Ученики на Учителя.com


Сборник задач "Математические игры и головоломки"

Математические
игры и головоломки
Сборник задач
1
Сборник задач «Математические игры и головоломки».
Введение
Логические задачи, так же как и математику, называют «гимнастикой ума». Но, в отличие от
математики, задачи на логику - это занимательная гимнастика, которая в увлекательной форме
позволяет испытывать и тренировать мыслительные процессы, иногда в неожиданном ракурсе. Для
их решения нужна сообразительность, иногда интуиция, но не специальные знания. Решение задач на
логику состоит в том, чтобы досконально разобрать условие задачи, распутать клубок
противоречивых связей между персонажами или объектами. Логические задачи для детей – это, как
правило, целые истории с популярными действующими лицами, в которые нужно просто вжиться,
почувствовать ситуацию, наглядно ее представить и уловить связи.
Даже самые сложные задачи на логику не содержат чисел, векторов, функций. Но математический
способ мышления здесь необходим: главное, осмыслить и понять условие логической задачи. Не
всегда самое очевидное решение, лежащее на поверхности, является правильным. Но чаще всего,
решение задачи на логику оказывается гораздо проще, чем кажется на первый взгляд, несмотря на
путаное условие.
Интересные задачи на логику для детей по самым разным предметам — математике, физике,
биологии - вызывают у них повышенный интерес к этим учебным дисциплинам и помогают в их
осмысленном изучении. Логические задачи на взвешивание, переливание, задачи на нестандартное
логическое мышление помогут и в повседневной жизни решать житейские проблемы нестандартным
образом.
В процессе решения задач на логику вы познакомитесь с математической логикой как отдельной
наукой. Логика как наука была создана Аристотелем, который был не математиком, а философом. И
логика первоначально была частью философии, одним из методов рассуждений. В труде
«Аналитики» Аристотель создал 20 схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Одним из
самых известных его силлогизмов является: «Сократ - человек; все люди смертны; значит, Сократ
смертен». Логика (с др.-греч. Λογική — речь, рассуждение, мысль) - это наука о правильном
мышлении, или, иными словами, «искусство рассуждения».
Существуют определенные приемы решения логических задач:
▪ способ рассуждений, с помощью которого решаются самые простые логические задачи. Этот
метод считается самым тривиальным. В ходе решения используются рассуждения, последовательно
учитывающие все условия задачи, которые постепенно приводят к выводу и правильному ответу.
▪ способ таблиц, применяемый при решении текстовых логических задач. Как следует из названия,
решение логических задач заключается в построении таблиц, которые позволяют наглядно
представить условие задачи, контролировать процесс рассуждений и помогают сделать правильные
логические выводы.
2
▪ способ графов состоит в переборе возможных вариантов развития событий и окончательном
выборе единственно верного решения.
▪ способ блок-схем — метод, широко используемый в программировании и решении логических
задач на переливание. Он заключается в том, что сначала в виде блоков выделяются операции
(команды), затем устанавливается последовательность выполнения этих команд. Это и есть блок-
схема, которая является программой, выполнение которой приводит к решению поставленной
задачи.
▪ способ бильярда следует из теории траекторий (один из разделов теории вероятности). Для
решения задачи необходимо нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями
бильярдного шара по разным траекториям. При этом необходимо вести записи возможных
результатов в отдельной таблице.
3
Содержание
I. Устные головоломки….………………………………………………………………………4
1. 5-6 класс……………………………………………………………………………....4
2. 7-8 класс……………………………………………………………………………….5
3. 9-11 класс…………………………………………………...…………………………7
II. Печатные головоломки……………………………………………………………................7
III. Механические головоломки………………………………………………………………….12
IV. Ответы…………………………………………………………………………………………19
4
1. Устные головоломки
Устные головоломки - это головоломки, условие которых может быть передано в устной речи без
привлечения каких-либо дополнительных предметов. К ним можно отнести: загадки, шарады,
парадоксы, игру «данетки».
Пример: Шерлок Холмс шел по улице. И вдруг он увидел мертвую
женщину лежащую на земле. Он подошел, открыл ее сумку и достал
телефон. В тел. книге он нашел номер ее мужа. Он позвонил. Говорит:
- Срочно приезжайте сюда. Ваша жена умерла. И через некоторое время
муж приезжает. Он смотрит на жену и говорит: - О, милая, что с тобой
случилось??? И потом приезжает полиция. Шерлок показывает пальцем
на мужа женщины и говорит: - Арестуйте этого человека. Это он убил ее.
Вопрос: Почему Шерлок так подумал?
Решение: Шерлок Холмс был очень внимательным и хитрым
сыщиком. Поэтому только глянув на человека, он многое мог о нем
рассказать.
В нашей загадке все очень просто. Шерлок позвонил мужу, сказав
только, чтобы тот срочно приезжал, так как жена его умерла. Адрес при
этом не был назван. Муж тут же примчался.
Откуда муж знал, куда приезжать?
Отсюда Шерлоком и был сделан вывод, что он и есть убийца жены, так
как знал, где она в данную минуту находится.
1.1 Задачи для 5-6 классов.
№1. К реке подходят два человека. У берега лодка, которая может выдержать только одного. Оба
человека переправились на противоположный берег. Как?
№2. Где встречается такое, что конь через коня перепрыгивает?
№3. Банка стоит на столе. Причем одна её половина находится в воздухе, а другая на столе. Что
лежит в банке, если через полчаса она упадёт? И почему?
5
№4. Эту загадку ученик 1-ого класса решает за 5 минут,
старшеклассник за 15 минут, студент за 1 час, профессор никогда
не решит. Загадка: расшифруйте одтчпшсвдд.
№5. Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути
встретилась река, у берега которой находился плот. Он
выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как
переправиться на другой берег отцу и сыновьям?
№6. При помощи любых арифметических действий составьте число 100 из пяти единиц.
1.2 Задачи для 7-8 классов.
№7. Один поезд едет из Москвы в Санкт-Петербург с опозданием 10 минут, а другой — из Санкт-
Петербурга в Москву с опозданием 20 минут. Какой из этих поездов будет ближе к Москве, когда
они встретятся?
№8. Примерно за 40 секунд, не используя калькулятора, определите, что больше: 351х354 или
352х353.
№9. Решая задачку, считайте быстро и в уме, ничего не пишите, не используйте калькулятор.
Итак, поехали!
№10. Этот пример облетел Интернет после того, как
исследовательская группа из Японии обнаружила, что только 60
процентов людей могут решить ее правильно. В то же время в 1980-х
годах с этой задачей справлялось 90 процентов взрослых людей.
Кажется, довольно просто, не так ли?
№11. Как быстро сосчитать сумму чисел последовательности: 1 + 2 +
3 + ... + 99
№12. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 20 метров,
другой 30 метров. Расстояние между основаниями пальм 50 метров. На вершине каждой пальмы
сидит птица. В речке на поверхности между пальмами появилась рыба. Обе птицы одновременно
6
кинулись к рыбе с одинаковой скоростью и подлетели к ней
одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой
пальмы появилась рыба?
№13. Один поезд выехал из города №1 в город №2 со скоростью 40
км/ч. Навстречу ему выехал другой поезд, идущий из города №2 в город
№1 со скоростью 60 км/ч. Оба они идут без остановок с постоянной
скоростью. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда за 1 час до их встречи?
№14. Примерно за 10 секунд без подручных средств, чему равно выражение: (2/3) х (3/4) х (4/5) х
(5/6) х (6/7)
№15. Постарайтесь за 20 секунд определить ,что больше:
А) 420/978 - 211/977
Б) 209/977
№16. Автомобилист посмотрел на счетчик своего автомобиля и увидел
симметричное число 15951 км (читается одинаково слева направо или
наоборот). Он подумал, что, скорее всего, уже не скоро появится другое симметричное число.
Однако уже через 2 часа он обнаружил новое симметричное число. С какой постоянной скоростью
автомобилист проехал эти два часа?
№17. Продавец магазина продал каждому из своих покупателей столько коробок конфет, сколько
у него было всего покупателей. За каждую коробку взял столько долларов, сколько коробок конфет
он продал каждому. Часть вырученной суммы продавец потратил на покупку десяти кексов. За
каждый кекс он заплатил число долларов, меньше числа кексов, но каждый кекс стоил дороже
коробки конфет. Оставшаяся у продавца сумма была меньше цены кекса. Определите стоимость
коробки конфет и кекса.
№18. При помощи любых арифметических действий составьте число 100 из пяти пятерок. Может
быть три варианта решения.
№19. Междугородний автобус проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч.
Обратный путь он проехал со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса.
7
№20. В одном магазине скидка с первоначальной цены товара 7%, а если покупатель берет сразу 2
товара, то скидка с уже пониженной цены (каждого товара) еще 12%. В другом магазине наоборот,
скидка с товара 12%, а если приобретается 2 товара, то скидка с пониженной цены 7%. Где выгоднее
купить 2 товара?
1.3. Задачи для 9-11 классов.
№21. Есть два шнура, каждый из которых горит по часу, но горит
неравномерно. Как с помощью этих двух шнуров и спичек отмерить
45 минут?
№22. Примерно за 40 секунд, не используя калькулятора,
определите, что больше: 351х354 или 352х353.
№23. Стороны треугольника равны А, В и С. Какое из утверждений верно:
А) С минус В всегда равно А.
Б) С минус В всегда больше А.
В) С минус В всегда меньше А.
Г) Ни один вариант не верен.
№24. Что больше, половина площади поверхности шара или площадь круга, с равными
радиусами?
№25. Попробуйте после прочтения задания решить его примерно за 3 секунды:
что больше: 45 х 767 х 71 или 767 х 45 х 75?
№26. Если Х равно 250% от У, то сколько процентов У составляет от Х?
2. Печатные головоломки.
Это те головоломки, для которых необходима бумага и карандаш. Они могут быть напечатаны или
нарисованы. К таким головоломкам относятся, самые разнообразные
кроссворды, ребусы, японские кроссворды, различные геометрические и
математические головоломки и многие другие.
Одним из головоломок такого типа является головоломка «сто». Она
заключается в том, что у тебя имеется табличка с числами и к этим числам
надо приписать цифры так, чтобы в каждой строке и столбце сумма этих
чисел была ровна 100.
8
№27. На рисунке изображены три уравнения. Причем вместо некоторых чисел стоят
соответствующие им в каждом уравнении символы. Необходимо определить - какому числу
соответствует каждый символ, чтобы уравнения были корректны. Числа целые и не могут быть
меньше единицы.
№28. Расставьте арифметические знаки («+»; «-»; «х»; «:») в пустые ячейки так, чтобы равенство
оказалось верным. При этом дважды можно указать только один какой-то знак. Арифметический
счет идет по порядку, слева направо, не учитывая приоритет знаков
№29. На картинке представлена сетка из ячеек с размещенными в них символами. Каждый символ
имеет определенное цифровое значение. Определите эти значения каждого из пяти символов. Рядом
с сеткой внизу и справа указаны суммы значений символов по столбцам и строкам (рядам)
соответственно.
9
№30. На рисунке ниже показана фигура, у которой только прямые углы (т.е. 90 градусов). Длина
некоторых сторон фигуры указана в условных единицах. По этим данным рассчитайте периметр
фигуры (длину всех ее сторон).
31. Подставьте недостающие числа в пустые ячейки пирамиды с условием, что число в каждом
кирпичике каждого ряда (кроме последнего) равно сумме чисел нижних двух кирпичей. Например: К
= Е + Ж
10
№32. В каждом ряду и столбце этого кроссворда содержатся одни и те же цифры (что и в первом
ряду) и арифметические знаки. Расставьте цифры и знаки так, чтобы все уравнения выполнялись (как
по горизонтали, так и по вертикали).
№33. Найдите правильный путь от верхнего квадрата до нижнего, чтобы уравнение получилось
верное.
№34. На рисунке изображены три уравнения. Причем вместо некоторых чисел стоят
соответствующие им в каждом уравнении символы. Необходимо определить - какому числу
соответствует каждый символ, чтобы уравнения были корректны. Числа целые и не могбыть меньше
единицы.
11
№35. Расставьте арифметические знаки («+; «-»; «х»; «:») в пустые ячейки так, чтобы равенство
оказалось верным. При этом дважды можно указать только один какой-то знак. Арифметический
счет идет по порядку, слева направо, не учитывая приоритет знаков.
№36. На картинке представлена сетка из ячеек с размещенными в них символами. Каждый символ
имеет определенное цифровое значение. Определите эти значения каждого из пяти символов. Рядом
с сеткой внизу и справа указаны суммы значений символов по столбцам и строкам (рядам)
соответственно.
12
Механические головоломки
Кубик Рубика
Как собрать кубик Рубика (наглядная инструкция для начинающих):
При использовании «минимальных» операций возникает вопрос: как их систематизировать, или
сформулировать, чтобы ими удобно было пользоваться при собирании кубика? Прежде всего, перед
тем, как воспользоваться той или иной уже разработанной операцией, следует как-то обозначить
грани кубика, относительно которых их проводить.
В - верхняя сторона
Н - нижняя сторона
Л - левая сторона
П - правая сторона
Ф - передняя сторона
З - задняя сторона
Ф З В Н Л П - вращение по часовой стрелке на четверть оборота (90 градусов)
Ф' З' В' Н' Л' П'- вращение против часовой стрелки на четверть оборота (90 градусов)
Ф "З"В"Н"Л” П" - вращение на пол оборота в любую сторону (180 градусов)
Многочисленные испытания показали, что для сборки кубика Рубика минимум нужно сделать 23
хода. Первое время у начинающих сборка кубика Рубика занимает очень много времени, но
многочисленные тренировки помогают выработать свою стратегию, и вы будете собирать его за
несколько секунд.
Здесь перечислены стандартные элементарные движения, из которых состоят все комбинации, что
мы будем использовать при сборке. (фото представлено на стр. 13)
Несколько слов о принципе обозначения и самих движений:
На протяжении всей сборки кубик необходимо держать так, как это показано на рисунках ниже,
т.е. нацелив один из углов верхней грани себе на нос. При этом та из видимых нам с рисунка сторон,
что находится справа, называется [П]равой стороной, левая из видимых – [Ф]ронтальной (передней);
верхняя видимая нам сторона – так и называется [В]ерхней; противоположная от Правой стороны –
[Л]евая, от Верхней – [Н]ижняя (их нам уже не видно, но использовать мы их будем), от Передней –
[З]адняя. Плюс к тому, на правах стороны существует [С]редний ряд – ряд между верхней и нижней
гранью.
13
В схемах и комбинациях поворот этих сторон обозначаются соответственно первыми буквами их
названий: П, Ф, В, Л, Н, З, ,С. Обратите внимание, что поворот по часовой стрелке Правой стороны
проводится от «нас», а Левой – на «нас».
Аналогичные движения против часовой стрелки – те же буквы, но со штрихом: П’, Ф’, В’, Л’,’Н’,
С’.
Скобки с нижним индексом означают комбинации, которые нужно повторить несколько раз. Т.е.
(ПЛ)₃ - означает, что нужно повернуть Правую грань по часовой стрелке, затем Левую, затем снова
Правую и т.д. пока действие ПЛ не повториться три раза. Если скобок нет, а индекс есть, то он
относиться только к последнему движению: ВФ₂ - поворачиваем один раз верхнюю и два раза
переднюю стороны.
14
Шаг 1. Задача первого шага: необходимо собрать крест в основании кубика.
Для начала выберем цвет основания кубика. Он должен оставаться внизу на
протяжении всей сборки. В моем случае - это синий цвет, но можно выбрать
любой другой.
Далее собираем крест выбранного нами цвета в основании кубика рубика, как
показано на рисунке. Задача предельно проста и не требует описания.
Шаг 2. Задача второго шага: необходимо разместить все "a" под соответсвующим по цвету "b".
1) Поднимаем "a" наверх (в моем случае Ф"):
2) Путем вращения верхушки кубика (В , В' или В")
перемещаем "a" на сторону с "b" соответсвующего цвета (в
моем случае В').
3) Опускаем "a" в основание (в моем случае П"):
4) Перемещаем поднятое "a" на сторону с "b"
соответсвующего цвета (в моем случае В ):
5) Опускаем ребро кубика в основание (в моем случае
Ф"):
6) Если после выполнения предыдущего пункта одно из "a" оказалось поднятым, перейдите к
пункту №4.
Шаг 3. Задача третьего шага: необходимо собрать основание кубика.
В этом шаге пользуемся формулами 1,2,3,4, приведенными ниже для сборки
углов основания. Иногда вращайте верхушку кубика для того, чтобы подогнать
под формулу.
15
1) Если ваш кубик имеет вид как на картинке,
выполните эту комбинацию: {Ф'В'Ф}.
2) Если ваш кубик имеет вид как на картинке,
выполните эту комбинацию: {П В П'}.
3) Если ваш кубик имеет вид как на картинке,
выполните эту комбинацию: {П В'П'В"П В П'}.
4) Если необходимо вынуть угол из основания кубика
рубика, используйте одну из нескольких комбинаций: {Ф'В'Ф },
{П В П'} или {П В'П'В"П В П'}.
Шаг 4. Задача четвертого шага: необходимо собрать средний ряд кубика Рубика.
1) Если ваш кубик имеет вид как на картинке, выполните
следуюшую комбинацию: {В'Ф'В Ф В П В'П'}
2) Если ваш кубик имеет вид как на картинке, выполните
следуюшую комбинацию: {В П В'П'В'Ф'В Ф }
Если необходимо развернуть ребро в среднем ряду, выполните
следующую комбинацию: {П В'П'В'Ф'В Ф В'П В'П'В'Ф'В Ф }
Шаг 5. Задача пятого шага: необходимо расположить "a" на
соответсвующих сторонах, чтобы потом развернуть их.
Обратите внимание, в этом шаге необходимо расположить кажоде ребро на своей
стороне и не важно как оно будет повернуто. например ребро с желтой и фиолетовой
16
сторонами находится в нужной нам позиции, так как верхушка - фиолетового цвета, а боковая
прилежащая сторона - желотого цвета.
Для перемещения ребер используйте следующую формулу:
{В Л'В"Л В Л'В Л }
Шаг 6. Задача шестого шага: необходимо развернуть все "a" так, чтобы получился
крест в верхней части кубика (Внимание, не переворачивайте сам кубик на
протяжении все этого шага).
1) Разворачиваем "a1":
{Ф В Н'Л В Н'З В Н'П В Н'}
После этих действий кубик немного развалится, но не стоит
переживать - когда полностью выполним весь этот шаг, он снова
примет нормальный вид.
2) Путем вращения верхней части кубика (в моем случае В
), выставляем "a2"(любое из тех, что не правильно повернуто) на
место "a1":
3) Разворачиваем "a2":
{Ф В Н'Л В Н'З В Н'П В Н'}
И возвращаем ребра на свои места, путем вращения верхушки
(в моем случае В')
Шаг 7. Задача седьмого шага: необходимо разместить "a", на соответсвующих
местах, чтобы потом развернуть их. Задача похожа на 5 шаг.
Для перемещения "a" используйте следующую комбинацию:
{П'Ф'Л'Ф П Ф'Л Ф }
Шаг 8. - Задача восьмого шага (необходимо повернуть все "a"). Внимание, не
крутите сам кубик на протяжении всего этого шага.
17
1) Для вращения "a" используйте следующую комбинацию:
{П Ф'П'Ф П Ф'П'Ф } , до тех пор он пока не примет
нормальную позицию.
(Во время вращения кубик запутается, но в конце, когда все
углы будут повернуты правильно, кубик вновь соберется)
2) Путем вращения верхушки, выставляем любое
другое "a", на место того, что крутили (в моем случае В ).
3) Повторяем комбинацию:
{П Ф'П'Ф П Ф'П'Ф } до тех пор пока не развернем
правильно "a".
4) И так меняем углы и вращаем их до тех пор, пока не
соберем кубик.
Секрет игры «15»
Не всегда можно головоломку перевести из одного состояния в другое, — запрещены такие
переходы, при которых нарушаются те или другие законы сохранения. Есть такой закон и в игре
«15». Чтобы объяснить его, мысленно заполним пустое место фишкой с номером 16. Тогда каждый
ход, это сдвиг фишки — будет состоять в том, что эта фишка меняется местами с фишкой 16.
Операцию, при которой какие-то две фишки (не обязательно соседние!) меняются местами, так и
назовем - обменом. Очевидно, что из любой расстановки 16 фишек можно не более чем за 15
обменов получить правильную позицию — обозначим ее S0 — и вообще любую другую расстановку.
При этих обменах не запрещается вынимать фишки из коробки. Например, можно сначала поставить
на свое место фишку 1, обменяв ее с той фишкой, которая это место занимает, затем точно так же
поставить на место фишку 2 и т. д. Последним действием нужно обменять фишки «15» и «16» —
при этом сразу обе встанут правильно. Конечно, не исключено, что по ходу дела какие-то фишки
автоматически попадут на свои места, и их трогать не придется, при этом число обменов окажется
меньше 15. Можно расставлять фишки по этой же системе, но в другом порядке, скажем 16, 15, 14, ...
или совсем иначе, и тогда число обменов может оказаться другим. Однако каким бы способом ни
выбрать последовательность заданную расстановку фишек в другую, четность числа обменов в этой
последовательности всегда будет одной и той же. Это очень важное и неочевидное доказано ниже.
Оно позволяет дать следующее определение: расстановка называется четной, если ее можно
превратить в правильную позицию с помощью четного числа обменов, и нечетной в противном
случае. В математике обычно говорят не «расстановка», а «перестановка». Сама правильная
18
расстановка S0 всегда четная, а ловушка Лойда L нечетная. Но почему они не переводятся друг в
друга? Как выше уже сказано, каждый ход в игре «15» можно рассматривать как обмен фишки с
одной из соседних. Следовательно, при каждом ходе четность расстановки 16 фишек меняется: если
до хода расстановку можно было упорядочить за N обменов, то после него — за N+1 обменов (взяв
этот ход назад), а числа N и N+1 — разной четности. В обеих расстановках классической задачи
Лойда фишка «16» расположена одинаково. Если бы мы сумели одну расстановку перевести в
другую, то фишка «16» должна была совершить столько же ходов вверх, сколько вниз, и столько же
ходов вправо, сколько влево, иначе она не вернулась бы назад. Поэтому мы сделали бы четное число
ходов, а так как при каждом ходе четность расстановки меняется, в начале и в конце она была бы
одинаковой. Но позиции S0 и L, как мы видели, имеют разную четность.
19
Ответы
1. Устные головоломки
1.1 5-6 классы
№1. Они были на разных берегах.
№2. В шахматах.
№3. Лед. Потому что он растает.
№4. 1, 2, 3, 4, 5, ….
№5. Вначале переправляются оба сына. Один из сыновей возвращается обратно к отцу. Отец
перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на
исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.
№6. 111-11=100
1.2 Задачи для 7-8 классов.
№7. В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от Москвы.
№8. 352х353 больше, чем 351х354. Здесь минимум два варианта решения. Первый: всем известно,
что площадь квадрата является максимально возможной из всех вариантов прямоугольников с
одинаковой суммой сторон А и В. В данном примере, по аналогии, сумма чисел также равна в обоих
случаях (352 + 353 = 351 + 354). При этом ближе "к сторонам квадрата" будет вторая пара чисел (352
и 353). Второй вариант решения: необходимо каждое из двух выражений поделить на 353х351 .
Получим 354/353 и 352/351. Или 1+1/353 и 1+1/351 . Очевидно, что второе число больше.
(первые 2 числа одинаковые а последние 1х4 =4 и 2х3=6)
№9. 4100.
№10. 1. В первую очередь людей сбивает с толку порядок уравнения.
Ключом к ответу служит основное математическое правило, которое вы учили в школе, но
вероятно, забыли.
20
Многие люди неверно считают, что 3, разделенное на 1/3 равно 1, тогда как на самом деле это
равно 9-ти.
При решении этой задачи нужно следовать порядку действий, который определяет, что нужно
делать сначала, чтобы получить ответ на данное математическое выражение.
В математике этот порядок звучит так: скобки, кратные числа, деление и умножение (слева
направо), сложение и вычитание (слева направо).
Таким образом, мы 3 делим на 1/3 и получаем 9, далее 9 минус 9 равно 0, плюс 1 равно 1.
№11. Если к данной последовательности прибавить последовательность обратную: 99 + 98 + 97 +
... + 1 . Очевидно, что получится 100 * 99 = 9900. Так как суммы последовательностей равны, то
необходимо разделить пополам 9900. Получим = 4950.
№12. Пользуясь чертежом на рисунке ниже и теоремой Пифагора, получим: (символ ^ означает
возведение в степень) AB^2 = 30^2 + x^2, AC^2 = 20^2 + (50 - x)^2. Но AB = AC, т.к. обе птицы
пролетели это расстояние за одинаковое время. Поэтому 30^2 + x^2 = 20^2 + (50 - x)^2. Раскрывая
скобки и сделав сокращения, получим: 100x = 2000 или x = 20.
№13. Очевидно, что за 1 час первый поезд проедет 40 км, а второй 60км. В итоге 100км. Но иногда
эту задачу начинают решать не верно.
№14. (2/7). Необходимо сократить все одинаковые числа (в числителях и знаменателях).
Что больше, половина площади поверхности шара или площадь круга, с равными радиусами?
№15. Б) 209/977. Решение: если прибавить к каждому выражению 211/977, то получим: 420/978 и
420/977. Очевидно, что второе больше.
№16. Следующее симметричное число равно 16061. Разница составляет 16061 - 15951 = 110 км.
Если 110 км поделить на 2 часа, то получится скорость 55 км/ч.
№17. Стоимость: коробки конфет = 4долл, кекса = 6долл. Решение: Обозначим через х - цену
коробки конфет, через у - цену кекса, z - оставшуюся у продавца сумму денег. Тогда, согласно
условию задачи, получим: х^3 = 10у + z (символ ^ обозначает возведение в степень). Левая часть (и
правая части) должна быть двузначным числом (z < y < 10 ), а также точным кубом, следовательно
21
она может быть равна или 27 или 64. Число 27 не подходит, иначе z > y. Таким образом, x^3 = 64 =
10y + z, откуда x = 4, y = 6, z = 4.
№18. 1) 5 х 5 х 5 - 5 х 5 = 100; 2) (5 + 5 + 5 + 5) х 5 = 100; 3) 5 х 5 х (5 - 5 : 5) = 100.
№19. 48 км/ч. Решение: простое деление на два сумму скоростей 60 и 40 не дает правильный
результат, т.к. время движения автобуса в одну и в другую сторону отличается. Обозначим среднюю
скорость через "х", а расстояние между городами "у". Из условия задачи получим уравнение: (2у : х)
= (у/69 + у/40). Делим обе части уравнения на "у", получим: (2/х) = (1/60 + 1/40), откуда х = 48.
№20. Одинаково. Решение: в первом магазине скидка при покупке сразу 2-х товаров равна: 100% -
7% = 93% ; 93% - 12%(от 93%) = 81,8%. Во втором магазине скидка при покупке сразу 2-х товаров
равна: 100% - 12% = 88% ; 88% - 7%(от 88%) = 81,8%.
№21. Надо поджечь первый шнур одновременно с обоих концов — это 30 минут. Одновременно с
первым шнуром поджигаем второй шнур с одного конца, и когда первый шнур догорит за 30 минут,
поджигаем второй шнур с другого конца — получаем оставшиеся 15 минут.
№22. 352х353 больше, чем 351х354. Здесь минимум два варианта решения. Первый: всем
известно, что площадь квадрата является максимально возможной из всех вариантов
прямоугольников с одинаковой суммой сторон А и В. В данном примере, по аналогии, сумма чисел
также равна в обоих случаях (352 + 353 = 351 + 354). При этом ближе "к сторонам квадрата" будет
вторая пара чисел (352 и 353). Второй вариант решения: необходимо каждое из двух выражений
поделить на 353х351 . Получим 354/353 и 352/351. Или 1+1/353 и 1+1/351 . Очевидно, что второе
число больше.
(первые 2 числа одинаковые а последние 1х4 =4 и 2х3=6)
№23. В) С минус В всегда меньше А. Решение: известно, что у треугольника всегда две стороны в
сумме больше третьей. Например, А + В > C. Если В перенести в другую часть неравенства, то
получим А > С - В.
№24. Площадь шара конечно больше. Чтобы сделать шар из круга, необходимо круг увеличить в
объеме (как бы надуть), что повышает площадь фигуры.
22
№25. Очевидно, что второй пример больше. Т.к. 75 больше, чем 71. Остальные числа в обоих
примерах одинаковые.
№26. Г) 40%. Решение: Х = (250/100) * У. Отсюда: У = Х * (100/250). Делим на 2.5 каждое из
чисел (100 и 250), получаем: У = Х * (40/100) = 0.4 = 40%.
№27. Сердечко = 13, Квадрат = 12, Звездочка = 11, Треугольник = 8.
№28. 6 х 3 - 5 + 7 : 4 + 8 = 13
№29. Круг = 4, крест = 3, пятиугольник = 6, квадрат = 2, звезда = 5.
№30. Периметр фигуры равен 52. Решение: длины сторон 2 и 7 даны для отвлечения внимания. На
рисунке видно, что длина всех горизонтальных прямых (коротких, т.е. менее 15) равна длине
большой прямой, длина которой равна 15. Также и с вертикальными прямыми, сумма длин которых
равна 11, как и длина большой вертикальной прямой. В итоге получаем: 15 + 15 + 11 + 11 = 52.
№31. П = 1019, О = 497, К = 277, Л = 245, Е = 145, З = 113, И = 139, Б = 41, Д = 117.
№32.
№33.
23
№34. Сердечко = 1, Квадрат = 4, Звездочка = 9, Треугольник = 40, Круг = 12.
№35. 9 - 2 х 11 + 13 : 6 х 3 = 45
№36. Круг = 9, крест = 8, пятиугольник = 3, квадрат = 4, звезда = 2.
24
Литература
1. http://kak-sobrat-kubik-rubika.praya.ru/
2.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: