ЕГЭ. Базовый уровень.
Задача № 19.
Теория делимости.
Учитель математики гимназии № 92
г. Краснодара
Экшиян Алиса Андреевна
«Если вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи,
то решайте их». Д. Пойа
Признаки делимости.
На 2: если запись числа оканчивается четной цифрой, то число делится на 2.
На 5: если запись числа оканчивается на 0 или 5, то число делится на 5.
На 10: если запись числа оканчивается на 0, то число делится на 10.
Любое число, которое делится на 10 делится на 2 и на 5.
Не любое число, которое делится на 5 будет делиться на 2 и на 10.
Не любое число, которое делится на 2 будет делиться на 5 и на 10.
На 3: если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.
На 3: если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.
На 9: если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9.
Любое число, которое делится на 9 делится и на 3.
Не любое число, которое делится на 3 делится на 9.
На 11: если сумма цифр в записи числа, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах равна или отличается на 11, то число делится на 11.
На 4: если две последние цифры в записи числа делятся на 4, то число делится на 4.
На 4: если две последние цифры в записи числа делятся на 4, то число делится на 4.
На 8: если три последние цифры в записи числа делятся на 8, то число делится на 8.
Любое число, которое делится на 8, делится и на 4.
Не любое число, которое делится на 4 будет делиться на 8.
ЗАДАЧА 1. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
ЗАДАЧА 1. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. 24 = 1·24 = 2·12 = 3·8 = 4·6.
Теория.
1. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.
2. Число делится на 8, если три последние цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.
– некоторое шестизначное число.
Число делится на 24, значит, должно делиться на 3 и на 8.
Число делится на 8, последние три цифры в записи числа - 112.
a + b + c + 1 + 1 + 2 = a + b + c + 4.
a + b + c = 2 нет возможности.
a + b + c = 5, 5 = 2 + 2 + 1.
ОТВЕТ. 221112; 212112; 122112.
Если b = 4, то a = 1 и c = 3 или a = 2 и c = 2. Получились числа 143 или 242.
- Если b = 4, то a = 1 и c = 3 или a = 2 и c = 2. Получились числа 143 или 242.
Проверяем второе условие о сумме квадратов цифр
+ + = 1 + 16 + 9 = 26 - не делится на 3 и
+ + = 4 + 16 + 4 = 24 – делится на 3 и не делится на 9. Кажется, что мы нашли это число и уже хочется записать его в ответ, но мы забыли условие задачи – все числа должны быть различны. Значит, это число нельзя записать в ответ. Продолжаем подбирать решение.
- Если b = 5, то a = 1 и c = 4 или a = 2 и c = 3. Получились числа 154 или 451, 253 или 352.
Проверяем второе условие о сумме квадратов цифр
+ + = 1 + 25 + 16 = 42 – делится на 3 и не делится на 9.
+ + = 4 + 25 + 9 = 38 – не делится на 3, а значит, не удовлетворяет условию задачи. Решение можно продолжать и дальше, но просили найти хотя бы одно такое число. И мы его нашли – это 154 или 451.
- ОТВЕТ. 154; 451; 187; 781; 275; 572; 517; 715; 528; 825;
748; 847.
ЗАДАЧА 3. Найдите четырехзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
ЗАДАЧА 3. Найдите четырехзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. Число делится на 88.
88 = 8·11,
для делимости на 11 a + c = b + d и
(три последние цифры в записи числа) должно делиться на 8.
Помним, что все цифры четные и различные.
Четные цифры это – 0, 2, 4, 6, 8.
2 + 4 = 6 + 0, то есть число 2640. Это проверка делимости на 11
Проверяем делимость на 8. 640 делится на 8.
Другую последовательность этих цифр взять нельзя (2046), потому что не выполняется делимость на 8.
Рассмотрим цифры 2, 4, 6, 8.
2 + 8 = 4 + 6. Получим число 2486 или 8426 или 8624 или 6248. Первые два числа не подходят – не выполняется признак делимости на 8, а вот два последних числа соответствуют второму условию (8624; 6248).
ОТВЕТ. 2640; 8624; 6248.
ЗАДАЧА 4. Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
ЗАДАЧА 4. Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. Так как число делится на 4, на 5 и на 6 и дает в остатке 1, значит, оно делится на 4·5·6 = 120 и в остатке так же дает 1, т.е. число может иметь вид 120n + 1, где n – некоторое натуральное число.
Такими числами могут быть числа: 121; 241; 361; 481; 601; 721;
841; 961 и еще такими числами могут быть числа 181; 301; 421;
541; 661; 781; 901.
Проверяем второе условие, о расположении цифр в записи
числа порядке убывания слева направо, получим
721; 841; 961; 421; 541. Других вариантов нет.
ОТВЕТ. 721; 841; 961; 421; 541.
ЗАДАЧА 5. Найдите четное четырехзначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
ЗАДАЧА 5. Найдите четное четырехзначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. – данное четырехзначное число. Так как число четное, то на последнем месте может стоять цифра 0; 2; 4; 6; 8.
0 в записи числа присутствовать не может, т.к. произведение
всегда будет равно 0 и не будет равно сумме цифр.
Остаются цифры 2; 4; 6; 8. a + b + c + d = a · b · c · d.
Начнем с первой цифры – 2. Число принимает вид .
Тогда a + b + c + 2 = a · b · c · 2. Так как ничего не сказано о повторении цифр, то цифры могут повторяться. Один из вариантов a = 1, b = 1, c = 4. Число 1142, 1 · 1 · 4 · 2 = 1 + 1 + 4 + 2; 8 = 8.
Так как цифры подобраны, то теперь можно составить различные комбинации расположения этих цифр.
Получим – 1124; 1412; 4112; 2114; 1214.
ОТВЕТ. 1124; 1412; 4112; 2114; 1214; 1142.
ЗАДАЧА 6. Найдите четырехзначное натуральное число, большее 2200, но меньше 3000, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
ЗАДАЧА 6. Найдите четырехзначное натуральное число, большее 2200, но меньше 3000, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. 2200 < < 3000.
Так как все цифры различны, то числа вида не может быть.
Пусть b = 3, тогда , значит, обязательно это число должно делиться на 2, т.е. оно четное и должно делиться на 3, т.е. сумма цифр числа
2 + 3 + c + d – должна делиться на 3.
Вместо d можно взять 4; 6; 8.
Пусть d = 4, тогда , 2 + 3 + c + 4 = 9 + c.
Получается, что c = 3 (9 + 3 = 12) или c = 6 (9 + 6 = 15)
или c = 9 (9 + 9 = 18). Чтобы цифры были различными необходимо выбрать 6, тогда число 2364. Это число делиться на каждую свою цифру. Также решением этой задачи могут быть числа – 2316; 2436; 2916.
ОТВЕТ. 2364; 2316; 2436; 2916.
ЗАДАЧА 7. Вычеркните в числе 45 341 527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
ЗАДАЧА 7. Вычеркните в числе 45 341 527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. Чтобы число делилось на 22, оно должно делиться на 2
и на 11 (22 = 2 · 11).
Таким образом, это число четное.
Из восьмизначного числа оно должно стать пятизначным. Вычеркивая цифры необходимо проверять признак делимости на 11.
Вычеркнем 7, получим - 45 341 52 и еще две цифры 1 и 5,
получим 45 342.
Проверим делимость на 11: 4 + 3 + 2 = 5 + 4, 9 = 9. Равенство верно, это число нам подходит.
Другой вариант решения – вычеркнуть цифры 4; 4 и 7,
получим – 53 152.
Проверяем делимость на 11: 5 + 1 + 2 = 3 + 5, 8 = 8. Опять равенство верно, значит, это число то же может являться решением задачи.
ОТВЕТ. 45 342; 53 152; 45 452.
ЗАДАЧА 8. Вычеркните в числе 75 416 303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
ЗАДАЧА 8. Вычеркните в числе 75 416 303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. Так как число должно делиться на 30, то оно должно делиться на 3 и на 10 (30 = 3 · 10).
Теория. Число делится на 10, если запись числа оканчивается цифрой 0.
Поэтому обязательно нужно вычеркнуть крайнюю правую цифру 3, получим 7 541 630.
Вычеркивая еще две цифры помним, что сумма оставшихся цифр должна делиться на 3.
Получим 75 630 (7 + 5 + 6 + 3 + 0 = 21) или
54 630 (5 + 4 + 6 + 3 +0 = 18).
Решение можно продолжить и получить другие решения.
ОТВЕТ. 75 630; 54 630;74 160; 51 630; 74130.
ЗАДАЧА 9. Цифры четырехзначного натурального числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2628. Приведите пример такого числа.
ЗАДАЧА 9. Цифры четырехзначного натурального числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2628. Приведите пример такого числа.
РЕШЕНИЕ. Данное четырехзначное число .
Теория. Число делится на 5, если запись числа оканчивается цифрой 5 или 0.
Значит, d = 5 или d = 0.
0 взять не можем, потому что в обратном порядке записать число не удастся.
Остается, что d = 5, тогда число имеет вид , а в обратном порядке .
Запишем каждое из этих чисел в виде суммы разрядных слагаемых:
= 1000a + 100b + 10c +5 и
= 1000a + 100b + 10c +5 и
= 5000 + 100c + 10b +a.
Составим разность этих чисел:
- = 1000a + 100b + 10c +5 – (5000 + 100c + 10b +a) = 1000a + 100b +10c +5 – 5000 – 100c - 10b – a = 999a + 90b - 90c – 4995.
999a + 90b - 90c – 4995 = 2628.
999a + 90b - 90c = 7623, разделим почленно это равенство на 9.
111a + 10b - 10c = 847.
10b - 10c = 847 – 111a.
Вместо a нужно взять цифру, которая позволит получить в правой части равенства круглое число (число, которое делиться на 10).
Вместо a нужно взять цифру, которая позволит получить в правой части равенства круглое число (число, которое делиться на 10).
Таким числом может быть a = 7,
получим 10b - 10c = 847 – 777,
тогда 10b - 10c = 70, а теперь почленно разделим это равенство на 10.
Получим b – c = 7. Т.е. b больше, чем c на 7. Это могут быть числа b = 9 и c = 2 или b = 8 и c = 1 и еще один вариант b = 7 и c = 0.
Получаются числа 7925; 7815 или 7705.
ОТВЕТ. 7925; 7815; 7705.
Хочу пожелать вам удачи
и успеха на экзамене.
Спасибо за внимание.
