Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей" 9 класс

Геометрия -9
Тема: (1) ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ
И ОПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Ц е л и : ввести формулы, связывающие радиусы вписанной и описанной
окружностей, формировать умение применять полученные знания при решении
задач.
Х о д у р о к а
I. Организационный момент.
II. Фронтальный опрос:
1вариант 2вариант
1)
2)
III. Изучение нового материала.
1. З а д а ч а .
Д а н о : n – число сторон правильного многоугольника, a
n
– сторона. Выразить
R и r через а
n
и n.
Р е ш е н и е :
1) Рассмотрим ∆АОВ, АО = ОВ = R, ОD = r, ОD – биссектриса и медиана
равнобедренного треугольника.
2. П о в т о р е н и е .
1) Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.
2) Определение синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
3. Н а й т и : R и r, при
n = 3 (правильный треугольник).
.
n = 4 (правильный четырехугольник);
. n = 6.
.
4. З а д а ч а . Выразить сторону правильного многоугольника через R и r.
Учащиеся самостоятельно могут получить формулы:
,
при n = 3; а
n
= 2Rsin 60° = а
3
= 2rtg 60° = 2
√
3r,
при n = 4; а
4
= 2Rsin 45° = а
4
= 2r tg 45° = 2r,
при n = 6; а
6
= 2Rsin 30° = R, а
6
= 2rtg 30° = .
,
n
180
DОВ,
n
360
АОВ
.
n
180
2tg
a
r
n
180
2tg
a
n
180
tg
DB
ODr
OD
DB
n
180
tg
n
180
2sin
a
R
,
n
180
2sin
a
n
180
2sin
DB
OBR
ОВ
DВ
n
180
sin,
2
а
DВ
n
nn
nn
32
a
2tg60
a
r,
3
a
2
3
2
a
2sin60
a
R
2
a
2tg45
a
r,
2
a
2
2
2
a
2sin45
a
R
2
3a
2tg30
a
r a,
2
1
2
a
2sin30
a
R
n
180
tg2rа,
n
180
2Rsinа
nn
2R
2
2
2R
3
2r
Выведенные формулы можно проиллюстрировать рисунками.
III. Закрепление изученного материала.
Решение задач по готовым чертежам.
Правильные многоугольники
а – сторона многоугольника, R (r) – радиус описанной (вписанной) окружности,
О – центр многоугольника.
Найти количество сторон многоугольника.
О т в е т : n = 18.
Зная один из элементов (а, R или r), найти два других.
Решение (№ 2).
а ) Д а н о : а.
Н а й т и : R, r.
, .
б ) Д а н о : R.
Н а й т и : а, r.
в) Д а н о : r.
Н а й т и : а, R.
IV. Итог урока.
– Какие правильные многоугольники уже рассматривались в курсе геометрии?
– Приведите пример такого выпуклого многоугольника, у которых все стороны
равны, но он не является правильным.
– Назовите выпуклый многоугольник, у которого все внешние углы прямые.
Домашнее задание: подготовить тематическую таблицу «Правильный
многоугольник»;
n
180
2sin
a
R
n
180
2tg
a
r
n
180
tg
n
180
sin4r
n
180
tg2ar,
n
180
2R2sina
n
r
n
n
rtg
R
n
rtga
180
cos
180
sin2
180
2
;
180
2
Геометрия -9
Тема: (2) ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ
И ОПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Ц е л и : ввести формулы, связывающие радиусы вписанной и описанной
окружностей, . формировать навык применения полученных знаний при решении
задач.
Х о д у р о к а
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний
1. И н д и в и д у а л ь н а я р а б о т а .
Карточка 1.
Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружности
правильного n-угольника.
Карточка 2.
Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного
треугольника, четырехугольника, шестиугольника. Сделайте рисунок.
Карточка 3.
Найдите выражение для стороны а
n
правильного n-угольника через радиус R
описанной около него окружности и радиус r вписанной окружности. Вычислите а
n
при n = 3, 4, 6.
2. Ф р о н т а л ь н а я р а б о т а по таблице «Правильные многоугольники».
IV. Самостоятельная работа:
1вариант 2вариант
1)
2)
Правильные многоугольники
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все углы и
стороны равны. Существуют правильные многоугольники с любым числом сторон
n, где n ≥ 3. Правильный n-угольник имеет одни и те же углы,
.
Вокруг всякого правильного n-угольника можно описать окружность. Центр
окружности – точка пересечения биссектрис углов.
В каждый правильный многоугольник можно описать окружность. Центр
окружности – точка пересечения биссектрис углов.
Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют общий
центр. Он называется центром данного правильного многоугольника.
Число сторон
многоугольника, n
Выражение стороны правильного
многоугольника через
R
r
3
4
a
4
= 2 r
6
a
6
= R
n
a
n
= 2Rsin
a
n
= 2r tg
C помощью таблицы можно увидеть решение задач 18, 26.
.
n
2n
180
n
360
β
3Rа
3
32rа
3
2Rа
4
3
2r
а
6
n
180
n
180
III. Решение задач.
1. Решение задач по готовым чертежам.
Найти количество сторон.
1) .
180°n – 360° = 150°n.
30°n = 360°.
n = 12.
2) α = 140°.
.
180°n – 360° = 140°n.
40°n = 360°.
n = 9.
3) α + 2α + 2α = 180°.
5α = 180°.
α = 36°.
.
n = 10.
4)
Д а н о :
а
R
r
2 . Р е ш е н и е з а д а ч .
№ 17.
Сторона правильного вписанного треугольника .
Рассмотрим ∆АОВ – равнобедренный, ОD – высота, а значит, медиана АD =
DВ, АО = R, ОD = (по условию).
АВ = R
√
3, что и требовалось доказать.
150
2180
n
n
140
n
2n180
36
n
360
2
a
r,
2
a
R
2
2R
r,2Ra
r2R,2a r
3Rа
3
2
R
,
2
3
4
R
АD
2
2
R
R
№ 19.
№ 20.
Д а н о : окр. (О, R
1
), R
1
= 4 дм,
∆АВС – вписанный, правильный.
BCMN – квадрат.
Н а й т и : О, В = R
2
.
.
– сторона квадрата.
.
IV. Итог урока.
V. Домашнее задание: №№
.
3
6a
3
2a
2Rа
;
3
a
R3Rа
4
3
343Rа
3
34
62
2
34
2
2Rа
4
4
a
R
Геометрия -9
Тема: ( 3) ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ
И ОПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Ц е л ь : закрепить знания в ходе решения задач.
Х о д у р о к а
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
Задача № 21.
Наибольший размер будет иметь сторона квадрата, вписанного в данную
окружность, R = 2 cм.
а
4
= R см.
Задача № 22.
Сечение конуса винта имеет наибольший размер, если оно представляет собой
правильный треугольник, вписанный в окружность заданного радиуса R = 1 cм.
а
3
= R см.
III. Решение задач № 26, 27, 28.
IV. Самостоятельная работа.
В а р и а н т I .
1. Дана ломаная А
1
А
2
А
3
А
4
, у которой звенья А
1
А
2
= 3 см, А
2
А
3
= 4 см и А
3
А
4
= 2
см. Может ли длина отрезка A
1
A
4
быть равной 10 см?
2. Сумма углов выпуклого многоугольника в 2 раза меньше суммы внешних
углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого
многоугольника.
222
33
3. Расстояния от точки А до точек В и С равны 3 см и 7 см соответственно, а
расстояния от точки D до точек В и С равны 11 см и 1 см соответственно.
Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
В а р и а н т I I .
1. Точки А
1
, А
2
, А
3
и А
4
– вершины равнобокой трапеции, одно из оснований
которой равно 8 см, а боковая сторона – 12 см. Может ли длина второго
основания быть равной 36 см?
2. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов,
взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого
многоугольника.
3. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике биссектрисы двух углов,
прилежащих к одной стороне, образуют угол, равный полусумме двух других углов
четырехугольника.
V. Итог урока.
– Какие задания вызвали затруднения при решении?
Домашнее задание:
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: