Ученики на Учителя.com


Особенности преподавания стохастической линии математики

Нефедова Галина Евгеньевна,
учитель математики МКОУ СОШ № 3
города Мирного Архангельской области
ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ МАТЕМАТИКИ
Изменения, происходящие в современном обществе, требуют от его
членов эффективного решения проблем, большинство из которых имеют
стохастическую природу. Сегодня весь цикл естественных и социально –
экономических наук строится и развивается на базе вероятностных
законов, и без соответствующей подготовки невозможно адекватное
восприятие и правильная интерпретация социальной, политической
информации. В современном, постоянно меняющемся мире огромное число
людей сталкивается в жизни с проблемами, которые в большинстве своем
связаны с анализом влияния случайных факторов и требуют принятия
решений в ситуациях, имеющих вероятностную основу. Необходимым
условием творческой работы во многих областях человеческой
деятельности стало наличие стохастических знаний и представлений.
Компетенции в области комбинаторики, теории вероятностей и
математической статистики становятся неотъемлемым условием
социализации.
Теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и
прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только
используются, но и буквально пронизывают все естественные и
технические науки, экономику, планирование, организацию производства,
связи, а также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как
лингвистику и археологию. Без хорошего представления о том, что
явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются сложным
законам теории вероятностей, невозможна продуктивная деятельность
людей ни в одной сфере жизни общества.
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские
кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы
социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и
стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые
требуют представлений о вероятности.
Мы должны научить наших детей жить в вероятностной ситуации, а
это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию,
принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со
случайными исходами.
Одновременно с этим само знакомство школьников с этой, очень
своеобразной, областью математики, где между черным и белым
существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а
между однозначным "да" и "нет" существует еще "быть может", причем
это "быть может" поддается строгой количественной оценке, способствует
устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроках
математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной
жизнью.
Несмотря на то, что с 2003-2004 учебного года элементы теории
вероятностей включены в государственный образовательный стандарт
школы, к настоящему времени многие учащиеся старших классов не
имеют должной математической подготовки по решению вероятностно-
статистических задач. Этот факт подтверждается общероссийскими
статистическими данными по выполнению соответствующих заданий ГИА
по математике.
Внедрение вероятностно-статистической линии в базовый школьный
курс математики породило немало проблем. Многие учителя оказались не
в полной мере готовы грамотно реализовывать вероятностно-
статистическую линию школьного курса математики. Становится
актуальным определение методических особенностей преподавания основ
комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Стохастическая линия требует своеобразных форм, средств и
приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся:
дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметной
деятельности, имитационного моделирования, лабораторных работ и т.д.
Чтобы быть понятыми, новые знания должны войти в тесный и
органичный контакт с уже освоенными представлениями, т.е. должна быть
решена проблема систематизации знаний.
Специфика стохастической линии требует от учителя умений так
организовать деятельность школьников, чтобы изучение понятий и
методов происходило в форме открытия новых инструментов познания
окружающего мира. При обучении стохастике создается благоприятная
почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов появляется
возможность использования новых, непривычных для уроков математики,
подходов к обучению. Определяя уровень усвоения учениками тех или
иных стохастических умений, учитель может столкнуться со следующей
трудностью: при решении задач ученикам чаще приходится опираться на
здравый смысл, а не действовать строго по алгоритму, поэтому ответы
разных учащихся на один и тот же вопрос могут звучать по-разному. В
данном случае задачей учителя является оценка «права на ошибку»
учащегося, поскольку сама такая оценка носит вероятностный характер.
Следует учитывать, что учащиеся с опережающими темпами общего
развития раньше начинают самостоятельно осуществлять деятельность,
связанную с проведением статистических экспериментов и исследований,
раньше переходят от использования эмпирических характеристик к
построению вероятностных моделей. Поэтому особое значение имеет
разграничение уровня умений и навыков самостоятельного получения
выводов об изучаемых явлениях.
Важным элементом стохастической линии является работа с
данными: их сбор, обработка, представление, анализ, практические
выводы. Всем этим занимается статистика.
На первом (подготовительном) этапе обучения необходимо обучить
учащихся не только работе с готовыми данными, но и научить их
самостоятельно собирать информацию и представлять ее в различных
формах. Одним из самых распространенных способов представления
информации являются таблицы. Учащиеся часто сталкиваются с ними —
это расписание уроков, страница классного журнала, программа
телепередач, турнирные таблицы и т.п.
Учащиеся должны научиться анализировать данные, используя
таблицы и диаграммы. Это позволит в дальнейшем не останавливаться на
обучении работе с табличными данными, а сконцентрировать внимание на
обучении делать статистические и практические выводы.
Можно показать практическую значимость таблиц, построенных по
результатам опроса общественного мнения (в классной жизни такие
таблицы могут быть использованы, например, для организации досуга).
Для представления различных данных также удобно использовать
диаграммы.
Одним из направлений стохастической линии является теория
вероятностей, и одной из важных задач на первом этапе является
формирование понятия вероятность случайного события.
Необходимо познакомить учащихся с понятием «случайное
событие» и сформировать у них представление о том, какое событие
называется достоверным, какое невозможным и какие события называются
равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные
примеры, и просить школьников самих приводить такие примеры. Учитель
должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных
событиях в быту, в природе и технике.
Необходимо развивать у учащихся понимание степени случайности
различных явлений и событий.
Перед введением понятия «вероятность случайного события»
полезно провести эксперименты со случайными исходами и сравнить
результаты учащихся с результатами экспериментов, которые
неоднократно проводились на протяжении нескольких столетий. Учащиеся
с удивлением заметят, что результаты очень похожи. Проведение
экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес и,
хотя эксперимент является эмпирическим методом обучения, математика
не является экспериментальной наукой. Но опыт дает учащимся
возможность сделать открытия, увидеть закономерности, а теория
вероятностей опирается именно на результаты многочисленных
экспериментов.
При проведении опытов учащиеся могут убедиться в том, что с
увеличением числа испытаний значения статистической частоты
(выбранного для наблюдения исхода) устойчиво сосредотачиваются возле
некоторого числа Р, которое и называют вероятностью наблюдаемого
исхода или события.
Но нужно отметить, что говорить о статистической вероятности мы
можем лишь при проведении достаточно большого числа экспериментов.
Поэтому всегда возникает вопрос о точности такой оценки вероятности,
поскольку не всегда возможно проведение достаточно большого числа
экспериментов.
Параллельно с вероятностной линией должна изучаться и
комбинаторика. Оптимальный вариант, если работа по формированию
комбинаторного мышления начинается уже с начальных классов.
Начинать обучение комбинаторике целесообразно с решения
простых комбинаторных задач методом непосредственного перебора.
Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой
формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу
комбинаторных формул и закономерностей.
Основными комбинаторными понятиями являются сочетания,
перестановки и размещения. Но сами термины вводить не обязательно,
главное, чтобы учащийся осознавал, наборы какого типа требуется
составить в данной задаче (важен ли порядок и возможны ли повторения).
После того как учащиеся научатся составлять наборы из элементов
заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит
задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные
задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип
умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения
является дерево возможных вариантов. Очень важно показать его
применение при решении комбинаторных задач.
Первое знакомство со статистикой происходит при изучении
основных статистических характеристик, при их нахождении и
использовании для анализа и практических выводов. При изучении
основных статистических характеристик важно понимать их практическую
значимость, уметь использовать их для анализа имеющейся информации и
делать правильные выводы на их основе.
В продолжение вероятностной линии следующим шагом идет
введение классического определения вероятности. Необходимо, чтобы
учащиеся понимали разницу между статистическим и классическим
определениями вероятности. Чтобы они осознавали, что это не еще одно
определение вероятности, а один из способов вычисления вероятности.
Сопоставляя определение классической вероятности и
статистической вероятности, заключаем: определение классической
вероятности не требует, чтобы испытания проводились в
действительности; определение же статистической вероятности
предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими
словами, классическую вероятность вычисляют до опыта, относительную
частоту — после опыта.
После введения классического определения вероятности можно
рассмотреть геометрическую вероятность. В этом случае рассматривается
не количество возможных и благоприятных исходов, а отношение
площади области, благоприятствующей появлению рассматриваемого
случайного события, к площади всей области. То есть геометрическое
определение вероятности является обобщением классического
определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.
Статистические исследования являются завершающим фрагментом
вероятностно-статистической линии курса. Здесь рассматриваются
доступные учащимся примеры комплексных статистических
исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания.
Также вводятся некоторые новые понятия. Изучение этого материала
направлено на формирование умения понимать и интерпретировать
статистические результаты.
В 7 классе учащиеся знакомятся с такими простейшими
статистическими характеристиками, как среднее арифметическое, мода,
медиана, размах ряда. Учащиеся должны знать соответствующие
определения, должны уметь находить эти характеристики в несложных
случаях, должны понимать их практический смысл в конкретных
ситуациях.
При выполнении соответствующих упражнений основное внимание
следует уделить практическому смыслу этих статистических
характеристик.
Особенность этой темы в том, что к ней мы обращаемся крайне редко
(за исключением нахождения среднего арифметического). Учащимся тема
нравится, но и быстро забывается. Чтобы ребятам тема запомнилась как
можно лучше, я предлагаю им провести статистическое исследование.
Предварительно ученики отвечают на вопросы анонимной анкеты:
1. Мой рост
2. Мой вес
3. Мой размер обуви
4. Количество детей в семье
5. Моя любимая телепередача
6. Я предпочитаю читать
7. Больше всех предметов мне нравится
8. Для меня самый сложный предмет
9. Для меня самый легкий предмет
10. В свободное время я люблю
На уроке идет работа в группах, исследуются результаты ответов. При
описании исследования используются уже известные учащимся
вероятностно-статистические понятия, а также вводятся некоторые новые.
Новые понятия возникают естественным путем, когда этого требует логика
изложения. В связи с этим по ходу ознакомления с материалом полезно
составлять словарь новых терминов. Надо стремиться к тому, чтобы
учащиеся понимали выписанные термины и могли использовать их в речи.
Исследовательская деятельность заинтересовывает детей, у них
возникает желание сделать отчет о проделанной работе более красочным.
Поэтому естественным образом возникает вопрос о наглядном
представлении статистических данных.
Результатом работы всех групп становится статистическая справка 7
класса.
Творческое домашнее задание после такого урока: составить
статистическую справку о своей семье.
Важным результатом такой работы считаю то, что две ученицы 7
класса выбрали для выступления на районной учебно – исследовательской
конференции тему «Статистическое исследование педагогического
коллектива школы». Перед началом работы они выдвинули следующую
гипотезу: составив среднестатистический портрет учителя, мы получим
точное представление о наших учителях. На основании исследовательской
работы был получен среднестатистический портрет учителя со
следующими характеристиками:
Учитель нашей школы – это женщина сорока лет, которая
проработала в школе 18 лет. Её зовут Наталья Евгеньевна. Она родилась в
Архангельской области, имеет высшее образование. Каждый день
среднестатистический учитель нашей школы тратит на подготовку к
урокам 2, 3 часа, а на проверку тетрадей 0,8 часа. В свое свободное время
она общается с друзьями и близкими, смотрит телепередачи и читает
книги. Ее читательские интересы – детективы и познавательная
литература. Любимое домашнее животное – кошка. Она считает выбор
своей профессии правильным и любит свою работу.
По окончании работы школьницы сделали следующий вывод: «Проведя
статистическое исследование, мы узнали много нового, но наша гипотеза
не подтвердилась, потому что результаты исследования не дают точного
представления о каждом учителе.
Собрав данные и проведя их анализ, мы еще раз убедились в том, как
удобен, прост и необходим статистический метод обработки материала.
Наглядное представление данных дает повод для глубокого размышления
над изучаемыми вопросами.
Мы выяснили, что большинство педагогов не изучали
математическую статистику и мало знакомы со статистическими
характеристиками, тем не менее учителя в своей работе применяют
статистические данные, статистические способы представления данных,.
Значит, изучение математической статистики необходимо.
Данные нашей работы можно применить на уроках математики при
решении задач на проценты, при составлении диаграмм, при изучении
темы «Статистические характеристики». Составленный нами портрет
среднестатистического учителя можно использовать при проведении
мероприятий ко Дню учителя в школе».
В 9 классе учащиеся впервые встречаются с такими понятиями как
перестановки, размещения и сочетания, которым даются определения и
выводятся соответствующие формулы. Учащиеся должны знать
соответствующие определения и формулы, правило умножения; должны
уметь применять их при решении комбинаторных задач; должны понимать
вид рассматриваемой комбинации на основе анализа конкретной ситуации.
Необходимо обратить внимание учащихся на различие новых
понятий что существенно при решении задач. Предотвратить ошибки
школьников помогает следующая сравнительная таблица:
Комбинации
Перестановки
Размещения
Сочетания
Количество
элементов
и клеток
n элементов
n клеток
n элементов
k клеток
n элементов
k клеток
Порядок
расположения
элементов имеет
значение
Порядок имеет
значение
Порядок имеет
значение
Порядок не
имеет значения
Формула
При решении задач учащимся придется выполнять много
математических расчетов. Актуальным становится и умение находить
отношение величин и выражать их в процентах. Придется также
планировать собственную деятельность, понимать содержание описанного
алгоритма и самостоятельно действовать в соответствии с его этапами.
Поэтому изучение этого раздела даст серьезный импульс для
совершенствования вычислительных умений школьников, развития
алгоритмического мышления.
Надежды на успех введения новой содержательной линии во многом
зависят от того, будет ли материал новой линии применятся в таких
предметах, как физика, химия, биология, история, география. И наоборот,
будет ли материал из этих дисциплин использоваться на уроках
математики как мотив для изучения новых понятий, фактов, методов, как
иллюстрация изучаемого материала, как источник построения
математических (вероятностных) моделей и т.п.
Приведу пример использования стохастических знаний на уроках
физики в 10 классе при объяснении необратимости тепловых процессов.
Перед изучением темы задаю ученикам два вопроса. Первый - какова
вероятность того, что 20 000 обезьян, хаотически ударяя по клавишам
пишущих машинок, напечатают без единой ошибки «Войну и мир»
Л.Н.Толстого? Второй – какова вероятность обратимости процессов в
природе?
В ходе рассуждений мы получаем следующий ответ: «Из-за
большого числа молекул процессы в природе оказываются практически
необратимыми. В принципе обратные процессы возможны, но вероятность
их близка к нулю. Не противоречит, строго говоря, законам природы
процесс, в результате которого при случайном движении молекул все они
!
n
Рn=
( )
!
!
k
n
n
А
nk
=
−
соберутся в одной половине класса, а учащиеся в другой половине класса
задохнутся. Но реально это событие никогда не происходило в прошлом и
не произойдет в будущем. Слишком мала вероятность подобного события,
чтобы оно когда-либо случилось за всё время существования Вселенной в
современном состоянии - около нескольких миллиардов лет.
По данным оценкам, эта вероятность такого же порядка, как и
вероятность того, что 20 000 обезьян, хаотически ударяя по клавишам
пишущих машинок, напечатают без единой ошибки «Войну и мир»
Л.Н.Толстого. В принципе это возможно, но реально никогда не
произойдёт. И на основании этого можно сделать вывод, что все процессы
в природе необратимы, и самые трагические из них – старение и смерть
организмов».
Стохастические знания становятся неотъемлемым компонентом
инновационного содержания образования – как общего, так и
профессионального. Без минимальной вероятностно-статистической
грамотности нельзя в наши дни адекватно воспринимать разнообразную
социальную, политическую, экономическую информацию, выдвигать и
оценивать гипотезы и принимать обоснованные решения. Без
соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение
естественнонаучных и социально-экономических дисциплин уже в средней
школе.
Согласно данным ученых-физиологов и психологов, а также по
многочисленным наблюдениям учителей математики, в среднем звене
школы заметно падение интереса к математике и связано это с тем, что у
ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между
изучаемыми абстрактно-формальными объектами и реальным миром.
Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой
невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на
реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению
интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и
универсальности.
Список литературы:
1. «Изучение алгебры в 7-9 классах», пособие для учителей, Москва,
«Просвещение», 2014. Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, С. Б. Суворова,
И. С. Шлыкова.
2. «Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7-9
классы», автор-составитель В. Н. Студенецкая, издательство «Учитель»,
Волгоград, 2006.
3. «Вероятность и статистика 5-9 классы», авторы: Е. А. Бунимович, В. А. Булычев,
пособие для общеобразовательных учреждений, «Дрофа», Москва, 2014.
4. «Элементы комбинаторики. Понятие случайного события», ЗФТШ при МФТИ, г.
Долгопрудный, 2008.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: