Урок по математике "Решение логарифмических уравнений и неравенств"

Урок по математике

“Решение логарифмических уравнений и неравенств”

Глебова Л.С

Цели урока

• Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков; применение их в новых условиях;
• Актуализация опорных знаний решения логарифмических уравнений и неравенств.
• Совершенствование навыков контроля и самоконтроля знаний, умений и навыков при выполнении тестов

• Развитие умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли;
• Развитие критического мышления при решении задач и умение работать в проблемной ситуации;
• Развитие творческое мышление.
• Расширение общего кругозора.

Что мы должны знать?

• Понятия степени и логарифма;

• Понятие степени с различными показателями;

• Свойства степеней и логарифмов.

Что мы должны уметь?

• находить значения корня, степени, логарифма;
• выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов;

• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

Из истории логарифмов

Слово «логарифм» происходит от греческих слов logoz - число и ariumoz - отношение.

Переводится как «отношения чисел», одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое –

геометрической.

Логарифм- это показатель степени c, в которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b

Генри Бригс (1561-1630)

Джон Непер (1550-1617)

Шотландский математик, один из изобретателей логарифмов, автор «Описания удивительной таблицы логарифмов»

В честь Джона Непера названы:

• кратер на Луне;
• астероид 7096 Непер (1992 год);
• логарифмическая безразмерная единица, измеряющая отношение двух величин;
• университет в Эдинбурге (Edinburgh Napier University).

Генри Бригс — английский математик, профессор математики в Грешем-колледже, затем в Оксфорде, создатель первых логарифмических таблиц. Развивая идеи Джона Непера, составил и опубликовал первые справочные таблицы десятичных логарифмов: в 1617 году — 8- значные, 1624 — 14-значные.

За этот труд в Англии одно время даже называли десятичные логарифмы бригсовыми. В 1633 году также изданы составленные Бригсом таблицы десятичных логарифмов тригонометрических функций.

Логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, но нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами?

Зачем логарифмы

нужны сегодня?

Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления.

При составлении модели того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.

Логарифмическая сПплоискраяаклриьвая, описываемая точкой,

Любопытен оптический эффект.

Если вращать рисунок, на котором изображено семейство логарифмических спиралей, то при вращении в одном направлении мы увидим, что спирали будут расширяться, а при вращении в противоположном направлении они будут сужаться.

движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса. Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив,

закручивается, стремясь к нему, но не достигая.

Самое интересное и удивительное в том, что логарифмическая спираль возникает в нашей

жизни в связи с самыми разными

природными формами.

Логариф. спираль в природе

• Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.
• Пауки, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.
• По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника.
• По логарифмическим спиралям выстраиваются рога многих животных.
• Раковины морских животных растут по логарифмической спирали.
• Формируется тело циклона.
• Спиралью закручиваются ураганы и смерчи.
• Молекула ДНК закручена двойной спиралью.

Логариф. спираль в жизни челове

Схема строения уха: 1 – наружный слуховой проход 2 – барабанная перепонка

3 – плоскость среднего уха 4 – молоточек

• – наковальня
• – стремечко
• - полукружные каналы 8 – «улитка»

9 – евстахиева труба

«Улитка» представляет собой спирально закрученную трубку, образованную из 2,5 витков

Логариф. спираль в сел. хозяйстве

Как оказалось, и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов.

Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов по формуле

m = m0 ekt – закон, по которому происходит рост животных,

где m –масса в полмесяца, m0 -масса при рождении, e – экспонента,

k – коэффициент относительной скорости роста,

t – период времени.

Логариф. спираль в архитектуре

Дом, построенный в виде морской раковины в Мехико, основывается на формуле логарифмической спирали.

Создатели Наутилуса - так называется проект – попытались создать ощущение четвертого измерения, которое должно возникать, если находиться внутри строения.

Логариф. спираль в космосе

По логарифмической спирали закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.

Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой, второй, третьей и т.д. звездной величины.

Физическая яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Поэтому «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости.

Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5

Логариф. спираль в музыке Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина “алгеброй гармонию”, встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, с такими “странными” вещами, как логарифмы.

Так называемые ступени частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

Практические упражнения

Существуют следующие виды

логарифмов

Десятичный

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝟏𝟏𝟏𝟏𝒍𝒍

Натуральный

𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒆𝒆𝒍𝒍

𝑒𝑒 ≈ 2,71

Логарифмы и показатели. Повторение

Практические упражнения

Вычислить:

• 24; 53; 36
• 3 216; 4 625; 10 1024

• 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙28
• 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙5125
• 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙41024
• 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙8512

Решение показательных уравнений

Практические упражнения

Уравнение вида 𝒂𝒂𝒍𝒍 = 𝒃𝒃 называется показательным

𝒍𝒍 = 𝒄𝒄, где с − корень

𝒂𝒂𝒍𝒍 = 𝒂𝒂𝒄𝒄

Пример:

2𝑥𝑥 = 64

2𝑥𝑥 = 26

𝑥𝑥 = 6

Решение показательных

Практические упражнения

уравнений

Уравнение вида 𝒂𝒂𝒍𝒍 = 𝒃𝒃 называется показательным

𝒂𝒂𝒍𝒍 = 𝒂𝒂𝒄𝒄

Пример:

𝒍𝒍 = 𝒄𝒄, где с − корень

52𝑥𝑥−8= 125

52𝑥𝑥−8 = 53

2𝑥𝑥 − 8 = 3

2𝑥𝑥 = 11

𝑥𝑥 = 5,5

Практические упражнения

Решение логарифмических уравнений Уравнение вида 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒂𝒂𝒇𝒇 𝒍𝒍 = 𝒃𝒃 называется логарифмическим.

Существуют 2 вида уравнений:

1.

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏

𝑓𝑓 𝑥𝑥

= 𝑎𝑎𝑏𝑏

Пример:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 3𝑥𝑥 − 5 = 4

3𝑥𝑥 − 5 = 24

3𝑥𝑥 − 5 = 16

3𝑥𝑥 = 21

𝑥𝑥 = 7

Решение логарифмических уравнений Уравнение вида 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒂𝒂𝒇𝒇 𝒍𝒍 = 𝒃𝒃 называетс логарифмическим.

Практические упражнения

Существуют 2 вида уравнений:

2. 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥)

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙(𝑥𝑥)

Пример:

lg 3𝑥𝑥 − 17 = lg(𝑥𝑥 + 1)

3𝑥𝑥 − 17 = 𝑥𝑥 + 1

3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 1 + 17

2𝑥𝑥 = 18

𝑥𝑥 = 9

1.1 .Дайте определение логарифма. Запишите на доске

Практические упражнения

• Как обозначается десятичный логарифм, как обозначается натуральный,

записать на доске

• Какие свойства логарифмов вы знаете, перечислите.
• Сформулируйте основное логарифмическое тождество.

Подведем итоги!

Зачем мы изучаем логарифмы?

Мы увидели, что область применения логарифмов весьма разнообразна: математика, литература, биология, психология, сельское хозяйство, музыка, астрономия, физика и др.

Логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать