Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости. Задачи на пропорции" 6 класс

Урок в 6 классе по теме
"Задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости.
Задачи на пропорции"
Цели урока:
• решение более сложных задач на пропорциональные величины («Сложное
тройное правило»);
• развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей
и их способности рассуждать, ставить вопросы и отвечать на них, т. е речи
обучаемых;
• расширение кругозора при решении старинных практических или
правдоподобных) задач;
• формирование представлений о богатстве культурно – исторического
наследия человечества.
Ход урока
I. Организационный момент:
Сегодня приступаем к решению более сложных, но не менее интересных задач на
пропорциональные величины.
Изучение пропорций и указанных зависимостей имеет большое значение для
последующего изучения математики.
Позже с помощью пропорций вы будете решать задачи по химии, физике и
геометрии.
С чего же начинали?
1. Познакомились с понятиями «отношение» , «пропорция»
(отношение - ………., пропорция - ………(ожидаются ответы учащихся)
2. Научились решать пропорции и выяснили, что основной способ их решения
должен опираться на ……. (основное свойство пропорций)
3. Научились выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид
зависимости между ними (прямая или обратная зависимости)
4. Научились делать краткую запись условия задачи и составлять пропорцию
(уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой
вверх)
Но не забываем, что разбирали способ решение задач вообще без пропорций
(применению этого приёма должны предшествовать вопросы, задаваемые при
решении задач: во сколько раз увеличилась или уменьшилась величина?)
Будем продвигаться вперёд от простого к сложному.
II. Устная работа.
1. Из данных величин выберите те, которые являются прямой или обратной
пропорциональностью:
а) длина стороны квадрата и периметр;
б) длина стороны квадрата и его площадь ;
в) длина и ширина прямоугольника при заданной площади ;
г) скорость автомобиля и путь, который он проедет за определённое время;
д) скорость туриста, идущего с турбазы на станцию, и время, за которое он дойдёт
до станции;
е) возраст дерева и его высота;
ж) объём стального шарика и его масса;
з) число прочитанных страниц в книге и число страниц, которые осталось
прочитать.
Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа, оставшихся страниц часто
принимают за пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше
осталось прочитать. Обратите внимание на то, что увеличение одной и
уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.
2. Разберём задачу:
Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90
страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30
страниц.
3. Рассмотрим задачи («провокационного характера»):
а) За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа.
б) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов.
в) * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями,
удваивается. За сколько недель пруд покроется лилиями наполовину, если
полностью он покрылся лилиями за 8 недель?
(Решение: так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за
неделю до того, как пруд полностью покроется лилиями, его площадь была ими
покрыта наполовину, т.е. пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель)
III. Решение задач:
(условие задач предоставлено на доске)
1. из «Арифметики» А.П. Киселёва: 8 аршин сукна стоит 30 рублей. Сколько
стоит 15 аршин этого сукна?
Краткое условие и два способа решения предлагается очень быстро сделать
учащимся на доске.
1 способ:
2 способ:
количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза
больше
Х=30*15/8=56р25к
2. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20
человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор.
Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради
того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты
построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя,
арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5
дней?
На доске записано незаконченное краткое условие:
Дополнить условие и решить задачу двумя способами.
I вариант: пропорцией
II вариант: без пропорций
В это же время двое учащихся работают у доски.
I.
II.
Х = 20*6 = 120 работников
3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе
быть 10 месяцев, и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило
на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить?
Старинная задача.
(запись на доске)
(заполнение краткой записи учащимися)
Решить эту задачу без пропорции:
Количество месяцев увеличивается в раз, значит количество солдат
уменьшается в раз.
560 : = 392
560 – 392 = 168 (солдат надо убавить)
В давние времена для решения многих типов задач существовали
специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и
обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух
величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное
правило».
Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось
найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для
четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на
применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное
правило».
Попробуем !!!
4. Возьмём задачу, которая предлагалась вам как дополнительная.
Задача из домашней работы.
Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?
Ответ у задачи получается ………?
Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:
Куриц
дней
3
3
12
12
В ходе диалога нужно выяснить:
- Во сколько раз увеличилось число кур? (в 4 раза)
- Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось?
(увеличилось в 4 раза)
- Во сколько раз увеличилось число дней? (в 4 раза)
- Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)
Х = 3*4*4 =48(яиц)
5. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться
писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона
Писцов строк листов
1 8 15
Х 9 405
Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.
количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается от
увеличения дней работы
(писцов).
Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.
Одну задачу, с шестью величинами, возьмите в качестве необязательного
домашнего задания те учащиеся, которые любят распутывать головоломные
задачи.
6. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина,
причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125
фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть
по 3 лампы?
из «Арифметики» А.П. Киселёва
комнат дней керосина лампы
18 48 120 4
20 Х 125 3
Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно
которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись
Х = …..
Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения
количества керосина в
раз и
от уменьшения ламп в раза.
Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20
раза. 18
Х = 48 * * : = 60 (дней)
Окончательно Х = 60.
Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.
IV. Итог урока.
Решали весь урок теперь уже почти забытые задачи. Двигались от простого к
сложному. Было видно, что старинные задачи вызывают интерес, приятно
наблюдать вашу упорную работу при решении задач, провели хорошую
тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности.
Понятными кажутся объяснения, предлагаемые учителем, но вы должны и
самостоятельно продвигаться вперёд.
V. Домашнее задание.
1. 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна
съедят 10 синиц за 10 дней?
Синиц дней зерна
100 100 100
10 10 х
Х = 100: 10: 10 = 1кг
2. Старинная задача.
Дирхем - денежная единица.
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов за два месяца, какой доход
принесут 8 дирхемов за три месяца?
Дирхемов срок доход
10 2 5
8 3 х
3.
*
Дополнительная задача.
Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день,
может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней.
Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая в течении 80 дней по 10
часов в день, если ширина должна быть 10 м, глубина 18 м?
Длина человек дней часов ширина глубина
96 26 40 12 20 12
Х 39 80 10 10 18
Х = 320
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: