Ученики на Учителя.com


Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 7 класс

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников
по математике
7 класс
Максимальный балл - 35
1. Решите задачу (7 баллов)
Петя и Вася едут в соседних вагонах поезда. Вагон, в котором едет Петя, – седьмой от
«головы» поезда, а вагон, в котором едет Вася, – десятый с «хвоста». Сколько вагонов в
поезде?
2. Решите задачу (7 баллов)
К бабушке на каникулы приехали внуки (все мальчики) – дети двух её дочерей. Один
внук сказал: «Здесь у меня братьев вдвое больше, чем дома», а другой ответил: «А у меня их
здесь втрое больше»! Сколько внуков у бабушки?
3. Решите задачу (7 баллов)
В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются под углом 91°. Чему
равен угол C?
4. Решите задачу (7 баллов)
Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1
белый, 3 синих и 5 красных квадратов, причём квадраты одинакового цвета были
одинакового размера, а квадраты разного цвета – разного размера?
5. Решите задачу (7 баллов)
Какое наибольшее число натуральных чисел от 1 до 2010 можно выбрать так, чтобы
среди них не было двух чисел, одно из которых вдвое больше другого?
Примерные варианты решений и оценка задач
Муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике
7 КЛАСС
Эвнин А.Ю.
1. Петя и Вася едут в соседних вагонах поезда. Вагон, в котором едет Петя, – седьмой
от «головы» поезда, а вагон, в котором едет Вася, – десятый с «хвоста». Сколько вагонов в
поезде?
Решение. Если Петя ближе к «голове» поезда, чем Вася, то в поезде 7 + 10 = 17
вагонов. Если же ближе к «голове» поезда Вася, то вагонов будет 7 + 10 – 2 = 15.
Замечание по оцениванию. За рассмотрение только одного случая — 2 балла. Полное
решение — 7 баллов.
Эвнин А.Ю.
2. К бабушке на каникулы приехали внуки (все мальчики) – дети двух её дочерей.
Один внук сказал: «Здесь у меня братьев вдвое больше, чем дома», а другой ответил: «А у
меня их здесь втрое больше»! Сколько внуков у бабушки?
Решение. Пусть у дочерей соответственно х и у сыновей. Из высказываний детей
следуют равенства х + у – 1 = 2(х – 1) и х + у – 1 = 3(у – 1). Решение системы даёт
х = 4, у = 3.
Ответ: 7 внуков.
Замечание по оцениванию. Если ответ угадан (с обоснованиями типа «если у первой
дочери 4 сына, а у второй 3 сына, то условие задачи выполнено»), но не доказана его
единственность — 3 балла. Полное решение — 7 баллов.
Эвнин А.Ю.
3. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются под углом 91°. Чему
равен угол C?
Решение. Пусть О — точка пересечения биссектрис. Из треугольника АВО
=−=+ 89180 AOBABOBAO
Поскольку АО и ВО — биссектрисы,
=+=+ 178)(2 ABOBAOBA
Наконец, из треугольника ABC получаем
=+−= 2)(180 BAC
Ответ: 2°.
Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.
Эвнин А.Ю.
4. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились
1 белый, 3 синих и 5 красных квадратов, причём квадраты одинакового цвета были
одинакового размера, а квадраты разного цвета – разного размера?
Решение. Пример требуемого разрезания — на рис.
Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.
Эвнин А.Ю.
5. Какое наибольшее число натуральных чисел от 1 до 2010 можно выбрать так, чтобы
среди них не было двух чисел, одно из которых вдвое больше другого?
Решение. Все числа от 1 до 2010 можно разбить на цепочки вида
а, 2а, 4а, 8а, 16а,...,
где а — нечётное число. Из каждой цепочки нельзя брать соседние числа. Поэтому если из
каждой цепочки мы будем брать числа через одно, начиная с первого, то получим
максимальное количество чисел, удовлетворяющих условию задачи. Таким образом, будут
выбраны все нечётные числа (их 1005) и все числа вида 4а, 16а, 64а, 256а, 1024а, где а
нечётное число. Количество чисел вида 4а можно найти, решая неравенство 4(2k — 1) ≤ 2010,
откуда k = 1,2,..., 251 — всего имеем 251 таких чисел. Аналогично находим количество
чисел других видов. Их соответственно 63, 16, 4 и 1. Всего имеем 1005 + 251 + 63+ 16 + 4 +
1 = 1340 чисел.
Ответ: 1340.
Замечание по оцениванию. Если получен правильный ответ, но не доказано, что
большего количества чисел выбрать нельзя, — 4 балла. Полное решение — 7 баллов.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: