Презентация "Теорема Безу и следствие из неё" 11 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное

учреждение гимназия № 19 им.Н.З.Поповичевой

г.Липецка

Урок алгебры в 11 классе по теме:

«Теорема Безу и следствие из неё»

Автор: Маликова О.Г.,

учитель математики

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

(Г. Лейбниц)

Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (1646 - 1716) — немецкий философ, логик, математик

Ал-Хорезми

(ок. 783 — ок. 850) -

основатель классической алгебры.

Джерола́мо Карда́но

(1501-1576) — итальянский математик

Лодовико Феррари

(1522-1565 ) — итальянский математик, нашедший общее решение уравнения четвёртой степени.

• В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

Методы решения

уравнений

Метод разложения на множители

Метод введения

новой переменной

Функционально-

графический

метод

Методы разложения

на множители

Вынесение общего множителя за скобку

Способ

группировки

Формулы сокращённого

умножения

Решить уравнение:

x3 + 2x2 - 7x - 12 = 0

?

x3 + 2x2 - 7x - 12 = 0

Решить уравнение:

?

ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 корни многочлена

Р(х) = x3 + 2x2 - 7x – 12

Делители свободного члена:

х = - 3 - корень многочлена Р(х)

± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12

Остаток

Р(-3) = 0

Р(2) = -10

Р(1) = -16

Р(-2) = 2

Не являются

корнем

Корень

Пусть Р(х) – многочлен ненулевой степени, а – некоторое число.

• Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен Р(а).
• Если число а является корнем многочлена то при делении на

х – а получается остаток равный 0.

Р(х) = x3 + 2x2 - 7x – 12

Доказательство:

• По теореме о делении с остатком следует, что Р(х) = (х – а) Q(х) + r,

где Q(х) – многочлен степени на 1 меньше, чем р(х), r – остаток (число).

Пусть х = а, тогда Р(а) = (а – а)Q(х) + r = r. Ч.т.д.

Теорема Безу.

Остаток от деления многочлена Р(х) ненулевой степени на двучлен х – а равен Р(а).

Доказательство:

2. Если число а – является корнем многочлена, то Р(а) = 0,

следовательно r = 0 и многочлен примет вид

Р(х) = (х – а) Q(х). Значит многочлен Р(х) делится на х – а. Ч.т.д.

Следствие из теоремы Безу

Если число а является корнем многочлена Р(х), то Р(х) делится на двучлен х – а.

• Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен Р(а).
• Если число а является корнем многочлена Р(х), то Р(х) делится на двучлен х - а.

Этье́нн Безу́ (1730 - 1783) — французский математик, член Парижской академии наук

x3 + 2x2 - 7x - 12 = 0

Решить уравнение:

?

ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 корни многочлена

x3 + 2x2 - 7x – 12 = 0

(х + 3)(x2 - х - 4) = 0

Ответ: -3;

Р(х) = x3 + 2x2 - 7x – 12

Делители свободного члена:

х = -3 – корень многочлена Р(х)

± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12

- найти все целые делители свободного члена;

- из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения;

- левую часть уравнения разделить на (x - a);

- записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

- решить полученное уравнение.

!

Алгоритм решения уравнения с помощью

теоремы Безу

Подумай и реши:

Решение: r = Р(2) = 3

• При каком значении a многочлен

x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4 делится без остатка на двучлен x – 2 ?

Решение: r = Р(2) = 8а + 16

8а + 16 = 0, а = -2

3. Разложите на множители х4 + 324?

• Найдите остаток от деления многочлена

x3 - 3x2 + 6x – 5 на двучлен x - 2.

Дома: Докажите утверждение

«Многочлен степени n имеет не более n корней».

Благодарю за

внимание!

Список использованной литературы

• А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала математического

анализа (профильный уровень), 11 класс. Ч. 1 – М: Мнемозина,

2011

 

Использованные Интернет-ресурсы

 

1. http://ru.wikipedia.org

2. http://www.ref.by/refs/49/32199/1.html