохраняется;
6) прямоугольные треугольники на чертежах изображаются
прямоугольными треугольниками;
7) трапеция изображается произвольной трапецией, с сохранением
параллельности оснований;
8) квадрат на чертеже изображается произвольным прямоугольником;
9) окружность на чертеже изображается эллипсом;
10) противоположные стороны прямоугольника изображаются
параллельными равными отрезками;
11) квадрат на чертеже изображается параллелограммом.
Ответ:____________.
6. Назовите сечения куба
и пирамиды
(рисунок 10):
Рисунок 10 – Иллюстрация к заданию 6 на распознавание сечений
многогранников из КЗ4
Ответ:___________________.
7. Определите, какие из представленных геометрический тел являются
многогранниками (рисунок 11):
Рисунок 11 – Иллюстрация к заданию 7 на распознавание
многогранников из КЗ4
Ответ:______________.
Какие фигуры составляют поверхности выбранных Вами
многогранников?___________________________________________________
_____________.
Дайте определение
многогранника:________________________________.
8. Определите, какие из представленных многогранников являются
выпуклыми, а какие невыпуклыми (рисунок 12):
Рисунок 12 – Иллюстрация к заданию 8 на распознавание выпуклых и
невыпуклых многогранников из КЗ4
Ответ:______________.
Чем выпуклый многогранник отличается от
невыпуклого?_____________.
9. Определите грани, ребра и вершины многогранников, изображенных
на рисунке 13. Проведите диагонали многогранников и назовите их.
Рисунок 13 – Иллюстрация к заданию 9 на определение элементов
многогранников из КЗ4
Заполните пропуски:
… и … – грани многогранника
;
……… ребра;
……… вершины;
………. – диагонали;
… … – грани многогранника ;
……… – ребра;
……… вершины.
Дайте определение диагонали
многогранника:_______________________.
10. Посмотрите видеоролики, перейдя по ссылкам:
Призма (https://www.youtube.com/watch?v=WJ71Vrs1U-M);
Наклонная призма (https://www.youtube.com/watch?v=5xEzfonG5Dw).
11. Из предложенного списка выберите верные утверждения:
а) примером параллельных плоскостей служат пол и потолок комнаты;
б) прямые, лежащие в параллельных плоскостях, являются
параллельными;
в) прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна
другой прямой, лежащей в этой плоскости;
г) параллельные плоскости не имеют общих точек;
д) прямая, проходящая через плоскость, и перпендикулярная хотя бы
одной прямой из этой плоскости, перпендикулярна всей плоскости;
е) любые две стены комнаты являются параллельными плоскостями;
ж) прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна ей, если она
перпендикулярна каждой прямой, лежащей в данной плоскости;
з) параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Ответ:_____________.
12. Определите, какие из представленных на рисунке 14
многогранников являются призмами.
Рисунок 14 – Иллюстрация к заданию 12 на распознавание призмы из
КЗ4
Ответ:_______________.
Обоснуйте свой выбор. В чем схожесть выбранных Вами
многогранников?
________________________________________________________________.
13. Из перечисленных определений, выберите верное определение
призмы:
а) Многогранник, две грани которого, называемые основаниями, лежат
в параллельных плоскостях, а остальные грани являются
четырехугольниками, называется призмой;
б) Многогранник, две грани которого, называемые основаниями,
являются равными многоугольниками, а остальные грани –
четырехугольниками, называется призмой;
в) Многогранник, две грани которого, называемые основаниями,
являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных
плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, называется призмой.
Ответ:__________.
Сравните выбранное Вами определение с определением угольной
призмы, данным в учебнике. Проверьте, все ли выбранные Вами в задании 12
многогранники являются призмами.
14. Определите, на какие классы можно разбить данные призмы
(рисунок 15):
Рисунок 15 – Иллюстрация к заданию 14 на классификацию призм из
КЗ4
Ответ:________________________________________________________
_.
Заполните схему «Классификация призм» (рисунок 16):
Рисунок 16 – Схема «Классификация призм» к заданию 14 из КЗ4
15. Определите по рисунку 17 основания призм, боковые грани и
какими многоугольниками они являются, боковые ребра и высоты.
Рисунок 17 – Иллюстрация к заданию 15 на определение элементов
призмы из КЗ4
Заполните пропуски:
… и … – основания призмы
, являющиеся …;
……… – боковые грани, являющиеся …;
……… боковые ребра;
……… высота;
… и … – основания призмы
, являющиеся …;
……… – боковые грани, являющиеся …;
……… боковые ребра;
……… высота.
16. Посмотрите видеоролик, перейдя по ссылке
Параллелепипед (https://www.youtube.com/watch?v=A5fqM2eJdaw).
17. Среди представленных на рисунке 18 многогранников определите
параллелепипеды.
Рисунок 18 – Иллюстрация к заданию 17 на распознавание
параллелепипеда из КЗ4
Ответ:_______________.
В чем отличие выбранных Вами многогранников от других
многогранников, изображенных на рисунке?
________________________________________.
Определите, изображены ли на рисунке прямоугольные
параллелепипеды. Если да, то
какие?_________________________________________________.
18. Определите какие из фигур, представленных на рисунке 19,
являются развертками прямоугольного параллелепипеда.
Рисунок 19 – Иллюстрация к заданию 18 из КЗ4
19. Выберите из представленного списка верные утверждения:
1) Любая четырехугольная призма является параллелепипедом;
2) Любой прямой параллелепипед является прямоугольным;
3) Любой прямоугольный параллелепипед является прямым;
4) Любой параллелепипед является четырехугольной призмой;
5) Боковыми гранями прямого параллелепипеда являются
прямоугольники;
6) Любой параллелепипед, все ребра которого равны между собой,
является кубом;
7) В основании любого прямого параллелепипеда лежит
прямоугольник;
8) В основании параллелепипеда лежит параллелограмм;
9) Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит только из
прямоугольников.
Ответ:_______________.
20. Посмотрите видеоролик, перейдя по ссылке:
Пирамида (https://www.youtube.com/watch?v=ifmSOcRJW28).
21. Определите, какие из геометрических тел, изображенных на
рисунке 20 являются пирамидами.
Рисунок 20 – Иллюстрация к заданию 21 на распознавание пирамиды
из КЗ4
Ответ:_____________.
Изображены ли на рисунке тетраэдры? Если да, то назовите
их:________.
20. Определите элементы пирамид, изображенных на рисунке 21,
заполнив пропуски.
Рисунок 21 – Иллюстрация к заданию 20 на определение элементов
пирамиды из КЗ4
… основание пирамиды , являющееся …;
… боковые грани, являющиеся …;
… вершина;
… боковые ребра;
… высота;
… пирамида;
…;
… основание пирамиды , являющееся …;
… боковые грани, являющиеся …;
… вершина;
… боковые ребра;
… .
21. Из предложенного списка выберите верные утверждения:
1) Многогранник, составленный из угольника и -треугольников,
имеющих общую вершину, является пирамидой;
2) В основании тетраэдра лежит параллелограмм;
3) Боковыми гранями любой пирамиды являются треугольники;
4) Боковые грани правильной пирамиды являются равносторонними
треугольниками;
5) Если отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром
основания, является ее высотой, то пирамида является правильной;
6) Поверхность тетраэдра состоит из четырех треугольников;
7) Поверхность правильной -угольной пирамиды составляют
правильный -угольник и равнобедренных треугольников;
8) Пирамида является правильной, если в ее основании лежит
правильный многоугольник;
9) Основанием правильной пирамиды является правильный
многоугольник, а отрезок, соединяющий центр основания с вершиной
пирамиды является ее высотой.
Ответ:_____________.
22. Посмотрите видеоролик, перейдя по ссылке:
Тела вращения
(https://www.youtube.com/watch?v=IWD3VGC2rdU&list=PLHYZenZg0FRlb8b
HnEwHuosjBkBjtLtb5&index=57)
23. Приведите примеры объектов, встречающихся в окружающем
мире, которые имеют форму а) цилиндра; б) конуса; в) шара. Определите в
результате вращения каких планиметрических фигур образуются эти тела.
Заполните таблицу 10.
Таблица 10 – Задание 22 из КЗ4
Тело вращения, его
изображение
Образуется в результате
вращения…
Объекты, имеющие
похожую форму
1
2
3
24. Определите какие из фигур, представленных на рисунке 22,
являются развертками а) конуса, б) цилиндра.
Рисунок 22 – Иллюстрация к заданию 24 из КЗ4
25. На рисунке 23 подпишите обозначенные элементы цилиндра,
конуса и шара.
Рисунок 23 – Иллюстрация к заданию 25 на определение элементов тел
вращения из КЗ4
26. Из представленного списка выберите верные утверждения:
1) Поверхность, образованная вращением прямоугольника вокруг
одной из его сторон, называется цилиндрической поверхностью;
2) Сечением конуса может быть только треугольник;
3) Шар имеет бесконечное множество образующих;
4) Сфера является границей шара;
5) Сечением шара может быть как круг, так и эллипс;
6) Гипотенуза прямоугольного треугольника, вращающегося вокруг
своего катета, образует коническую поверхность;
7) Сечением цилиндра могут быть только круг и прямоугольник;
8) Полуокружность, вращающаяся вокруг своего диаметра, образует
сферическую поверхность.
Виртуальная практическая работа (ВПР) по теме «Движения»
Цель: исследовать преобразования плоскости.
Данная практическая работа выполняется в УМК «Живая математика»
(ссылка для скачивания: https://infourok.ru/ustanovochniy-fayl-umk-zhivaya-
matematika-2696972.html)
Задание на исследование преобразований плоскости:
Выполните задания из таблицы 11 , соответствующие вашему варианту
согласно списку класса (если Ваша фамилия тринадцатая в списке, то
выполните задания первого варианта и т. д.).
Даны координаты точек:
Таблица 11 – Варианты заданий к ВПР «Движения»
№
варианта
Постройте
фигуру в
ПДСК
Постройте изображение этой фигуры при…
центральной
симметрии
относительно
…
осевой
симметрии
относительно
…
параллельном
переносе на
вектор …
повороте
вокруг точки
… на угол …
1
2
3
4
5
6
1
ABCD
т. G
прямой LE
LE
т. L, 60
о
ABCE
т. L
прямой NG
FL
т. G, 40
о
2
ABEL
т. N
прямой KN
NP
т. R, 110
о
AEFL
т. K
прямой MN
GN
т. S, 80
о
3
GSTR
т. N
прямой LA
NL
т. B, -60
о
GABS
т. L
прямой PD
NM
т. R, 120
о
4
ABGN
т. L
прямой MD
CD
т. P, 30
о
MLNP
т. R
прямой AG
FE
т. A, 45
о
5
ALNG
т. N
прямой MR
BD
т. F, 50
о
EKML
т. G
прямой NA
PN
т. D, 55
о
6
MNRP
т. A
прямой LA
KF
т. L, 120
о
PNRT
т. A
прямой FS
ML
т. M, 140
о
7
ACBG
т. N
прямой SL
RN
т. N, 40
о
AGRS
т. N
прямой PL
TN
т. N, 60
о
8
KMPL
т. G
прямой GD
NG
т. А, -50
о
DLFE
т. А
прямой ВN
MP
т. D, 70
о
9
KFEL
т. А
прямой EВ
DС
т. В, 65
о
ABGL
т. R
прямой KS
RN
т. N, 80
о
10
NTRS
т. L
прямой KА
ML
т. M, 90
о
AKNG
т. R
прямой RВ
SВ
т. R, - 45
о
11
BDEL
т. G
прямой KN
GN
т. N, 65
о
AEKL
т. G
прямой MN
DВ
т. В, 85
о
12
ADEL
т. N
прямой MR
NP
т. В, 100
о
ABRS
т. L
прямой PE
GL
т. K, 75
о
Инструкция:
1) Перейдите по ссылке и скачайте приложение УМК «Живая
математика».
2) Откройте приложение и нажмите левой кнопкой мыши на
«Открыть программу «Живая математика»».
3) В появившемся окне нажмите на кнопку «Графики», затем –
«Задать систему координат».
4) Чтобы отметить точку, выберите кнопку «Точка» в панели
управления слева и левой кнопкой мыши отметьте нужную точку на чертеже.
5) Чтобы «назвать» точку, нажмите на нее правой кнопкой мыши и
выберите «Переименовать точку». Введите в появившемся окне нужную
букву и нажмите «ОК».
6) Чтобы отменить действие, нажмите на правую кнопку мыши и
выберите «Отменить».
7) Чтобы построить фигуру:
а) выберите кнопку «Линейка» в панели управления слева;
б) левой кнопкой мыши отметьте первую точку, обладающую
нужными координатами, затем – вторую точку.
У Вас должен получиться отрезок. Таким образом, соединяя нужные
точки, Вы можете изобразить любую геометрическую фигуру.
Пример фигуры, построенной в УМК «Живая математика» представлен
на рисунке 24.
Рисунок 24 – Пример фигуры, построенной в УМК «Живая
математика»
8) Чтобы построить изображение заданной фигуры при центральной
симметрии относительно точки:
а) в панели управления слева выберите «Стрелка» и нажмите правой
кнопкой мыши на точку, относительно которой будете строить образ фигуры,
а затем – «Отметить центр». Отмеченная точка мигнет, указывая на то, что
она отмечена как центр преобразования. Этот центр будет использоваться,
пока не будет отмечен другой центр;
б) левой кнопкой мыши выберите точку построенной фигуры, образ
которой необходимо построить;
в) в панели управления сверху выберете «Преобразования», затем –
«Повернуть…». Т. к. центральная симметрия является поворотом на
,
то в появившемся окне (рисунок 25) введите соответствующее значение
заданного угла и нажмите кнопку «Повернуть». В результате появится образ
выделенной точки.
Рисунок 25 – Окно диалога команды «Повернуть…» в УМК «Живая
математика»
г) выполните аналогичные действия для всех точек построенной
фигуры, и соедините образы этих точек между собой.
9) После выполнения построений сохраните файл, нажав на кнопку
«Файл» и «Сохранить». Каждому файлу дайте «имя», соответствующее
заданию, например, «Центральная симметрия ABCD относительно т. G».
10) Для построения нового чертежа нажмите кнопку «Файл» и
«Новый чертеж».
11) Чтобы построить изображение заданной фигуры при осевой
симметрии относительно прямой:
а) выделите «стрелкой» прямую, относительно которой нужно
построить образ фигуры, нажмите на нее правой кнопкой мыши и выберите
«Отметить ось отражения». Отмеченный прямолинейный объект мигнет,
указывая на то, что он отмечен как ось преобразования. Эта оси будет
использоваться, пока не будет отмечена другая ось;
б) левой кнопкой мыши выберите точку построенной фигуры, образ
которой необходимо построить;
в) в панели управления сверху выберете «Преобразования», затем –
«Отразить». В результате появится образ выделенной точки.
г) выполните аналогичные действия для всех точек построенной
фигуры, и соедините образы этих точек между собой.
12) Чтобы построить изображение заданной фигуры при параллельном
переносе на вектор:
а) постройте отрезок, определяющий нужный вектор. Выберите
«стрелку» и нажмите сначала на точку, задающую начало вектора, затем на
точку, задающую его конец. Теперь нажмите на «Преобразования», затем –
«Отметить вектор». Между выбранными точками мигнет пунктирная
линия, указывая на то, что выбранный отрезок отмечен как вектор переноса.
Этот вектор будет использоваться, пока не будет отмечен другой вектор;
б) левой кнопкой мыши выберите точку построенной фигуры, образ
которой необходимо построить;
в) в панели управления сверху выберете «Преобразования», затем –
«Перенести…» и в открывшемся окне нажмите «Перенос». В результате
появится образ выделенной точки.
г) выполните аналогичные действия для всех точек построенной
фигуры, и соедините образы этих точек между собой.
13) Чтобы построить изображение заданной фигуры при повороте
вокруг точки на заданный угол необходимо выполнить все те же действия,
что и при изображении фигуры при центральной симметрии, вокруг точки.
Только теперь угол поворота будет равен не
, а заданному значению из
таблицы 11.
10) После завершения работы, соберите все файлы в одну папку и
назовите ее «Отчет по ПР Фамилия».
11) Загрузите папку с отчетом в общую папку «ВПР Движения».
Математика - еще материалы к урокам:
- Контрольная работа по математике "Системы счисления" 6 класс (с ответами)
- Контрольная работа "Множества натуральных, рациональных, действительных чисел" 6 класс (с ответами)
- Самостоятельная работа по математике "Системы исчисления" 9 класс (с ответами)
- Самостоятельная работа по математике "Решение уравнений" 5 класс
- Самостоятельная работа "Теория сравнения по модулю" 10 класс (с ответами)
- Контрольная работа "Теория сравнения по модулю" 10 класс (с ответами)
