Ученики на Учителя.com


Технологическая карта "Теорема Безу и её применение" 10 класс

Технологическая карта занятия по внеурочной деятельности
Класс: 10 класс
Учитель: Мартынова И.В.
Тема: Теорема Безу и её применение.
Цель: освоить применение теоремы Безу
Задачи занятия:
• способствовать развитию готовности проведения деления многочлена на многочлен и
использованию схемы Горнера;
• организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию
новых представлений;
• разобрать и доказать теорему Безу при решении проблемной ситуации: можно ли разложить
многочлен третьей степени на множители;
• рассмотреть использование теорему Безу для решения уравнений высших степеней;
• содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать
самостоятельно.
Планируемые результаты:
Личностные
• умение ясно, точно, грамотно изланать свои мысли в устной и письменной речи
• умение контролировать процесс и результат учебной деятельности.
Метапредметные:
• формирование первоначальных представлений об идеях методах математики
• умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации
• умение видеть различные стратегии решения задач
Предметные:
• умение определить значение идеи, методов и результатов алгебры для построения модели
реальных процессов и ситуаций
Оборудование: компьютер, экран, раздаточный материал
Ход занятия
Этап урока
Действия учителя
Действия учащихся
I. Организационный
момент
Наша задача сегодня в совместной
деятельности подтвердить слова
Декарта
Тема нашего занятия
«Теорема Безу» настолько значима,
что даже используется в заданиях
ЕГЭ и различных олимпиадах.
Теорема Безу облегчает решение
многих заданий, содержащих
уравнения высших степеней.
Читают изречение на экране
«Для того, чтобы совершенствовать ум,
надо больше рассуждать, чем заучивать».
Декарт (1596 -1650). Французский
математик, физик, филолог, философ.
II. Возникновение
проблемной
ситуации
Сегодня мы научимся решать
уравнения высших степеней, а
алгоритм решения выведем сами.
Решить уравнение: x
3
- 2x
2
- 6x +
4=0 . Возникает проблема: Мы
понимаем, что было бы удобно
представить левую часть уравнения в
виде произведения, и так как
произведение равно нулю, то
приравнять к нулю каждый
Решаем уравнение x
3
- 2x
2
- 6x + 4=0
множитель. Для этого надо
разложить многочлен 3-ей степени на
множители. Но как?
Проблемный вопрос. Можно ли
сгруппировать или вынести общий
множитель за скобку в нашем
случае?
Вариант ответа: нет
III. Актуализация
опорных знаний
Вспомним, как разложить на
множители многочлен х
2
- 5х - 6? .
Найдите корни трехчлена двумя
способами. Какими?
Это значит, что трехчлен делится на
каждый из двух членов: х – 6 и х + 1.
Обратите внимание на свободный
член нашего трехчлен на и найдите
его делители (±1, ±2, ±3, ±6). Какие
из делителей являются корня ми
трехчлена? (-1 и 6)
Какой вывод можно сделать?
По формуле разложения на множи ели
квадратного трехчлена:
ах
2
+ bх + с = a(x – x
1
)(x-x
2
), где х
1
и
х
2
корни трехчлена
по формуле корней квадратного уравнения
и по теореме Виета
Решают на доске от каждой группы по
одному ученику. Остальные учащиеся в
тетрадях. Получили:
х
2
- 5х - 6 = (х - 6) (х + 1).
Корни трехчлена являются делителями
свободного члена
IV. Выдвижение
проблемы
Так какой же одночлен по может
подобрать корни многочлена?
Выпишите его делители: ±1; ±2; ±4.
Найдите значения многочлена для
каждого делителя.
Какой из делителей является корнем
многочлена?
Как найти другие множите ли?
А как еще можно?
Что такое схема Горнера?
Р(х) = x
3
- 2x
2
- 6x + 4=0?
(Свободный член).
1 группа вычисляет у доски
Р(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(4)=12
Р(-4)=-68
Р(-2)=0
II группа вычисляет в тетради
х
Р(х)
1
-3
-1
7
2
-8
-2
0
4
12
-4
-68
Таким образом, один из множите лей в
разложении будет х-(-2) = x+2
Разделить «в столбик» на двучлен х + 2
по схеме Горнера
Схема Горнера – это алгоритм деле ния
многочленов, записанный для час тного
случая, когда делитель равен двучлену x–a
(Работа в группах)
Выполняем деление: первая группа «в
столбик», вторая – по схеме Горнера.
Схема Горнера
.
x
3
-2x
2
-6x+4 разделим на двучлен х +
2
1 -2 -6 41
1 -4 2 0-2
остаток
умножить
сложить
x
3
- 2x
2
- 6x + 4= (x
2
-4x+2)(x+ 2)
x
3
- 2x
2
- 6x + 4= (x
2
-4x+2)(x+ 2)=
А мог получиться остаток при
делении? Ответим на этот вопрос
позднее. А сей час назовите значение
многочлена при х = - 2.
Прошу обратить ваше внимание,
что x = - 2 является корнем
многочлена и оста ток от деления
многочлена на х-(-2) равен 0.
Рассмотрим х=1 - не является
корнем уравнения.
Отметим, что x=1 не является
корнем многочлена и остаток от
деления много члена на (х-1) равен
значению многочлена при х=1.
Вот и ответ на вопрос об остатке.
Да, остаток получился, при таком
значении х, которое не является
корнем многочлена. Давайте
продолжим схему Горнера для
остальных делителей свободного
члена.
-2
-6
-2
-4
2
Разделили без остатка.
Вернемся к уравнению: x
3
- 2x
2
- 6x + 4=
(x
2
-4x+2)(x+ 2)=0
x
2
-2x+2=0 - квадратное уравнение. Решите
его:
D
1
= 4 – 2 = 2;
Ответ: -2, .
Значение равно нулю
Попробуем разделить многочлен на х-1.
Вторая группа выполняет деление «в
столбик». Первая – по схеме Горнера
дополняет таблицу ещё одной строкой.
-2
-6
4
-2
-4
2
0
1
-1
-7
-3
Итак, x
3
- 2x
2
- 6x + 4 = (х – 1)∙( x
2
- х – 7) –
3.
V. Решение
проблемы
Вы заметили закономерность об
остатке. Какую?
А давайте запишем эту
Остаток получился, при таком значении х,
которое не является корнем многочлена
Доказательство. Разделим Р(х) c остатком
закономерность в общем виде.
Пусть Р(х) - многочлен, а - некоторое
число. Докажем
утверждение: Остаток от деления
Р(х) на (x - а) ра вен Р(а).
Значения Схема
многочлена Горнера
Р(х)=x
3
-2x
2
-6x+4
Гипотеза:
Значение многочлена при х=а равно остатку от деления
многочлена на х - а.
х Р(х)
1 -3
-1 7
2 -8
-2 0
4 12
-4 -68
1 -2 -6 4
1 1 -1 -7 -3
-1 1 -3 -3 7
2 1 0 -6 -8
-2 1 -4 2 0
4 1 2 2 12
-4 1 -6 18 -68
на (x - а). Получим Р(х)= (x - а)Q(х) + R; по
определению остатка, многочлен r либо
равен 0, либо имеет степень, меньшую сте
пени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень
многочлена меньше 1 только в случае,
когда она равна 0, и поэтому в обоих
случаях R на самом деле является числом –
нулем или отличным от нуля. Подставив
теперь в равенство Р(х)= (x - а)Q(х) + R зна
чение x = a, мы получим Р(a)= (a - а)Q(х) +
R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).
Эту закономерность отметил и
математик Безу.
Сообщение ученицы
(Слайд ) Этьенн Безу–французский
математик, член Парижской Аккадемии
Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31
марта 1730 года и умер 27 сентября 1783
года. С 1763 года Безу преподавал
математику в училище гардемаринов, а с
1768 года и в королевском артиллерийском
корпусе.
Основные работы Этьенна Безу относятся к
высшей алгебре, они посвящ ны созданию
теории решения алгебраических уравнений.
В теории решения систем линейных
уравнений он содействовал возникновению
теории определителей, развивал теорию
исключения неизвестных из систем
уравнений высших степеней, до казал
теорему (впервые сформулированную
Маклореном) о том, что две кривые порядка
m и n пересекаются не более чем в mn
точках. Во Франции и за её границей вплоть
до 1848 года был очень популярен его
шести томный "Курс математики", написан
ным в 1764-69 годах. Безу развил метод
неопределённых множителей. В
элементарной алгебре его именем назван
способ решения систем уравнений,
основанный на этом методе.
Часть трудов Безу посвящена внешней
баллистике. Именем ученого названа одна
из основных теорем алгебры.
Следствие
Какой должен быть остаток, чтобы
многочлен Р(х) делился нацело на двучлен
(х – а)? (равен 0).
Получаем следствие из теоремы Безу: Для
того, чтобы многочлен Р(х) делился
нацело на двучлен (х – а), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось
равенство Р(а) = 0.
VI. Усвоение
Решить уравнение: х
4
- x
3
- 6x
2
- x + 3
Целые корни многочлена Р(х) = х
4
- x
3
-
изученного
= 0.
6x
2
- x + 3 должны быть делителями
свободного члена, так что это могут быть
числа -1, 1, 3, -3.
Подберем корень по схеме Горнера:
-1
-6
-1
-1
-2
-4
3
х
4
- x
3
- 6x
2
- x + 3= (х + 1)(х
3
-2х
2
– 4х +3)
=0
-2
-4
3
-1
-3
-1
4
1
-1
-5
-2
-3
-5
11
-30
3
1
-1
0
Q(x) = х
3
-2х
2
– 4х +3=(x- 3)(x
2
+ x -1)=0;
x
2
+ x -1 =0; D= 5, x =
Ответ: -1; 3; .
VII. Рефлексия:
Предлагает учащимся ответить на
вопросы:
«в каких видах деятельности я
принимал участие…..»
«была ли моя деятельность
результативной……»
«какие результаты я получил……»;
Отвечают на поставленные вопросы
VIII. Итог:
Итак, что дает нам Теорема Безу?
Теорема Безу дает возможность, найдя
один корень многочлена, искать да лее
корни многочлена, степень которого
на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x
- а) Q(x), и остается решить уравнение
Q(x) = 0. Иногда этим приемом - он
называется понижением степени –
можно найти все корни много члена.
Вернуться к высказыванию Декарта.
Удалось ли вам убедиться в
справедливости слов Декарта? Как
вы их поняли для себя?
Высказывания учеников: «Заучивать
механически бесполезно, необходимо
осмысливать изучаемое», «Без
размышления ум не развивается, потому
что это будет шаблонное мышление,
которое никому неинтересно»
IX. Домашнее
задание:
Решить уравнения двумя способами:
а) х
3
- 3х
2
–х + 3 = 0;
б) х
4
+ 4х
2
– 5 = 0.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: