Ученики на Учителя.com


Учимся решать задачи по учебнику математики И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской, С.Н. Кормишиной

Учимся решать задачи
по учебнику математики И.И.Аргинской, Е.И.Ивановской, С.Н. Кормишиной
(пояснения к учебнику)
Работа с задачей остается одним из важнейших направлений обучения математике. В
четвертом классе продолжаются все те линии работы, которые были начаты в первом,
втором и третьем классах:
• Анализ текста с целью установления его принадлежности к задачам;
• Изменение одного из компонентов частей задачи;
• Замена усложненной формулировки на более простую;
• Преобразование неопределенных или переопределенных задач в определенную;
• Составление краткого условия задачи;
• Составление и решение обратных задач.
Большое внимание уделяется классификация задач по способу решения. В этом классе
сравниваются задачи с одинаковым математическом содержанием, внешне совершенно не
похожие друг на друга. Это задачи с пропорциональными величинами, при решении которых
учащиеся знакомятся с прямой и обратной пропорциональной зависимостью. С этой целью
учащиеся выполняют разнообразные задания:
• Сравни тексты задач, решения;
• Составь к паре задач обратные, сравни решения обратных задач;
• Составь и реши подобные задачи с другим сюжетом;
• Преобразуй задачу так, чтобы ее решение было похоже на решение №…и т. д.
Наряду с такими заданиями встречается сравнение задач, близких по фабуле, но имеющих
разное математическое содержание как в одном направлении, так и в разном:
рассматривается их сходство и различие.
В заданиях учебника отражены свойства данной методической системы:
• Процессуальность (обращение к раннее решенной задаче с целью выявить их
сходство и различия в текстах, решении. Часто предлагается усложнить или
упростить ранее решенную задачу)
• Вариантность (решение задачи разными методами, способами. Все задачи данного
учебника можно решить несколькими методами, способами. Надо только их найти!).
• Использование коллизий (можно предлагать текстовые коллизии, коллизии в
решении. Коллизии учитель может продумать заранее, но часто они рождаются на
уроке самими учащимися. Надо их увидеть и правильно использовать!).
• Многогранность.
Часто работа над задачей после ее решения продолжается. Автор учебника предлагает
учащимся придумать к тексту свое задание. Можно выполнить такие задания:
• Придумать дополнительные вопросы к условию;
• Измени условия так, чтобы задача решалась меньшими (большим) количеством
действий;
• С этой же целью измени вопрос;
• Придумай обратные задачи;
• Реши задачу другими методом, способом;
• Придумай задачу с таким же решением, но другим сюжетом;
• Объясни готовое решение;
• Придумай задачу, чтобы она имела такое решение (предлагается готовое решение) и
т.д.
Такие задания способствуют более глубокому осознанию учебного материала.
В четвертом классе происходит знакомство с алгебраическим методом решения. Учитель
должен показать учащимся преимущество, рациональность данного метода, а не навязывать
его. Для этого необходимо подбирать такие задачи, которые легче решаются с помощью
уравнения. Во многих упражнениях встречаются задания: реши задачу арифметическим и
алгебраическим методом, какой способ тебе больше понравился. К сожалению, система
подготовительных упражнений представлена в учебнике слабо. Учителю приходится
самостоятельно подбирать такие задания.
Важный аспект работы в четвертом классе: целенаправленно формировать у детей алгоритм
решения задачи, начиная с вопроса. Цепочка рассуждений становится сложнее, содержит
больше звеньев, поэтому дается с трудом. Однако, сочетание единого алгоритма анализа с
разнообразием задач, отсутствием их типизации формирует истинное умение решать задачи.
Основной путь работы с задачами – самостоятельное обдумывание и поиск путей решения
каждым учеником; коллективное обсуждение достигнутых результатов; обсуждение и
исправление ошибок; поиск других путей решения. Осознать содержание задачи, найти пути
ее решения помогает графические и знакомы модели:
• рисунок:
• условный рисунок;
• чертеж;
• схематический чертеж (схема);
• краткая запись;
• таблица.
В учебник математики 4 класса Аргинской И. И. включены достаточно трудные задачи,
имеющие несколько способов и методов решения (как было сказано выше). Встречаются и
такие задачи, решения которых с предположения.
Все сказанное дает основание предполагать, что затруднения, возникающие у учителя в
процессе работы, порождают мнение о том, что по данной системе развивающего обучения
могут работать лишь избранные учителя. Однако это не так! Учителю нужны методическая
помощь, методические разработки и рекомендации, которые позволили бы сэкономить время
на подготовку к уроку, сохранить уверенность, силу и энергию, необходимую для
плодотворной и творческой работы.
Данные пояснения к учебнику предназначены для учителей, работающих по учебнику
математики Аргинской И.И. 4 кл., а также для родителей учащихся, желающих помочь
своему ребенку.
Задачи на уравнивание групп предметов встречаются на протяжении всего
четвертого класса. Если в первом классе для решения выполняются предметные действия, то
в четвертом классе уравнивание происходит с помощью арифметических действий. Помочь
учащимся осознать смысл уравнивания предназначен схематический чертеж.
№11.
На трех тарелках лежат 18 пирожных. На второй тарелке на одно пирожное больше,
чем на первой, и на столько же меньше, чем на третьей тарелке. Сколько пирожных на
каждой тарелке?
Изобразим пирожные на тарелках отрезками.
1п
18 п.
1п 1п
Решение.
1 способ
Уберем 3 штуки пирожных, останется на всех тарелках поровну, при этом
изменится (уменьшится) общее количество.
1) 1+2=3 (п.) – надо убрать, чтобы на всех тарелках стало поровну.
2) 18-3=15 (п.) – станет на трех тарелках.
3) 15:3=5 (п.) – на каждой тарелке (или на первой).
4) 5+1=6 (п.) – на второй тарелке.
5) 6+1=7 (п.) – на третьей тарелке.
Проверка. 5+6+7=18 (п.)
2 способ.
Добавим на вторую и третью тарелки по столько пирожных, чтобы их стало
поровну, т.е 3 штуки, при этом способе уравнивания изменится (увеличится) общее
количество.
1) 1+2=3 (п.) – надо добавить, чтобы на всех тарелках стало поровну.
2) 18+3=21 (п.) - станет на трех тарелках.
3) 21:3=7 (п.) – на каждой тарелке (или на третьей).
4) 7-1=6 (п.) – на второй тарелке.
5) 6-1=5 (п.) – на первой тарелке.
3 способ.
Уравнять пирожные можно и третьим способом, не изменяя общего количества:
переложить с третьей тарелки на первую одно пирожное. Тогда:
1) 18:3=6 (п.) на каждой тарелке (или на второй)
2) 6-1=5 (п.), 6+1=7 (п.) – соответственно на первой и третьей тарелках.
Задачи с общим количество 15 пирожных 24 пирожных решаются аналогично.
№ 39.
У Маши 96 орехов, а у Кати - 68. Сколько орехов отдала одна девочка другой, если у них
орехов стало поровну?
Как еще можно уравнять количество орехов у девочек?
Решение.
1) 96-68=32 (шт.) – на столько орехов у одной девочки больше, чем у другой.
2) 32:2=16 (шт.) – нужно отдать другой девочке.
Орехи можно уравнять еще двумя способами:
• Маша может убрать 32 ореха;
• Катя может взять 32 ореха.
Рассмотрим решение задачи № 64.
Пешеход прошел 24 км за 6 часов. Сколько километров проедет за это же время
всадник, если он будет двигаться втрое быстрее?
1 способ.
Традиционно решение будет таким:
1) 24:6=4 (км/ч) – скорость пешехода.
2) 4· 3=12 (км/ч) – скорость всадника.
3) 12 · 6=72 (км)
При таком способе решения учащиеся используют все данные.
2 способ.
Всадник движется в 3 раза быстрее, значит, и расстояние, им пройденное, окажется
в 3 раза больше расстояния, пройденного пешеходом. Таким образом:
24 · 3=72 (км)
Примечание. Рассуждая таким образом, учащиеся встречаются с прямой
пропорциональной зависимостью и ее свойством: С увеличением (уменьшением) значений
переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается
(уменьшается) во столько же раз.
№ 44.
Сравни задачи.
Машина в первый день за 9 часов прошла 522км. Во второй день она была в пути 7 ч,
увеличив скорость на 6 км/ч. Определи расстояние, которая прошла машина за эти два
дня.
Машина в первый день за 9 часов прошла 522км. Во второй день она была в пути 7 ч и
двигалась с той же скоростью. Какое расстояние прошла машина за эти два дня?
У какой из этих задач решение будет короче? Почему?
Обсуждая содержание задач, учащиеся приходят к выводу, что вторая задача,
возможно, имеет более короткое решение, т.к. скорости одинаковые.
Решим вторую задачу.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический
чертеж или таблица.
9ч 7ч
522 км
? км
скорость
время
расстояние
одинаковая
9ч
522 км
7ч
? км
1 способ
1) 522:9=58 (км/ч) – скорость машины.
2) 58 · 7=406 (км) – прошла машина во второй день.
3) 522=406=928 (км) – прошла машина за два дня.
2 способ
1) 522:9=58 (км/ч) – скорость машины.
2) 9+7+16 (ч) – была в пути машина за 2 дня.
3) 58 · 16=928 (км)
3 способ
1) 522:9=58 (км/ч) – скорость машины.
2) 9-7=2 (ч) – на столько часов машина во второй день была меньше.
3) 58· 2=116 (км)- на столько километров меньше прошла машина во второй день
4) 522+522=1044 (км) могла бы пройти машина за два дня, если бы двигалась
ежедневно по 9 часов.
5) 1044-116=928 (км)
Решение первым способом «подсказывает» таблица, а вторым- схематический
чертеж. Третий способ не является рациональным, однако, на уроке может иметь место.
Для того, чтобы задача решалась меньшим количеством действий, можно поставить
такой вопрос: Сколько километров прошла машина во второй день?
К условию данной задачи нельзя поставить вопрос, чтобы она стала простой, т.к.
получается задача с избыточными данными.
Решение первой задачи.
1) 522:9=58 (км/ч) – скорость машины в первый день.
2) 58+6=64 (км/ч) - скорость машины во второй день.
3) 64· 7=448 (км) – прошла машина во второй день
4) 522+448=970 (км) – прошла машина за два дня.
№ 50.
В первый день маляры израсходовали 32 одинаковые банки краски, а во второй – 27
таких же банок. Во второй день было израсходовано на 15 кг краски меньше, чем в
первый. Сколько килограммов краски израсходовали маляры за 2 дня?
32 б.
27б. ? кг
15 кг
Решение задач на нахождение неизвестных по двум разностям лучше начинать с
построения схематического чертежа. Важно установить, в каких банках помещаются 15 кг
краски, не израсходованной во второй день.
1 способ
1) 32-27=5 (б.)-не израсходовали во второй день, т.е в них содержится 15 кг краски.
2) 15:5=3 (кг) – в каждой банке.
3) 3·32=96 (кг) – израсходовали во второй день
4) 3·27=81 (кг) – израсходовали во второй день
5) 96+81=177 (кг)- израсходовали за два дня.
2 способ
1) 32-27=5 (б.)-не израсходовали во второй день, т.е в них содержится 15 кг краски.
2) 15:5=3 (кг) – в каждой банке.
3) 32+27=59 (б.) – израсходовали за 2 дня.
4) 3·59=177 (кг) – израсходовали за 2 дня.
3 способ
1) 32-27=5 (б.)-не израсходовали во второй день, т.е в них содержится 15 кг краски.
2) 15:5=3 (кг) – в каждой банке.
На схематическом чертеже можно выделить два отрезка, обозначающих 27 банок,
поэтому:
3) 3·27·2+15=177 (кг)
№ 67
На двух пасеках одинаковое количество ульев. С одной пасеки собрали 7946 кг
меда, а со второй- 8631 кг. Сколько ульев находится на каждой пасеке, если на
второй от каждого улья получили на 5 кг меда больше, чем на первой?
Сняли с одного улья
Количество ульев
? одинаково
?, на 5 кг больше
?
Решение.
1) 8631-7946-685 (кг) – на столько меда больше сняли со второй пасеки.
2) 685:5=137 (ул.) – было на второй пасеке (и столько же на первой)
Обратные задачи.
• На двух пасеках по 137 ульев. С первой пасеки получили 7946 кг меда. С
каждого улья второй пасеки получили на 5 кг меда больше, чем с улья первой пасеки.
Сколько килограммов меда получили со второй пасеки?
• На двух пасеках по 137 ульев. Со второй пасеки получили 8631 кг меда. С
каждого улья второй пасеки получили на 5 кг меда больше, чем с улья первой пасеки.
Сколько килограммов меда получили с первой пасеки?
• На двух пасеках по 137 ульев. С первой пасеки собрали 7946 кг меда, а со
второй – 8631 кг. На сколько килограммов меда снимали с каждого улья второй пасеки, чем с
каждого улья первой?
Эту задачу на данном этапе пока решить нельзя, т.к. делить на трехзначное число
учащиеся еще не умеют.
№ 74
520м 45м 5м
? пл.
Решение.
1 способ
1) 520-45=475 (м) – израсходовали во второй раз.
2) 475:5=95 (пл.)- сшили во второй раз.
3) 520:5=104 (пл.) – сшили в первый раз.
4) 104+95=199 (пл.)- сшили платьев за 2 раза.
Расход на одно платье
Количество платьев
Общий расход
5м
520м
5м
?
?, на 45 м меньше
2 способ
1) 520-45=475 (м) – израсходовали во второй раз.
2) 520+475=995 (м) – ткани израсходовали за два дня.
3) 995:5=199 (пл.)
3 способ
1) 520+520 – 1040 (м) – израсходовали бы, если оба раза использовали
одинаковое количество ткани.
2) 1040:5=208 (пл.) - сшили бы из этой ткани.
3) 45:5=9 (пл.) сшили из 45 м.
4) 208-9=199 (пл.)
№ 87
Прочти текст. Это задача?
1) В одном пакете было 975 г семян, в другом – на 415 г меньше. Из каждого пакета
взяли 300г семян. В каком пакте осталось меньше семян. И на сколько?
2) Можно ли ответить на вопрос, не выполняя действий?
3) Измени условие задачи, сохранив только необходимые данные.
4) Измени условие задачи так, чтобы для ее решения нужно было выполнить
действия.
Невнимательное чтение текста подтолкнет к выполнению четырех действий. Если
же вдуматься в содержание, то можно ответить на вопрос, не производя действий, а именно,
больше останется в том пакете, в котором и было больше, потому что взято из обоих пакетов
поровну. Разница масс останется прежней – 415 г.
Изменить условие задачи так, чтобы в ней были только необходимые данные,
можно так: В одном пакете было 975 г семян, в другом- на 415 г меньше, чем в первом. Из
каждого пакета семян взяли поровну. В каком пакете семян осталось меньше и на сколько?
Изменить условие задачи, чтобы для ее решения необходимо выполнить действия,
можно так: В одном пакете было 975 г семян, в другом- на 415 г меньше, чем в первом. Из
первого пакета взяли 300 г семян, из второго15 г. В каком пакете семян осталось меньше и
на сколько?
№ 91
1) Сравни задачи. У них будут одинаковые решения?
А) Заказали 8 ящиков печенья и 6 ящиков конфет. Ящик с конфетами в 3 раза
тяжелее ящика печенья. Сколько всего сладостей заказали, если печенья было 72
кг?
Б) Заказали 8 ящиков печенья и столько же ящиков конфет. Ящик с конфетами в 3
раза тяжелее ящика печенья. Сколько всего сладостей заказали, если печенья было
72 кг?
Сравнивая тексты, учащиеся могут сделать как правильные, так и ошибочные
предположения относительно решения каждой задачи.
Решение первой задачи.
8 ящ.
72 кг
6 ящ. ? кг
Масса одного ящика
Количество ящиков
Масса всех ящиков
8ящ.
72 кг
?, в 3 раза больше
6 ящ
? кг
1 способ
1) 72:8=9 (кг) - печенья в одном ящике.
2) 9·3=27 (кг) – конфет в одном ящике.
3) 27·6=162 (кг) - конфет привезли
4) 72+162=234 (кг) сладостей привезли.
Схематический рисунок поможет найти второй способ решения.
2 способ
1) 8-6=2 (ящ.) – на столько ящиков с печеньем больше, чем с конфетами.
2) 72:8=9 (кг) - печенья в одном ящике.
3) 9·2=18 (кг) – печенья в двух ящиках.
4) 72-18=54 (кг) – печенья в шести ящиках.
5) 54·3-162 (кг) - конфет привезли.
6) 72+162=234 (кг)
3 способ
1) 72·3=216 (кг) – конфет было бы в 8 ящиках.
2) 8-6=2 (ящ.) – на столько ящиков с печеньем больше, чем с конфетами.
3) 72:8=9 (кг) - печенья в одном ящике.
4) 9·2=18 (кг) – печенья в двух ящиках.
5) 18·3=54 (кг) – конфет в двух ящиках.
6) 216-54-162 (кг) - конфет привезли.
7) 72+162=234 (кг)
Решение второй задачи.
1 способ
По аналогии с первой можно решить так:
72:8·3+72=288 (кг)
2 способ
Ящиков с печеньем и конфетами одинаковое количество, каждый ящик с конфетами
тяжелее ящика с печеньем в 3 раза, значит, и общая масса больше в 3 раза, отсюда:
72·3+72=288 (кг)
Рисунок может помочь найти еще один способ решения.
72 кг
? кг
Условно в сладостях можно выделить 4 части, каждая из которых равна 72 кг, поэтому
72·4=288 (кг)
Учебник включает ряд задач на «предположение». Работу по формированию умения решать
такие задачи арифметическим методом целесообразно начинать с первых задач, включенным
в учебник, т.к. они содержат небольшие данные, и ситуацию легко можно
проиллюстрировать.
В качестве подготовительной работы можно предложить такую задачу.
В спортзале в восьми корзинах лежит 19 мячей. В красных корзинах по 2 мяча, в синих – по
3. Сколько в спортзале корзин красных и сколько синих?
Решение.
Практический метод.
Изобразим корзины прямоугольниками.
Положим в каждую корзину сначала по 2 мяча.
Видим, что сталось еще 3 мяча, распределим и их.
Делаем вывод, что в спортзале 3 синих корзины, 5 красных.
Метод перебора (подбора)
Рассуждения удобней записать в таблице, которая помогает упорядочить варианты, не
повторять их, не пропускать.
Количество
красных корзин
Количество
синих корзин
Мячей в
красных
корзинах
Мячей в синих
корзинах
Всего мячей
1
7
2
21
2+21
2
6
4
18
4+18
3
5
4
4
5
3
6
2
7
1
Решение задачи можно записать арифметическими действиями, выдвинув предположение:
Пусть все корзины в спортзале – красные, т. е в них по 2 мяча, тогда
1) 2·8=16 (м.) – лежит в корзинах.
2) 19-16=3 (м.) – не поместились в корзины.
Распределим их, добавив по одному в каждую корзину. Значит, в трех корзинах по 3 мяча
3) 8-3=5 (к.) с двумя мячами.
Можно выдвинуть другое предположение:
Пусть все мячи – синие, тогда в каждой из них по 3 мяча.
1) 3·8=24 (м.) – должно поместиться во все корзины, но 24>19.
2) 24-19=5 (м.) – не хватает, чтобфы разложить по 3 мяча, значит. В 5 корзин не
положили по 3 мяча, а положили только по 2.
3) 8-3=5 (к.) с двумя мячами
№ 99
Ответь на вопрос задачи, подобрав числа.
В коробке сидят жуки и пауки. Всего у них 8 голов и 54 ноги. Сколько жуков и
сколько пауков? (у жука – 6 ног, у паука – 8)
Автор дает указание решить задачу методом подбора, поэтому большинство учителей
рассматривают только такой метод решения. Таблица, как и прежде, дает возможность
детям убедиться в том, что рассмотрены все возможные случаи.
Всего жуков
Всего пауков
Ног у жуков
Ног у пауков
Всего ног
1
7
6
56
56+6
2
6
3
5
4
4
5
3
6
2
И т.д.
7
1
Наряду с указанным методом целесообразно решить задачу и практическим методом, что
позволяет осознать выбор каждого действия, посредством которого решается задача.
Пусть в коробке- все жуки, тогда( изображаются насекомые с шестью ногами) сколько
у них ног?
6·8=48, а по условию – 54 ноги. Почему?
На сколько ног больше должно быть у насекомых?
54-48=6
На сколько ног больше у паука, чем у жука?
Значит, 6 ног надо распределить между насекомыми, добавляя каждому по 2 ноги.
Формулируется вывод: в коробке 5 жуков и 3 паука.
Арифметический метод.
После практического решения можно записать действия
1 способ
Пусть в коробке все жуки, тогда:
1) 6·8=48 (н.) – было у них.
2) 54-48=6 (н.) – не принадлежат жукам, значит, это ноги пауков.
3) 8-6=2 (н.) – разница между количеством ног паука и жука.
4) 6:3=3 (паука) - в коробке.
5) 8-3=5 (ж.) - в коробке.
2 способ
Пусть в коробке все пауки, тогда
1) 8·8=64 (н.) – было бы у них.
2) 64-54=10 (н.) – не принадлежат паукам, значит, это ноги жуков.
3) 8-6=2 (н.) – разница между количеством ног паука и жука.
4) 10:2=5 ( ж.) - в коробке.
5) 8-5=3 (п.) - в коробке.
№ 100
Перед решением задачи полезно предложить учащимся вопросы типа:
• Оля вышла на 15 минут раньше Тани, а в школу они пришли одновременно. Кто из
них был дольше в пути и на сколько?
• Катя вышла из дома на 5 минут раньше Коли и пришла на 10 минут раньше Коли. Кто
из них был дольше в пути и на сколько?
2) два поезда идут навстречу друг другу со станций, расстояние между которыми 385
км. Первый поезд вышел на 2 часа раньше со скоростью 53 км/ч. Поезда встретились
через 3 ч после выхода второго поезда. Найди скорость второго поезда.
3ч 3ч
53 км/ч ? км/ч
385 км
1 способ
1) 53·2=106 (км) – прошел первый поезд за 2 часа.
2) 385-106=279 (км)- прошли оба поезда за три часа.
3) 279:3=93 (км/ч) – общая скорость.
4) 93-53=40 (км/ч) – скорость второго поезда.
2 способ
1) 2+3=5 (ч.) - был в пути первый поезд.
2) 53·5=265 (км) – прошел первый поезд до встречи.
3) 385-265=120 (км) – прошел второй поезд до встречи.
4) 120:3=40(км/ч) – скорость второго поезда.
№ 102
На складе было 930 ц овощей и 360 ц фруктов. Когда часть овощей и фруктов увезли,
на складе осталась третья часть овощей и четвертая часть фруктов. Сколько овощей и
сколько фруктов увезли со склада?
1 способ
Не прибегая ни к какой модели задачи, можно решить так:
1) 930:3=310 (ц) – овощей осталось.
2) 360:4=90 (ц) – фруктов осталось.
3) 930-310=620 (ц) – овощей увезли.
4) 360-90=270 (ц) – фруктов увезли.
2 способ
Его легче найти, обратив внимание на схематический чертеж. Даже не зная действий с
дробями, можно рассуждением установить, что если овощей осталась 1/3 часть, то увезли 2
части из 3. Аналогично: фруктов осталась ¼ часть, значит, увезли 3 части из 4.
930 ц
Ов.
Фр.
360ц
1) 930:3·2=620 (ц) – овощей увезли.
2) 360:4·3=270 (ц) – фруктов увезли.
№ 138
1) Сделай чертеж к задаче и реши ее.
Из Москвы и Саратова вышли одновременно навстречу друг другу два поезда.
Скорость одного поезда 62 км/ч, а другого- 74 км/ч. На каком расстоянии друг от
друга будут находиться поезда через 5 часов после начала движения, если от
Москвы до Саратова 892 км?
2) Реши задачу, заменив 5 часов на 9 часов и сделай новый чертеж.
3) Сравни чертежи. В чем разница?
4) Чем похожи решения? В чем главное различие?
Выполним чертеж.
62 км/ч 5ч 5ч 74км/ч
М А В С
? км
892 км
1 способ
892-(62+74) ·5=212 (км) - расстояние между поездами через 5 часов движения.
2 способ
892-62·5-74·5=212 (км)
3 способ
892-(62·5+74·5)= 212 (км)
Заменим в условии 5 часов на 9 часов. Чертеж, на первый взгляд, не изменится. Необходимо
выяснить, что произойдет с поездами через 9 часов: встретятся ли они и разойдутся или еще
не встретятся, или как раз состоится момент встречи.
Для этого делаем прикидку: общая скорость поездов 136 км/ч, а между ними расстояние
через 5 часов будет 212 км, значит, это расстояние они пройдут за время, меньшее двух
часов. Таким образом, через 9 часов поезда встретятся и продолжат движение каждый в
своем направлении. На чертеже укажем пройденное поездами расстояние.
62 км/ч 9ч 9ч 74 км/ч
М А В
892 км
Решение второй задачи будет другим. Условно:
АВ=МС-(МА+ВС) в первой задаче;
АВ=(МВ+АС)-МС во второй задаче.
1 способ
1) 62·9=558 (км) – прошел первый поезд за 9 часов.
2) 74·9=666(км) – прошел второй поезд за 9 часов.
3) 558+666=1224 (км) – прошли оба поезда за 9 часов.
4) 1224-892=332 (км) – расстояние между поездами через 9 часов.
2 способ
(62+74) ·9-892=332 (км)
№ 146
Одна машинистка перепечатывает в день 40 страниц рукописи, а другая- 35.
Успеют ли они перепечатать за 6 дней рукопись в 510 страниц, если будут работать
вместе?
1 способ
(40+35) ·6=450 (стр.) – напечатают обе машинистки за 6 дней.
450<510
2 способ
40·6+35·6=450 (стр.)
450<510
№ 158
1)Кузнецу принесли 5 обрывков цепи по 3звена в каждом и поручили соединить их в
одну цепь из пятнадцати звеньев. Кузнец выполнил заказ, расковав и заковав 4
звена. Как он это сделал?
2) Другой кузнец сказал, что заказ можно выполнить , расковав и заковав только 3
звена.
Постарайся найти такое решение и опиши его.
Задача решается практическим методом. Предлагается рассмотреть все предложенные
детьми варианты.
В первой задаче кузнец расковал крайнее звено в каждом обрывке, с помощью которых и
соединил звенья, заковав их.
Вторая задача имеет другое решение.
Надо расковать целое звено, получится 3 кольца и 4 обрывка. С помощью этих колец и
соединить обрывки.
На вопрос, поставленный в третьей части задачи, нельзя дать утвердительного ответа.
Расковать 3 кольца можно, с их помощью можно соединить обрывки цепи, но при этом
останется еще хотя бы одно кольцо первого звена.
№ 167
1)Реши задачу.
Со склада отправили в магазин и ларек 8 одинаковых машин с овощами. Магазин
получил 24 т овощей, а ларек в 3 раза меньше. Сколько машин с овощами
отправили в магазин и сколько машин отправили в ларек?
2)измени условие задачи так, чтобы ее можно было решить меньшим количеством
действий.
3) Измени вопрос задачи так, чтобы ее решени етоже стало короче.
Решение
1) 24:3=8 (т) – в одной части.
2) 8·4=32 (т) – всего овощей отправили со склада.
3) 32:8=4 (т) – на одной машине.
4) 24:4=6 (т) – привезли овощи в магазин.
5) 8-6=2 (м.) – привезли овощи в ларек.
Можно рассуждать по-иному.
1) 24:3-8 (т) – привезли в ларек.
2) 24+8=32 (т) – вместе.
3), 4), 5 действия так же.
Изменить условия задачи, чтобы она решалась меньшим количеством действий, можно
так: Со склада отправили в ларек и магазин 8 одинаковых машин с овощами. Магазин
получил 24 т овощей, а ларек 8 т.
Изменить вопрос задачи, чтобы она решалась меньшим количеством действий, можно
так: Сколько тонн отправили в ларек? Сколько тонн на одной машине?
№ 174
В магазин и ларек отправили несколько одинаковых машин с овощами. Магазин
получил 24 т овощей, а ларек в 3раза меньше. Сколько всего машин отвозили
овощи , если в ларек отправили 2 машины?
Решение
1 способ
1) 24:3=8 (т) – отправили в ларек.
2) 8:2=4 (т) – перевозит одна машина.
3) 24:4=6 (м.) – отправили в магазин.
4) 6+2=8 (м.) – перевозили овощи.
2 способ
1) 24:3=8 (т).
2) 24+8-32 (т).
3) 8:2=4 (т).
4) 32:4=8 (т).
3 способ
Магазин получил овощей в 3 раза больше, значит, и машин, перевозивших овощи, было в
3 раза больше.
1) 2·3=6 (м.) – привезли овощи в магазин.
2) 6+2=8 (м.).
4 способ
маг.
ларек
По смыслу задачи машины условно можно разбить на 4 равные части, поэтому: 2·4=8 (м.)
№ 178
Еще одна задача на предположение. Подробно методы решения описаны № 94.
Метод подбора.
В этой задаче у Машины на содержании 35 животных, поэтому придется пересмотреть
все варианты от 1 до 25. Это достаточно трудоемкая работа. Можно сначала определить
приблизительно, сколько кур и кроликов у Маши. Для этого надо изменять количество не
на 1, а сразу, например, на 5. Определив «границы» - проверить все значения интервал,
выбрать нужный вариант.
Решение арифметическим методом начинать с предложения:
Пусть все животные куры – куры, тогда:
1) 2·35=70 (ног) – всегда должно быть.
2) 94-70=24 (ноги) – не принадлежат курам, значит, они принадлежат кроликам. У
каждого кролика еще по одной дополнительной паре ног, поэтому
3) 24:2=12 (пар) – ног, они-то будут принадлежать кроликам. Значит, кроликов – 12.
4) 35-12=23 (голов) – кур.
Можно предположить, что все животные – кролики.
1) 4·35=140 (н.)
2) 140-94=46 (н.)
3) 46:2=23 (кур.)
4) 35-23=12 (кр.)
№ 193, 196, 194, 222
В этих задачах встречается один сюжет: собака и лиса, бегущие в одном направлении.
Учащиеся должны осознать, что такое движение в одном направлении на сближении и на
удаление. Задачи располагаются в порядке возрастания их сложности.
№ 193
Собака погналась за лисой. Лиса пробегает в минуту 320 м, а собака- 300м. Сможет
ли собака догнать лису?
За минуту лиса пробегает 320 м, а собака – 300 м, поэтому расстояние между ними
увеличивается на 320-300=20 (м) за каждую минуту.
№196
Собака погналась за лисой, находящейся от нее на расстоянии 120м. лиса пробегает
в минуту 320м, а собака – 350 м. На сколько сократится расстояние между лисой и
собакой за минуту? Через 2 минуты? Сколько минут потребуется собаке, чтобы
догнать лису?
1) 350-320=30 (м)
2)30·2=60 (м).
3) 120-60=60 (м) – останется между лисой и собакой через 2 минуты погони.
Чтобы догнать лису собаке понадобится еще 2 минуты. Формально: 60:30=2 (мин)
№ 222
Решение
В каждый момент времени собака делает 2 скачка, или 4 м.
Лиса за это время делает 3 скачка, или 3 м.
В каждый момент времени собаки приближается к лисе на 1 м.
Между ними первоначально 30 м, в каждый момент времени оно уменьшается на 1 м,
значит, собака догонит лису за 30 моментов времени или за 60 скачков, или через 120 м.
Решение запишем с помощью действий.
1) 2·2=4 (м) – преодолеет собака за 2 скачка или за один момент времен.
2) 1·3=3 (м) – преодолеет лиса за 3 скачка или один момент времени.
3) 4-3=1 (м) – сокращается расстояние за каждый момент времени.
4) 30:1=30 (мом.) – времени понадобится собаке, чтобы догнать лису.
5) 2·30=60 (ск.) – сделает собака, чтобы догнать лису.
6) 4·30 =120 (м) пробежит собака, чтобы догнать лису.
№ 204
Рассматривается ряд задач на нахождение неизвестных по двум разностям. В случае
затруднения «помощь» окажет схематический чертеж
1) 18-14=4 (ящ.) – на столько ящиков больше продали во второй день.
Т.к. во второй день продали на 32 кг. груш больше, то они помещались в 4 ящика.
Отсюда:
2) 132:4=33 (кг) в одном ящике.
3) 33·14=462 (кг) – продали в первый раз.
4) 33·18=594 (кг) – продали во второй день. (или 462+132=594).
№ 213
Кратко условие задачи удобно представить в виде равенств:
3к+1р=12ш
1р=1к=4ш
1р=?ш
Решение
Подставим в первое равенство значение одной раковины. Получим:
3к+1к+4ш=12.
4к+4ш=12ш
Уберем с каждой чашки весов по 4 шарика, получим:
4к=8ш
к=2ш
Итак, 1 кубик уравновешивает 2 шарика.
Подставим во второе равенство значение одного кубика, имеем:
1р=2ш+4ш, т.е. 1 раковина уравновешивает 6 шариков
Такие рассуждения достаточно абстрактны, и не всем детям понятны. Решим задачу
практическим методом. Изобразим кубик ■, раковину ♥, шарик ●.
■■■♥ = ●●●●●●●●●●●● ♥ = ■●●●●
Заменим раковину на первых весах кубиком и 4 шариками.
■■■■●●●● = ●●●●●●●●●●●●
Уберем с каждой чашки весов по 4 шарика.
■■■■ = ●●●●●●●●
■ = ●●
Один кубик уравновешивает 2 шарика.
Заменим на вторых весах кубик 2 шариками.
♥ = ●●●●●●
Раковина уравновешивает 6 шариков.
№ 216
В упражнении происходит знакомство с решением задач с помощью уравнений. С этой
целью предлагается задача, которую достаточно трудно решить известными детям
методами. Это необходимо для того, чтобы показать преимущества такого метода и
побудить желание учащихся в его освоении.
Заблаговременно требуется проводить подготовительную работу с целью научить детей
составлять выражения с постоянными величинами и с переменной величиной и
определять их сюжетный смысл. Для этого можно предлагать задания типа:
У пруда росли липы, осины, березы и ели. Лип росло 12, осин – в 3 раза больше, чем лип,
несколько елей, берез – на 5 меньше, чем елей. Составь различные выражения и объясни,
что они обозначают.
Решение
Учитель предлагает обозначать число елей буквой x, работать с ней как с обыкновенным
числом. Можно составить следующие выражения:
12·3 – количество осин,
x-5 = количество берез,
12+x – количество лип и елей,
12+(x-5) – количество лип и берез,
12·3+(x-5)+x – общее количество осин, берез, елей. И т.д.
При выполнении задания № 209 показать, что данная задача может быть решена и другим
методом – с помощью уравнения. Для этого надо ввести переменную величину.
Обозначить буквой можно как число хлопушек, так и число фонариков, так и число
снежинок (проще – число хлопушек). Составляем выражения с переменной.
Хлопушки-? штук
Фонарики-?, на 5 штук больше
Снежинки-?, в 3 раза больше
Пусть x штук хлопушек сделали дети, тогда они изготовили (x+5) штук фонариков, 3x
штук снежинок. Всего было сделано (x+(x+5)+3x штук украшений, а это – 135 штук
украшений. Выражения (x+(x+5)+3x и 135 имеют один и тот же сюжетный смысл, значит,
их можно приравнять. Требуется подчеркнуть, что уравнивать можно только уравнения.,
имеющие одинаковый сюжетный смысл. Получится уравнение:
(x+(x+5)+3x=135. Обратить внимание, что в уравнении наименования не пишутся. Решим
уравнение.
x+x+5+3x+135
5x=135-5
5x=130
х=130:5
х=26.
Итак, 26 хлопушек сделали дети.
Предложить решить задачу арифметическим методом. Без вспомогательной модели это
сделать трудно. Составим схематический чертеж.
Хл.
Ф.
Сн.
Решение
Все украшения можно разделить на 5 равных частей, если бы не было 5 штук фонариков.
Уберем их, при этом обще количество уменьшится на 5.
1) 135-5=130 (шт.) – украшений всего.
2) 130:5=26 (шт.) – в одной части т.е. столько хлопушек сделали дети.
№ 226
1 способ
1) 1500·9=13500 (кг) – перевезла одна машина за 9 рейсов.
2) 1500·2=3000 (кг) – перевозит вторая машина за один рейс.
3) 3000·8=24000 (кг) – перевезла вторая машина за 8 рейсов.
4) 13500+24000=375000 (кг) – перевезли обе машины.
5) 37500<435000, значит, задание шоферы не выполнят.
2 способ
1) 1500·2=3000 (кг) – перевозит вторая машина за рейс.
2) 1500+3000=4500 (кг) – перевозят обе машины за один рейс.
3) 4500·8=36000 (кг) – перевезет обе машины за 8 рейсов.
4) 36000+1500=375000 (кг) – перевезли обе машины.
5) 37500<435000, значит, задание шоферы не выполнят.
Какими способами можно закончить работу?
43500-37500=6000 (кг) – осталось привезли.
А) 6000:1500=4 (р.) – съездит первая машина.
В) 6000:3000=2 (р.) – съездит вторая машина.
С) 300+1500=4500 (кг) – перевезут за рейс обе машины.
6000-4500=1500 (кг) – осталось перевезти второй машине, значит, закончить работу
можно тремя разными способами: А, В, С.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: