Ученики на Учителя.com


Текстовые задачи на смеси и сплавы

Текстовые задачи на смеси и сплавы
1. Основные понятия
Текстовые задачи на смеси и сплавы при всей их кажущейся простоте часто
вызывают проблемы у учащихся. При решении текстовых задач на смеси постоянно
приходится работать со следующими понятиями:
▪€ абсолютное содержание вещества в смеси;
▪€ относительное содержание вещества в смеси.
Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества,
выраженное в обычных единицах измерения (грамм, литр и т.д.).
Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного
содержания к общей массе (объему) смеси:
Относительное содержание = абсолютное содержание.
общая масса
Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным
содержанием. При этом используются различные формы записи относительного
содержания вещества: в долях и в процентах. Например, относительное содержание
0,05 = 1 = 5%.
20
Чтобы проиллюстрировать эти понятия, предложим, что в сосуд, содержащий
450г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося
раствора 500 г.
В растворе абсолютное содержание соли 50 г,
а относительное – 50 г = 1 = 0,1 = 10%.
500 г 10
Аналогично, в растворе абсолютное содержание воды 450 г,
а относительное – 450 г = 9 = 0,9 = 90%.
500 г 10
Приведенные выше простые выкладки удобно проиллюстрировать следующей
условной картинкой (подобные картинки следует рисовать в процессе решения
задач на смеси):
Общая масса 500 г
Абсолютное содержание соли = 50г.
Относительное содержание соли = 50 г = 0,1
500 г
Абсолютное содержание воды = 450 г.
Относительное содержание воды = 450 г = 0,9
500 г
Соль 50 г
Вода 450 г
Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчету абсолютного и
относительного содержания компонентов всех смесей, фигурирующих в условии
задачи. Хотя часто эта информация избыточна, лучше не ломать голову над тем, что
может понадобиться в процессе решения, а что нет.
2. Типичные ситуации
2.1. Смешали две смеси
При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если
известны только относительные содержания, то нужно:
1) подсчитать абсолютные содержания;
2) сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные
содержания компонент смеси;
3) подсчитать относительные содержания компонент смеси.
Пример. Смешали 500 г 10% - го раствора соли и 400 г 55% раствора соли.
Определите концентрацию соли в смеси.
Решение. Условие задачи удобно представить в виде рисунка:
500 г 400 г
Теперь дополним эту картинку недостающей информацией.
▪ Первый раствор
1. Абсолютное содержание соли: 500г (общая масса) 0,1 (относительное
содержание соли) = 50 г.
2. Абсолютное содержание воды: 500 г ( общая масса) – 50 г (абсолютное
содержание соли) = 450 г.
3. Относительное содержание воды:
450 г (абсолютное содержание воды) = 0,9 = 90%.
500 г (общая масса)
Хотя две последние величины не потребуются при решении задачи, мы их
подсчитали для полноты картины; в более сложных задачах также лучше не ломать
Соль 10%
Вода
Соль 55%
Вода
Соль ? %
Вода
голову над тем, понадобится или нет какая-то величина в будущем, а считать все
абсолютные и относительные содержания.
▪ Второй раствор
4. Абсолютное содержание соли: 400 г (общая масса) 0,55 (относительное
содержание соли) = 220 г.
5. Абсолютное содержание воды: 400 г (общая масса) – 220 г (абсолютное
содержание соли) = 180 г.
6. Относительное содержание воды:
180 г (абсолютное содержание воды) = 0,45 = 45%.
400 г (общая масса)
▪ Смесь двух исходных растворов
7. Общая масса: 500 г (масса первого раствора) + 400 г (масса второго раствора)
= 900 г.
8. Абсолютное содержание соли: 50 г (абсолютное содержание соли в первом
растворе) + 220 г (абсолютное содержание соли во втором растворе) = 270 г.
9. Относительное содержание соли:
270 г (абсолютное содержание соли) = 27 = 30%.
900 г (общая масса) 90
10. Абсолютное содержание воды: 900 г (общая масса) – 270 г (абсолютное
содержание соли) = 630 г.
Это же значение можно получить, сложив абсолютное содержание воды в первой
смеси (450 г) и абсолютное содержание воды во второй смеси (180 г).
11. Относительное содержание воды:
630 г (абсолютное содержание воды) = 63 = 70%
900 г (общая масса) 90
(хотя две последние величины не требуются для решения задачи, мы их
подсчитали для полноты картины).
Итак, концентрация соли в смеси двух исходных растворов – 30%.
В процессе решения задачи удобно наносить всю найденную информацию на
исходную картинку, так что к концу решения она будет выглядеть следующим
образом:
500 г 400 г
900 г
Соль 10% = 50 г
Вода 90% = 450 г
Соль 55% = 220 г
Вода 45% = 180 г
Соль 270 г = 30%
Вода 630 г = 70%
2.2. Отлили часть раствора / отрезали кусок сплава
При этой операции, очевидно, остается неизменной концентрация веществ (
если из чашки отлить немного чая в другую чашку, то чай не станет слаще).
Поэтому после отливания части раствора относительные содержания можно
считать известными и необходимо подсчитывать абсолютные содержания.
Пример. От куска сплава золота с серебром массой 500 г и 10% - м
содержанием золота отрезали 20 г. Определите количество золота и серебра в
отрезанном куске.
Решение. Условие задачи удобно представить в виде рисунка:
500 г 20 г
Отрезали 20 г
Теперь дополним эту картинку недостающей информацией.
▪ Исходный сплав
1. Абсолютное содержание золота: 500 г (общая масса) 0,1 (относительное
содержание золота) = 50 г.
2. Абсолютное содержание серебра: 500 г (общая масса) – 50 г (абсолютное
содержание золота) = 450 г.
3. Относительное содержание серебра:
450 г (абсолютное содержание серебра) = 0,9 = 90%.
500 г (общая масса)
▪ Отрезанный кусок
4. Относительное содержание золота: 10% (осталось неизменным).
5. Абсолютное содержание золота: 20 г (общая масса) 0,1 (относительное
содержание золота) = 2 г.
6. Относительное содержание серебра: 90% (осталось неизменным).
7. Абсолютное содержание серебра: 20 г (общая масса) 0,9 (относительное
содержание серебра) = 18 г.
Итак, в отрезанном куске содержится 2 г золота и 18 г серебра.
К концу решения картина будет выглядеть так:
500 г 20 г
Отрезали 20 г
Золото 10% = 50 г
Серебро 450 г = 90%
Золото 10% = 2 г
Серебро 90% = 18 г
3. Примеры решения задачи на смеси
1. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4%
примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?
Решение. Условие задачи можно представить в виде следующей картинки:
Руда 24 т Металл x т
Процесс плавки
Теперь дополним эту картинку недостающей информацией.
▪ Руда
1. Абсолютное содержание примесей: 0,4 24 = 9,6 т.
2. Абсолютное содержание чистого металла: 24 – 9,6 = 14,4 т.
▪ Металл
3. Абсолютное содержание примесей: 0,04x т.
4. Абсолютное содержание чистого металла: x – 0,04x = 0,96x т.
Картинка будет выглядеть следующим образом:
Руда 24 т. Металл x т
Процесс плавки
В процессе плавки из руды удаляется большая часть примесей, а общее
количество чистого металла остается неизменным, то есть справедливо равенство
0,96x = 14,4, откуда x = 15.
Ответ: 15 т.
2. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг
больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке –
10%, во втором – 40%. После сплавливания этих двух слитков получится слиток,
процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного
слитка.
Чистый металл
Примеси 40%
Чистый металл
Примеси 4%
Черный металл
14,4 т
Примеси 9,6 т
Чистый металл
0,96x т
Примеси 0,04x т
Решение. Пусть x кг – масса первого слитка, тогда масса второго слитка равна
(x + 3) кг. Первый слиток содержит 0,1x кг меди, а второй – 0,4(x + 3) кг. Поэтому
сплав содержит (0,5x + 1,2) кг меди, а его масса равна (2x + 3) кг. Поэтому
относительное содержание меди в сплаве равно 0,5x + 1,2.
2x + 3
По условию задачи эта величина равна 0,3: 0,5x + 1,2 = 0,3
2x + 3
Решая это уравнение, мы получим x = 3, так что масса сплава равна 9 кг.
Ответ: 9 кг.
3. В сосуде находилось 9 кг раствора соли в воде. Из сосуда отлили часть
раствора и добавили количество воды, равное по весу отлитой части раствора.
Затем опять вылили столько же по весу раствора, сколько в первый раз. После этого
количество соли в сосуде уменьшилось в 9 раза по сравнению с исходным
количеством. 4
Определить первоначальное количество соли в сосуде, если известно, что вес
добавленной воды вдвое меньше первоначального веса соли в растворе.
Решение. Исходную ситуацию можно представить в виде следующей картинки:
Общая масса 9 кг
Для того чтобы иметь возможность писать формулы, нам нужно знать
абсолютное и относительное содержание соли или воды (хотя бы в виде букв).
Имея в виду последнее предложение из текста задачи ( «определить первоначальное
количество соли», «вес добавленной воды вдвое меньше первоначального веса соли
в растворе»), где фигурирует «первоначальное количество соли», то есть ( в нашей
терминологии) « абсолютное содержание соли», мы обозначим абсолютное
содержание соли в исходном растворе x кг. Соответственно, абсолютное
содержание воды (9 – x) кг, относительное содержание соли x ,
9
относительное содержание воды 9 – x .
9
Теперь первоначальную картинку можно заменить более содержательным
рисунком:
Общая масса 9 кг
Начнем теперь анализировать ( и изображать графически ) ситуации,
описанные в тексте задачи.
x
▪ На первом шаге из сосуда отлили 2 кг раствора (напомним, что по условию
отлили столько же, сколько затем добавили воды, а вес добавленной воды вдвое
меньше абсолютного содержания соли в первоначальном растворе, то есть x). Это
наша вторая стандартная ситуация, и мы знаем, что при этом не меняется
концентрация. Графически это можно изобразить следующим образом:
Общая масса 9 кг
Отлили Осталось
x
Общая масса 2 кг Общая масса 9 – x кг
2
x
Соль x кг, концентрация 9
9 - x
Вода (9 – x) кг, концентрация 9
x
Соль x кг, концентрация 9
9 - x
Вода (9 – x) кг, концентрация 9
Соль? кг,
x
концентрация 9
Вода ? кг,
9 – x
концентрация 9
Соль ? кг,
x
концентрация 9
Вода ? кг,
9 – x
концентрация 9
Зная общую массу отлитого раствора и концентрацию соли и воды, можно
подсчитать абсолютное содержание соли и воды в отлитой части раствора:
1. Абсолютное содержание соли равно
x кг x = x
2
кг.
2 9 18
2. Абсолютное содержание воды равно
x кг 9 – x = x(9 – x) кг.
2 9 18
Подобным же образом для оставшейся части раствора мы имеем:
3. Абсолютное содержание соли равно
9 – x кг x = 18x – x
2
кг.
2 9 18
4. Абсолютное содержание воды равно
9 – x кг 9 – x = (18 – x)(9 – x) кг
2 9 18
Теперь предыдущая картинка может быть уточнена:
Общая масса 9 кг
Отлили Осталось
Общая масса x кг Общая масса 9 – x кг
2 2
x
▪ На втором шаге в сосуд добавили 2 кг воды. Это наша первая стандартная
ситуация, и мы знаем, что при этом складываются абсолютные содержания
веществ.
18x – x
2
Поэтому в результате после добавления воды в сосуде окажется 18 кг
соли
162 – 18x + x
2
и 18 кг воды.
После этого следует рассчитать относительное содержание соли и воды:
18x – x
2
1. Относительное содержание соли равно 162 .
162 – 18x + x
2
2. Относительное содержание воды равно 162
x
Соль x кг, концентрация 9
9 – x
Вода (9 – x) кг, концентрация 9
x
2
Соль 18 кг,
x
концентрация 9
18x – x
2
Соль 18 кг,
x
концентрация 9
x(9 – x)
Вода 18 кг,
9 – x
концентрация 9
(18 – x)(9 – x)
Вода 18 кг,
9 – x
концентрация 9
Графически это можно изобразить следующим образом:
Раствор Вода
x x
Общая масса 9 – 2 кг Общая масса 2 кг
Общая масса 9 кг
x
▪ На третьем шаге из сосуда отлили 2 кг раствора. Это наша вторая стандартная
ситуация, и мы знаем, что при этом не меняется концентрация. Графически это
можно изобразить следующим образом:
18x – x
2
Соль 18 кг,
x
концентрация 9
(18 – x)(9 – x)
Вода 18 кг,
9 - x
концентрация 9
Соль 0 кг,
концентрация 0
x
Вода 2 кг,
Концентрация 1
18x – x
2
18x – x
2
Соль 18 кг, концентрация 162
162 – 18x + x
2
162 – 18x + x
2
Вода 18 кг, концентрация 162
Общая масса 9 кг
Отлили Осталось
x x
Общая масса 2 кг Общая масса 9 – 2 кг
Зная общую массу отлитого раствора и концентрацию соли и воды, можно
подсчитать абсолютное содержание соли в оставшейся части раствора (поскольку в
заключительной части задачи фигурирует только эта величина, мы ограничимся ее
расчетом):
абсолютное содержание соли равно
9 – x кг 18x – x
2
= (18 – x)
2
x кг.
2 162 324
4x
▪ По условию задачи эта величина составляет 9 («после этого количество соли
9
в сосуде уменьшилось в 4 раз по сравнению с исходным количеством»). Таким
образом, мы получаем следующее уравнение:
(18 – x)
2
x = 4x.
Соль ? кг,
18x – x
2
концентрация 162
Вода ? кг,
концентрация
162 – 18x + x
2
162
Соль ? кг,
18x – x
2
концентрация 162
Вода ? кг,
концентрация
162 – 18x + x
2
162
18x – x
2
18x – x
2
Соль 18 кг, концентрация 162
162 – 18x + x
2
162 – 18x + x
2
Вода 18 кг, концентрация 162
324 9
После сокращения на x (по смыслу задачи x 0) мы получим: (18 – x)
2
= 4 36,
откуда (поскольку 18 – x 0) 18 – x = 2 6, так что окончательно мы имеем x = 6 кг.
Ответ: первоначально в сосуде находилось 6 кг соли.
В заключение отметим, что после решения задачи полезно сделать проверку.
Это позволит «выловить» ошибки (если они возникли в процессе решения). В
нашем случае мы имеем:
1. В сосуде находилось 9 кг раствора соли. Количество соли в растворе равно 6
кг, так что ее концентрация равна 2.
3
2. После того, как из сосуда вылили 3 кг раствора, в нем осталось 6 кг раствора
2
с концентрацией соли 3.Таким образом, абсолютное содержание соли равно 4
кг, а абсолютное содержание воды 2 кг.
3. После добавления 3 кг воды в сосуде окажется 5 кг воды и 4 кг соли.
Концентрация соли составит 4.
9
4. После того, как из сосуда вылили 3 кг раствора, в нем осталось 6 кг раствора
с концентрацией соли 4. Таким образом, абсолютное содержание соли равно 8 кг,
9 3
что в 6 : 8 = 9 раз меньше первоначального содержания соли в растворе.
3 4
Дадим краткую другую схему решения данной задачи.
Пусть p % - первоначальная концентрация соли, v кг – количество отливаемого
раствора (0 v 9), x – первоначальное количество соли в растворе
x = 9p кг
100
После первого действия (отлили v€кг раствора и добавили v кг воды)
концентрация соли в растворе стала (9 – v) p %.
9
После второго действия (опять отлили v кг раствора) количество соли стало
(9 – v)
2
p = 4 x.
9 100 9
По условию задачи v = 0,5x = 0.5 9p . Отcюда v = 3, x = 2v = 6 кг.
100
4. Чашка до краев наполнена черным кофе в количестве 100 мл, а в кувшин
налито 300 мл молока. Какое количество кофе надо перелить из чашки в кувшин и,
перемешав, снова наполнить ее до краев полученной смесью, чтобы молока и кофе
в чашке оказалось поровну?
Решение. Пусть x – искомый объем кофе (в мл). Отлить это количество из
чашки можно, если 0 x 100.
После того как из чашки перелили в кувшин x мл кофе, в чашке осталось
(100 – x) мл кофе, а в кувшине оказалось (300 + x) мл смеси кофе и молока.
Абсолютное содержание молока в кувшине равно 300 мл, а его концентрация равна
300
300 + x
Количество смеси, которое перелили из кувшина в чашку, очевидно, равно x мл
(чашка должна быть снова наполнена до краев). Относительное содержание молока
в переливаемой части смеси такое же, как и в кувшине, то есть 300
300 + x
Поэтому абсолютное содержание молока в этой части смеси равно 300x
300 + x
После того, как чашка опять наполнится, абсолютное содержание молока в ней
будет 300x . По условию задачи эта величина равна 50 мл.
300 + x
Решая уравнение 300x = 50, мы получим x = 60. Это значение удовлетворяет
300 + x
ограничению 0 x 100, отмеченному в начале решения.
Ответ: 60 мл.
4. Исследование функций в задачах на смеси и сплавы
5. Даны три сплава. Состав первого сплава: 55% хрома и 45% никеля. Состав
второго сплава: 60% никеля, 25% хрома и 15% кобальта. Состав третьего сплава:
70% хрома и 30% кобальта. Из них нужно приготовить новый сплав, содержащий
20% кобальта. Какие значения может принимать процентное содержание никеля в
этом новом сплаве?
Решение. Предположим, что для приготовления нового сплава взяли x кг
первого сплава, y кг второго и z кг третьего. Тогда новый сплав будет иметь массу
(x + y + z) кг и будет содержать (0,55x + 0,25y + 0,7z) кг хрома, (0,45x + 0,6y) кг
никеля, (0,15y + 0,3z) кг кобальта.
Относительное содержание кобальта в новом сплаве равно 0,15y + 0,3z ,
x + y + z
а относительное содержание никеля – f = 0,45x + 0,6y, область значений этой
x + y + z
функции f мы должны найти.
0,15y + 0,3z
Условие x + y + z = 0,2 позволяет исключить одну из переменных,
например, z: z = 2x + 0,5y. Теперь функция f станет зависеть только от двух
переменных: f = 0,45x + 0,6y .
3x + 1,5y
Мы должны найти область ее значений при изменении независимых
переменных x и y в области x 0, y 0 (нетрудно понять, что эти переменные не
могут быть одновременно равны нулю, так как тогда относительное содержание
кобальта в новом сплаве будет 0,3).
Если y 0, то f можно рассматривать как дробно-линейную функцию одной
переменной x (считая y параметром). Записывая f в виде
f = 0,15 1 + 5y
6x + 3y
легко видеть, что при росте x от 0 до величина f убывает от 0,4 до 0,15.
Значение f = 0,4 достигается при y = 0.
Ответ: процентное содержание никеля в новом сплаве меняется от 15 (новый
сплав составлен только из первого и третьего сплавов) до 40% (новый сплав
составлен только из второго и третьего сплавов).
6. Имеется три сплава, в состав которых входят металлы А, В и С.
Первый сплав содержит 20% металла А, 30% металла В, 50% металла С.
Второй сплав содержит 50% металла А, 20% металла В, 30% металла С.
Третий сплав содержит 30% металла А, 40% металла В, 30% металла С.
Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 10 кг
нового сплава, который содержал бы 25% металла А, а процентное содержание
металла В было бы минимально возможным?
Решение. Обозначим через x, y, z массы сплавов, которые мы берем для
приготовления нового сплава.
По условию
x + y + z = 10 (масса нового сплава 10 кг),
0,2x + 0,5y + 0,3z = 2,5 (абсолютное содержание металла А в новом сплаве
составляет 10 0,25 = 2,5 кг).
Из двух этих уравнений можно исключить две переменные, например, x и z:
x = 5 + 2y, z = 5 – 3y.
Поскольку все переменные в задаче неотрицательны, переменная y меняется на
отрезке 5
0 y 3.
Абсолютное содержание металла В в сплаве равно
0,3x + 0,2y + 0,4z = 3,5 – 0,4y.
Процентное (относительное) содержание металла В в сплаве равно
f = 0,35 – 0,04y. 5 5
Минимум этой функции на отрезке 0 y 3 достигается при y = 3.
25
Соответственно, x = 3, z = 0.
25 5
Ответ: 3 , 3 и 0 кг.
Дадим другое решение задачи 6.
Понятно, что для получения нового сплава с 25% содержанием металла А в
основном надо использовать первый сплав (только в этом сплаве процентное
содержание металла А меньше 25), добавляя к нему некоторое количество второго
или третьего сплава. Однако добавление третьего сплава увеличивает
концентрацию металла В, а добавление второго сплава ее уменьшает.
Следовательно, надо добавлять к первому сплаву только второй.
В терминах приведенного выше решения это означает
x 0, y 0, z = 0,
x + y = 10,
0,2x + 0,5y = 2,5
25 5
Единственное решение этой системы x = 3, y = 3, z = 0.
Задачи для самостоятельного решения
9 1
1. В свежих грибах влага составляет 10 от общей массы, а сушеных – 10 .
Сколько нужно собрать грибов, чтобы заготовить 1 пуд сушеных грибов?
2. Какое количество воды надо добавить в один литр 10%-го водного раствора
спирта, чтобы получить 6%-й раствор?
3. Имеется 40 л 0,5%-го раствора и 50 л 2%-го раствора уксусной кислоты.
Сколько нужно взять первого и сколько второго раствора, чтобы получить 30
литров 1,5%-го раствора уксусной кислоты?
4. Один сплав содержит медь и олово в отношении 2 : 1, а другой – в
отношении 3 : 2. По скольку частей нужно взять каждого из этих сплавов, чтобы
получить третий сплав, в котором медь и олово содержатся в отношении 27 : 17?
5. Первый раствор содержит 20% азотной кислоты и 80% воды, второй – 60%
азотной кислоты и 40% воды. Первая смесь была получена из 15 л первого раствора
и некоторого количества второго раствора. Смешав то же самое количество второго
раствора с 5 л первого, получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора
было использовано для приготовления первой смеси, если известно, что процентное
содержание воды во второй смеси в два раза больше процентного содержания
кислоты в первой.
6. Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в
первом слитке в два с половиной раза больше, чем процентное содержание золота
во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором
будет 40% золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если
известно, что при сплавке равных по весу частей первого и второго слитков
получается слиток, в котором содержится 35% золота.
7. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что
первый сплав содержит 40% олова, а второй 26% меди. Процентное содержание
цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250
кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите,
сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
8. При проведении опыта раствор А был получен растворением ненулевого
объема кислоты в воде. Раствор В был получен из раствора А добавлением
некоторого объема воды, при этом концентрация раствора (отношение объема
кислоты к общему объему раствора) уменьшилась на 40%. Раствор С получен из
раствора В добавлением нового количества воды, в два раза большего по объему,
чем было добавлено к раствору А при получении В. Во сколько раз концентрация
раствора В больше концентрации раствора С?
9. Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый – 40%-й, второй –
60%-й. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и
получили 20%-й раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80%-го
раствора, то получился бы 70%-й раствор. Сколько было 40%-го и 60%-го
растворов?
10. Для приготовления водного раствора кислоты взяли 4 л 40%-го и 6 л 60%-го
растворов кислоты. Затем часть полученной смеси вылили и добавили такое же
количество чистой воды, в результате чего получился 39%-й раствор кислоты.
Сколько литров воды было добавлено?
11. Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда:
первый емкостью 10 л, второй – 20 л. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 л
жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда.
После того как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в
него ее налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объему
имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго сосудов стали равными.
Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?
12. Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из
раствора 1 л воды концентрация соли возросла на 0,05, а после разведения
получившегося раствора 39 л воды концентрация соли стала в три раза меньше
первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1
л воды равной 1 кг.
13. Имеются два раствора одной и той же соли в воде. Для получения смеси,
содержащей 10 г соли и 90 г воды, берут первого раствора вдвое больше по весу,
чем второго. Через неделю из каждого килограмма первого и второго растворов
испарилось по 200 г воды, и для получения такой же смеси, как и раньше, требуется
первого раствора уже вчетверо больше по весу, чем второго. Сколько граммов соли
содержалось первоначально в 100 г каждого раствора?
14. В одном декалитре кислотного раствора 96% объема составляет кислота.
Сколько воды можно долить, чтобы концентрация кислоты в полученном растворе
была не больше 40%?
15. Имеются две смеси N
1
и N
2
, составленные из одних и тех же веществ А, Б,
В, но взятых в различных весовых отношениях. В смеси N
1
вещества В в 9 раз
меньше, чем вещества А, и в 2 раза меньше, чем вещества Б. Соединив 6 кг смеси
N
1
с 3 кг смеси N
2
и добавив 1 кг вещества А, получили новую смесь, в которой
вещества А в 6 раз больше, чем вещества Б, а вещества В столько же, сколько
вещества Б. Требуется определить весовое соотношение веществ А, Б, В в смеси N
2
.
16. В три сосуда налито по 1 кг различных растворов поваренной соли. Если
смешать 200 г первого раствора и 100 г второго, то в полученной смеси будет
содержаться столько же соли, сколько ее содержится в 100 г третьего раствора.
Количества соли в трех растворах, взятых в порядке номеров растворов, образуют
геометрическую прогрессию. Сколько граммов второго раствора нужно взять,
чтобы в них содержалось столько же соли, сколько ее содержится в 100 г третьего
раствора?
17. От двух сплавов массой 7 кг и 3 кг с различным процентным содержанием
магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезанный от первого
сплава, сплавили с остатком второго сплава. Кусок, отрезанный от второго сплава,
сплавили с остатком первого сплава. Определите массу каждого из отрезанных
кусков, если новые сплавы получились с одинаковым процентным содержанием
магния.
1
18. В сосуде находится 10%-й раствор спирта. Из сосуда отлили 3
содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался
5
заполненным на 6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта
оказалось в воде?
19. В баке находилось 100 л смеси кислоты с водой. Из бака отлили часть смеси
и добавили равное по объему количество воды, которое на 10 л превышает
первоначальное количество кислоты в смеси. Затем снова отлили такое же
количество смеси, как в первый раз, в результате чего количество кислоты в баке
уменьшилось в четыре раза по сравнению с количеством ее в исходной смеси.
Определите количество воды в исходной смеси.
20. Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 л
глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания
снова отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. Наконец, опять перемешали, отлили 2 л
смеси и долили 2 л воды. В результате этих операции объем воды в сосуде стал на 3
литра больше объема оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и
воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций?
21. Два вида удобрений А и Б отличаются весовым содержанием азота, калия и
фосфора. В удобрении А азота содержится в три раза, а фосфора в два раза больше
5
по весу, чем калия. В удобрении Б соответственно азота в 3 раза больше, а фосфора
в 1,5 раза меньше, чем калия. Можно ли за счет смешивания удобрений А и Б
приготовить удобрение, в котором азота в два раза, а фосфора в три раза больше,
чем калия?
1
22. Из сосуда, содержащего чистый спирт, отлили 3 часть и добавили такое же
количество воды. 1
Потом отлили 3 часть смеси и добавили такое же количество воды. Так
проделали k раз (включая первое переливание). Каково наименьшее значение k, при
котором процентное содержание спирта в сосуде после сделанных переливаний
станет меньше 10%?
23. В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в первый сосуд
налито 5 кг, а во второй – 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в
первом сосуде увеличилось в p раз, а во втором сосуде – в q раз. О числах p и q
известно только, что pq = 9. Какое наибольшее количество воды могло при этом
испариться из обоих сосудов вместе?
24. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди,
второй – 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25% меди и 60%
марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40%
марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание меди
может быть в этом новом сплаве?
Ответы
2
1. 9 пудов. 2. 3 л. 3. 10 л и 20 л. 4. 9 и 35. 5. 5 л.
6. Первый слиток в 2 раза тяжелее второго. 7. 170 кг.
8. В 1,8 раза. 9. 1 кг 40%-го и 2 кг 60%-го раствора. 10. 2,5 л.
11. 3 л. 12. 90%. 13. 5 г и 20 г. 14. Не менее 1,4 декалитров.
15. 8 : 1 : 3. 16. 200 г. 17. 2,1 кг. 18. 8%. 19. 60 л.
20. 0,5 л глицерина; 2,3 л воды. 21. Нельзя. 22. 6.
1
23. 18 3 кг. 1
24. 40% (составлен из первого и третьего сплавов и 43 3 % (составлен из
первого и второго сплавов).
Скачать материал

Химия - еще материалы к урокам: