Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 4 равно 5

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 4 равно 5. Обе окружности лежат

по одну сторону от общей касательной. Третья окружность касается обеих окружностей и

их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.

Решение.

Заметим, что расстояние между

центрами окружностей равно сумме их радиусов. Докажем сначала следующее

утверждение. Если — расстояние между центрами окружностей радиусов и

общая внешняя касательная касается окружностей в точках и то

Действительно, пусть и — центры окружностей радиусов и соответственно (см.

рис.). Из точек и опустим перпендикуляры на прямую Из прямоугольного

треугольника находим, что

Пусть — радиус третьей окружности, — её точка касания с прямой по

доказанному:

Если точка лежит между и (см. рис.), то или

Тогда откуда Если точка лежит на продолжении отрезка (см. рис.),

то или Тогда откуда

О т в е т : или