Ученики на Учителя.com


Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Горно – Алтайский педагогический колледж
Тема: Площадь
криволинейной трапеции и
интеграл.
Цели:
1. Изучить понятие «определенный интеграл», его свойства.
2. Вывести формулу Ньютона-Лейбница и рассмотреть её
применение к вычислению площади криволинейной
трапеции.
Преподаватель Ачапова А.А
Содержание занятия
I. Математическая разминка:
а) найти первообразную функции: а)f(x)=4x б) f(x)=2-x
4
; в)f(x)=cosx+x; f(x)= х
3
-2х
б) найти общий вид первообразных (неопределенный интеграл) для функций;
а) б) в) г) д)
II. Изучение нового материала:
Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция
f(x), не меняющая на нем знака.
Определение. Фигуру, ограниченную графиком
функции, отрезком [a;b] и прямыми х=а и х= b
называют криволинейной трапецией.
Выясним, как можно вычислить площадь этой криволинейной трапеции.
Обозначим S(x) площадь криволинейной трапеции с
основанием [a;x], где х произвольная точка из
отрезка [a;b]. При х=а отрезок [a;x] вырождается в
точку х=а, и поэтому S(a)=0; при х=b имеем S(b)=S
Покажем, что S(x) является первообразной функции f(x),т.е. S´(x)=f(x).
Разность S(x+∆x) – S(x)= ∆ S(x) равна площади
криволинейной трапеции с основанием [x; x+∆x].
Так как функция f(x) непрерывна, то при достаточно
малом значении ∆x площади криволинейной
трапеции можно заменить площадью
прямоугольника, т.е. ∆ S(x)= f(x)· ∆x. Отсюда имеем
∆ S(x)/ ∆x= f(x). При ∆x 0 ∆ S(x)/ ∆x S´(x) ,что
означает S´(x)=f(x), а значит S(x) является
первообразной функции f(x).
По основному свойству первообразных S(x)=F(x)+C, где F(x) одна из
первообразных, С - некоторая постоянная.
Для нахождения значения С подставим х=а: S(a)=F(a)+C т.к. S(a)=0, то
C = - F(a).Следовательно, S(x)=F(x) - F(a). Поскольку S=S(b), то подставляя в
формулу x=b получим: S=S(b) = F(b) - F(a)
Вывод. Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции нужно:
1) найти первообразную F(x) функции f(x) ;
2) вычислить значения первообразной при х=а (F(a)) и x=b (F(b));
3) найти разность F(b) - F(a);
4) записать ответ.
2
1
)(
x
xf =
x
xf
2
cos
1
)( =
3
)( xxf =
xxf sin)( =
4
1
)(
x
xf =
Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной
прямыми х=а, х=в, осью Ох и графиком функции y=f(x), если:
а) а=2,в=4,f(x)=x
3
б) а=-2, в=1,f(x)=x
2
+1(самостоят.)
1) F(x) =
2) F(2) = =4 ; F(4) =64;
3) F(4)- F(2)=64-4=60
4) Ответ: S=60
Определение. Разность F(b) - F(a) называют интегралом от функции f(x)на
отрезке[a;b] и обозначают так:
(читается: интеграл от а до в эф от икс дэ икс).
По определению имеем формулу: = F(b) - F(a)
Формула называется формулой Ньютона – Лейбница в честь создателей
дифференциального и интегрального исчисления.
Зная, что S(x)=F(x) - F(a) и формулу Ньютона
– Лейбница получаем:
S = =F(x)
а
в
=
F(x) - F(a)
Таким образом, для вычисления площади
криволинейной трапеции можно применять
формулу Ньютона-Лейбница.
Пример. Вычислите (предварительно сделав
рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями
y=x
3
,x=1,x=3,y=0.
S = = = = 20
Ответ: S =20
Задание для самостоятельной работы:
А.Г.Мордкович и др.( задачник) :с.160,161; №1021-1022; 1029-1032
4
4
х
4
2
4
в
а
f(x)dx
3
1
3
dxх
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: