Текстовые задачи на смеси и сплавы

Текстовые задачи на смеси и сплавы
1. Основные понятия
Текстовые задачи на смеси и сплавы при всей их кажущейся простоте часто
вызывают проблемы у учащихся. При решении текстовых задач на смеси постоянно
приходится работать со следующими понятиями:
абсолютное содержание вещества в смеси;
относительное содержание вещества в смеси.
Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества,
выраженное в обычных единицах измерения (грамм, литр и т.д.).
Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного
содержания к общей массе (объему) смеси:
Относительное содержание = абсолютное содержание.
общая масса
Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным
содержанием. При этом используются различные формы записи относительного
содержания вещества: в долях и в процентах. Например, относительное содержание
0,05 = 1 = 5%.
20
Чтобы проиллюстрировать эти понятия, предложим, что в сосуд, содержащий
450г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося
раствора 500 г.
В растворе абсолютное содержание соли 50 г,
а относительное – 50 г = 1 = 0,1 = 10%.
500 г 10
Аналогично, в растворе абсолютное содержание воды 450 г,
а относительное – 450 г = 9 = 0,9 = 90%.
500 г 10
Приведенные выше простые выкладки удобно проиллюстрировать следующей
условной картинкой (подобные картинки следует рисовать в процессе решения
задач на смеси):
Общая масса 500 г
Абсолютное содержание соли = 50г.
Относительное содержание соли = 50 г = 0,1
500 г
Абсолютное содержание воды = 450 г.
Относительное содержание воды = 450 г = 0,9
500 г
Соль 50 г
Вода 450 г
Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчету абсолютного и
относительного содержания компонентов всех смесей, фигурирующих в условии
задачи. Хотя часто эта информация избыточна, лучше не ломать голову над тем, что
может понадобиться в процессе решения, а что нет.
2. Типичные ситуации
2.1. Смешали две смеси
При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если
известны только относительные содержания, то нужно:
1) подсчитать абсолютные содержания;
2) сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные
содержания компонент смеси;
3) подсчитать относительные содержания компонент смеси.
Пример. Смешали 500 г 10% - го раствора соли и 400 г 55% раствора соли.
Определите концентрацию соли в смеси.
Решение. Условие задачи удобно представить в виде рисунка:
500 г 400 г
Теперь дополним эту картинку недостающей информацией.
Первый раствор
1. Абсолютное содержание соли: 500г (общая масса) 0,1 (относительное
содержание соли) = 50 г.
2. Абсолютное содержание воды: 500 г ( общая масса) – 50 г (абсолютное
содержание соли) = 450 г.
3. Относительное содержание воды:
450 г (абсолютное содержание воды) = 0,9 = 90%.
500 г (общая масса)
Хотя две последние величины не потребуются при решении задачи, мы их
подсчитали для полноты картины; в более сложных задачах также лучше не ломать
Соль 10%
Вода
Соль 55%
Вода
Соль ? %
Вода
голову над тем, понадобится или нет какая-то величина в будущем, а считать все
абсолютные и относительные содержания.
Второй раствор
4. Абсолютное содержание соли: 400 г (общая масса) 0,55 (относительное
содержание соли) = 220 г.
5. Абсолютное содержание воды: 400 г (общая масса) – 220 г (абсолютное
содержание соли) = 180 г.
6. Относительное содержание воды:
180 г (абсолютное содержание воды) = 0,45 = 45%.
400 г (общая масса)
Смесь двух исходных растворов
7. Общая масса: 500 г (масса первого раствора) + 400 г (масса второго раствора)
= 900 г.
8. Абсолютное содержание соли: 50 г (абсолютное содержание соли в первом
растворе) + 220 г (абсолютное содержание соли во втором растворе) = 270 г.
9. Относительное содержание соли:
270 г (абсолютное содержание соли) = 27 = 30%.
900 г (общая масса) 90
10. Абсолютное содержание воды: 900 г (общая масса) – 270 г (абсолютное
содержание соли) = 630 г.
Это же значение можно получить, сложив абсолютное содержание воды в первой
смеси (450 г) и абсолютное содержание воды во второй смеси (180 г).
11. Относительное содержание воды:
630 г (абсолютное содержание воды) = 63 = 70%
900 г (общая масса) 90
(хотя две последние величины не требуются для решения задачи, мы их
подсчитали для полноты картины).
Итак, концентрация соли в смеси двух исходных растворов – 30%.
В процессе решения задачи удобно наносить всю найденную информацию на
исходную картинку, так что к концу решения она будет выглядеть следующим
образом:
500 г 400 г
900 г
Соль 10% = 50 г
Вода 90% = 450 г
Соль 55% = 220 г
Вода 45% = 180 г
Соль 270 г = 30%
Вода 630 г = 70%
2.2. Отлили часть раствора / отрезали кусок сплава
При этой операции, очевидно, остается неизменной концентрация веществ (
если из чашки отлить немного чая в другую чашку, то чай не станет слаще).
Поэтому после отливания части раствора относительные содержания можно
считать известными и необходимо подсчитывать абсолютные содержания.
Пример. От куска сплава золота с серебром массой 500 г и 10% - м
содержанием золота отрезали 20 г. Определите количество золота и серебра в
отрезанном куске.
Решение. Условие задачи удобно представить в виде рисунка:
500 г 20 г
Отрезали 20 г
Теперь дополним эту картинку недостающей информацией.
Исходный сплав
1. Абсолютное содержание золота: 500 г (общая масса) 0,1 (относительное
содержание золота) = 50 г.
2. Абсолютное содержание серебра: 500 г (общая масса) – 50 г (абсолютное
содержание золота) = 450 г.
3. Относительное содержание серебра:
450 г (абсолютное содержание серебра) = 0,9 = 90%.
500 г (общая масса)
Отрезанный кусок
4. Относительное содержание золота: 10% (осталось неизменным).
5. Абсолютное содержание золота: 20 г (общая масса) 0,1 (относительное
содержание золота) = 2 г.
6. Относительное содержание серебра: 90% (осталось неизменным).
7. Абсолютное содержание серебра: 20 г (общая масса) 0,9 (относительное
содержание серебра) = 18 г.
Итак, в отрезанном куске содержится 2 г золота и 18 г серебра.
К концу решения картина будет выглядеть так:
500 г 20 г
Отрезали 20 г
Золото 10% = 50 г
Серебро 450 г = 90%
Золото 10% = 2 г
Серебро 90% = 18 г
3. Примеры решения задачи на смеси
1. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4%
примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?
Решение. Условие задачи можно представить в виде следующей картинки:
Руда 24 т Металл x т
Процесс плавки
Теперь дополним эту картинку недостающей информацией.
Руда
1. Абсолютное содержание примесей: 0,4 24 = 9,6 т.
2. Абсолютное содержание чистого металла: 24 – 9,6 = 14,4 т.
Металл
3. Абсолютное содержание примесей: 0,04x т.
4. Абсолютное содержание чистого металла: x 0,04x = 0,96x т.
Картинка будет выглядеть следующим образом:
Руда 24 т. Металл x т
Процесс плавки
В процессе плавки из руды удаляется большая часть примесей, а общее
количество чистого металла остается неизменным, то есть справедливо равенство
0,96x = 14,4, откуда x = 15.
Ответ: 15 т.
2. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг
больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке –
10%, во втором – 40%. После сплавливания этих двух слитков получится слиток,
процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного
слитка.
Чистый металл
Примеси 40%
Чистый металл
Примеси 4%
Черный металл
14,4 т
Примеси 9,6 т
Чистый металл
0,96x т
Примеси 0,04x т
Решение. Пусть x кг – масса первого слитка, тогда масса второго слитка равна
(x + 3) кг. Первый слиток содержит 0,1x кг меди, а второй – 0,4(x + 3) кг. Поэтому
сплав содержит (0,5x + 1,2) кг меди, а его масса равна (2x + 3) кг. Поэтому
относительное содержание меди в сплаве равно 0,5x + 1,2.
2x + 3
По условию задачи эта величина равна 0,3: 0,5x + 1,2 = 0,3
2x + 3
Решая это уравнение, мы получим x = 3, так что масса сплава равна 9 кг.
Ответ: 9 кг.
3. В сосуде находилось 9 кг раствора соли в воде. Из сосуда отлили часть
раствора и добавили количество воды, равное по весу отлитой части раствора.
Затем опять вылили столько же по весу раствора, сколько в первый раз. После этого
количество соли в сосуде уменьшилось в 9 раза по сравнению с исходным
количеством. 4
Определить первоначальное количество соли в сосуде, если известно, что вес
добавленной воды вдвое меньше первоначального веса соли в растворе.
Решение. Исходную ситуацию можно представить в виде следующей картинки:
Общая масса 9 кг
Для того чтобы иметь возможность писать формулы, нам нужно знать
абсолютное и относительное содержание соли или воды (хотя бы в виде букв).
Имея в виду последнее предложение из текста задачи ( «определить первоначальное
количество соли», «вес добавленной воды вдвое меньше первоначального веса соли
в растворе»), где фигурирует «первоначальное количество соли», то есть ( в нашей
терминологии) « абсолютное содержание соли», мы обозначим абсолютное
содержание соли в исходном растворе x кг. Соответственно, абсолютное
содержание воды (9 – x) кг, относительное содержание соли x ,
9
относительное содержание воды 9 x .
9
Теперь первоначальную картинку можно заменить более содержательным
рисунком:
Общая масса 9 кг
Начнем теперь анализировать ( и изображать графически ) ситуации,
описанные в тексте задачи.
x
На первом шаге из сосуда отлили 2 кг раствора (напомним, что по условию
отлили столько же, сколько затем добавили воды, а вес добавленной воды вдвое
меньше абсолютного содержания соли в первоначальном растворе, то есть x). Это
наша вторая стандартная ситуация, и мы знаем, что при этом не меняется
концентрация. Графически это можно изобразить следующим образом:
Общая масса 9 кг
Отлили Осталось
x
Общая масса 2 кг Общая масса 9 x кг
2
x
Соль x кг, концентрация 9
9 - x
Вода (9 – x) кг, концентрация 9
x
Соль x кг, концентрация 9
9 - x
Вода (9 – x) кг, концентрация 9
Соль? кг,
x
концентрация 9
Вода ? кг,
9 x
концентрация 9
Соль ? кг,
x
концентрация 9
Вода ? кг,
9 x
концентрация 9
Зная общую массу отлитого раствора и концентрацию соли и воды, можно
подсчитать абсолютное содержание соли и воды в отлитой части раствора:
1. Абсолютное содержание соли равно
x кг x = x
2
кг.
2 9 18
2. Абсолютное содержание воды равно
x кг 9 x = x(9 x) кг.
2 9 18
Подобным же образом для оставшейся части раствора мы имеем:
3. Абсолютное содержание соли равно
9 x кг x = 18x x
2
кг.
2 9 18
4. Абсолютное содержание воды равно
9 x кг 9 x = (18 x)(9 x) кг
2 9 18
Теперь предыдущая картинка может быть уточнена:
Общая масса 9 кг
Отлили Осталось
Общая масса x кг Общая масса 9 – x кг
2 2
x
На втором шаге в сосуд добавили 2 кг воды. Это наша первая стандартная
ситуация, и мы знаем, что при этом складываются абсолютные содержания
веществ.
18x x
2
Поэтому в результате после добавления воды в сосуде окажется 18 кг
соли
162 18x + x
2
и 18 кг воды.
После этого следует рассчитать относительное содержание соли и воды:
18x x
2
1. Относительное содержание соли равно 162 .
162 18x + x
2
2. Относительное содержание воды равно 162
x
Соль x кг, концентрация 9
9 x
Вода (9 – x) кг, концентрация 9
x
2
Соль 18 кг,
x
концентрация 9
18x x
2
Соль 18 кг,
x
концентрация 9
x(9 x)
Вода 18 кг,
9 x
концентрация 9
(18 x)(9 x)
Вода 18 кг,
9 x
концентрация 9
Графически это можно изобразить следующим образом:
Раствор Вода
x x
Общая масса 9 2 кг Общая масса 2 кг