Ученики на Учителя.com


Презентация "Теорема Чевы и Менелая"

Скачать материал
Подписи к слайдам:
  • «Теоремы Чевы и Менелая»
  • Работа выполнена учеником 9 класса Муниципального бюджетного
  • общеобразовательного учреждения «Гимназия» Щегловым Никитой
  • Научный руководитель –
  • учитель математики МБОУ «Гимназия»
  • Терехова Надежда Анатольевна 2013 год
Цель исследования:
  • обобщение и систематизация теоретического и практического материалов по данной теме.
Гипотеза:
  • желание изучать и применять неизвестные теоремы при решении задач, может способствовать развитию интереса к геометрии, как науке.
Замечательные точки треугольника:
  • точка пересечения биссектрис;
  • точка пересечения серединных
  • перпендикуляров;
  • точка пересечения высот (ортоцентр);
  • точка пересечения медиан (центроид).
Теорема Менелая
  • А
  • В
  • С
  • Пусть на сторонах АВ, ВС и продолжении стороны АС треугольника АВС взяты соответственно точки
  • Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
  • В1
  • С1
  • А1
  • .
  • .
  • .
Теорема Чевы
  • Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки
  • Прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке
  • тогда и только тогда, когда
  • .
  • А
  • В
  • С
  • С1
  • А1
  • В1
Практическая часть:
  • Задача 1
  • Задача 2
  • Задача 3
  • Задача 4
  • Задача 5
Задача 1
  • Точка N лежит на стороне АС треугольника АВС, причём
  • AN:NC=2:3. Найти, в каком отношении медиана АМ
  • делит отрезок BN.
  • K
  • А
  • В
  • С
  • N
  • M
  • 2x
  • 3x
  • КС = 3у, МС = 5у
  • ВМ = МС = 5у.
  • 1 способ
  • Ответ:
2 способ
  • 2 способ
  • А
  • В
  • С
  • N
  • M
  • 2x
  • 3x
  • Рассмотрим треугольник CBN и секущую АМ. Тогда по теореме Менелая получим:
Задача 2
  • Точки D и F лежат на сторонах АВ и ВС
  • треугольника АВС, при этом AD:DBC=1:2, при этом
  • BF:FC=2:3.
  • Прямая DF пересекает прямую АС в точке К.
  • Найти отношение АК:КС.
  • А
  • В
  • С
  • К
  • F
  • D
  • 2x
  • 2y
  • x
  • 3y
  • Рассмотрим треугольник ABC и
  • секущую KF. Тогда, по теореме Менелая
  • получим:
Задача 3
  • Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются
  • в одной точке.
  • А
  • В
  • С
  • С1
  • А1
  • В1
  • по свойству биссектрисы:
  • Перемножив полученные равенства, получим
  • Т.О. по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке.
Задача 4
  • Доказать, что прямые, проходящие через вершины
  • треугольника и точки касания вписанной окружности,
  • пересекаются в одной точке, называемой точкой
  • Жергона.
  • (французский математик Жозеф Диаз Жергон, 1776 – 1831 г.г)
  • А
  • В
  • С
  • С1
  • А1
  • В1
  • по свойству касательных:
  • АВ1 =АС1, ВС1 = ВА1, СА1= СВ1.
  • Тогда
  • Следовательно, по теореме Чевы,
  • данные прямые пересекаются в одной точке.
Задача 5
  • Докажите, что прямые, проходящие через вершины
  • треугольника и точки касания вневписанных
  • окружностей, пересекаются в одной точке
  • (точке Нагеля).
  • немецкий учёный Нагель Христиан Генрих фон
  • (1803-1882 г.г).
  • В
  • A
  • C
  • В1
  • А1
  • С 1
  • О1
  • О2
  • О
Источники
  • Геометрия на профильном уровне обучения. Учебно-методическое пособие
  • /Сост. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. – 76 с.
  • Математика: задание №1 для 9-х классов (2009 – 2010 уч. год)
  • /Сост. Т.С. Пиголкина. – М.: МФТИ, 2009. – 28 с.
  • 3. Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений
  • /Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение,
  • 2009. – 384 с.

Математика - еще материалы к урокам: