Сборник задач со всего света по теме "Делимость"

Сборник задач со всего света по теме «Делимость» составлен учащимися 5 класса

Важное открытие

Чтобы сохранить продукты питания на долгое время, люди замораживали, сушили или вялили их. Технологию консервирования предложил француз Николя Аппер. В каком году это произошло, если известно следующее: - число это четырехзначное, кратное 10; - первая и третья цифры его не являются ни простыми, ни составными числами; - вторая и третья цифры образуют число, кратное 9.

Решение:так как число кратно 10, то последняя цифра 0,первая и третья - 1(так как ни простые,ни составные). Вторая - 8 (так как 81 кратно 9).

Ответ:1810.

Начало дорожной революции

В тот год англичанин Ричард Тревитик продемонстрировал одно из самых революционных изобретений в истории – первый паровоз. Правда, полноценным транспортным средством железная дорога стала лишь много лет спустя. Назовите год демонстрации, если известно следующее: - это четырехзначное число – произведение двух простых чисел; - первая цифра – ни простое, ни составное число; - сумма трех оставшихся цифр совпадает с наименьшим простым двузначным числом; - вторая цифра – наибольший общий делитель чисел 24 и 40; - все цифры этого года различны.

Решение:первое число равно 1, так как оно не является ни простым, ни составным числом. Узнаём два простых множителя, это 601 и 3.

Ответ: в 1803 году

Рождение фотографии

Это год рождения фотографии. Правда, на первом снимке мало, что можно было разглядеть, кроме размытых силуэтов, но это не обескуражило французского изобретателя Ж. Н. Ньепса. Назовите этот год, если известно следующее: - это четное четырехзначное число – произведение трех простых чисел, причем один из множителей – наименьшее двузначное простое число; - сумма же этих множителей – наименьшее общее кратное чисел 48 и 32.

Решение: Находим три множителя, таковыми являются 2, 11, 83. Перемножаем их, и получаем 1826

Ответ: в 1826.

Немного о природе

На филиппинском острове Панай зоологи нашли новый вид млекопитающих – крупного грызуна из рода пышнохвостых крыс. От кончика носа до кончика хвоста крыса имеет длину более х см. Найдите х, если известно что это двузначное число. Если от этого числа отнять 3, то разность разделится на 3, а если отнять 4, то разность разделится на 4, если отнять 5, то разность разделится на 5.

Решение:перебор двузначных чисел, оканчивающихся 0, позволяет найти ответ , удовлетворяющий всем условиям задачи.

Ответ: 60см

ЗАДАЧА СКАЗОЧНАЯ

Три поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф собрали в лесу жёлуди. Ниф-Ниф собрал 137 желудей, Наф-Наф собрал на 46 желудей меньше, а Нуф-Нуф – в 2 раза больше, чем Наф-Наф. Удастся ли поросятам разделить желуди поровну?

РЕШЕНИЕ

1)137-46=91(ж.)- собрал Наф-Наф

2) 91*2=182(ж.)- собрал Нуф-Нуф

3)137+91+182=410(ж.)- собрали вместе

410 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа (4+1+0=5) не делится на 3.

Ответ: поросятам не удастся

разделить жёлуди

поровну.

Тренируем логику

Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7 ?

Решение:среди 999 чисел, меньших 1000, 199 чисел кратны 5 : [999 : 5] = 199. В этом же интервале имеются 142 числа, кратных 7 : [999 : 7] = 142. Среди 142 чисел, кратных 7, имеются числа, которые делятся также и на 5, то есть кратные 35. Всего таких чисел 28: [999 : 35]= 28. Эти 28 чисел уже учтены в числе 199, найденном ранее. Поэтому количество чисел, меньших 1000, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно 199 + 142 - 28 = 313. В рассматриваемом интервале остается 999 - 313 = 686 чисел, которые не делятся ни на 5, ни на 7.

Собирательная задача

15 мальчиков собрали вместе 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.

Решение: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=110

(это при условии, что каждый что-то собрал).

Ответ: Так как 110 больше 100, то какие-то два из них собрали одинаковое число орехов как минимум

Числовая задача

Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

Решение:Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь.

Ответ:только на 7.

Задача из сказки

Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

Решение: После того как листок побывает в руках у богатыря, число, на нём написанное, будет менять свою чётность, т.е. станет чётным, если было нечётное, и наоборот. Это значит, что после 33-х изменений число станет нечётным, т.е. никак не сможет равняться 10. Ответ:нет, не может.

Задача от класса

Два класса с одинаковым количеством учеников написали контрольную. Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистратович сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович?

Решение:конечно же, директор ошибся. Число оценок должно быть чётным, поскольку чётно число учеников, но если бы директор был прав, то число учеников можно было бы выразить формулой 13 + 2a, где a — число "не двоек", т.е. получается, что число учеников нечётно. Противоречие и доказывает, что Фёдор Калистратович был неправ.Ответ Фёдор Калистратович ошибся.

Задача без пробелов

Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

Решение:данное число не делится на 4, поскольку число, составленное из двух его последних цифр — 34 — не делится на 4. А, значит, указанное в условии число не делится и на 24.

Шахматная задача

Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

Решение:пусть клетка a1 — белая. Тогда противоположная ей клетка h8 — также белая.Конь должен сделать 63 хода.Каждым нечетных ходом (первым, третьим и так далее) от будет вставать на черную клетку, а каждым четным ходом (вторым, четвертым и так далее) будет возвращаться на белый цвет.

Последним (63-им, нечетным) ходом он встанет на черное поле. Но клетка h8 — белая. Поэтому конь не может закончить свой путь в клетке h8.Ответ :нет, не может.