Презентация "Взаимное расположение сферы и плоскости" 10 класс

Взаимное расположение

сферы и плоскости

Кравченко Н.А.

Учитель математики

ГБОУ Гимназия № 402

г. Москва

Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

Введем обозначения:

R – радиус сферы,

d – расстояние от центра сферы

до плоскости α,

С – центр сферы.

Введем систему координат так, чтобы в ней центр сферы имел координаты С(0;0;d), следовательно сфера имеет уравнение

.

Вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию

системы уравнений

.

1 случай

Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

2 случай

Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

3 случай

Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Задача

Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

Дано:

γ – сфера, R=10 см, ABCD – прямоугольник, A, B, C, D γ, AC=16.

Найти: d.

Решение:

Проведем перпендикуляр к плоскости

прямоугольника. Обозначим М – точка

пересечения диагоналей прямоугольника,

О – центр сферы.

Треугольник АОС – равнобедренный,

значит, ОМ – медиана и высота.

Треугольник BDO – равнобедренный,

значит, ОМ – медиана и высота.

Так как и , то, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ОМ перпендикулярен плоскости треугольника.

Значит, ОМ – искомое расстояние.

Из треугольника ОМА по теореме Пифагора имеем:

Ответ: 6.

Использованный материал взят из учебника Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия 10-11».

Рамка для оформления слайдов: http://images.yandex.ru/yandsearch?text=рамки%20для%20презентаций%20powerpoint&img_url=http%3A%2F%2Fwww.wmich.edu%2Fleadership%2Fproposals%2FBrinks_files%2FBrinks_files%2Fmaster03_background.gif&pos=0&rpt=simage&lr=213&noreask=1&source=wiz

Картинка на титульном листе:

http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&text=сфера%20картинки&noreask=1&pos=4&rpt=simage&lr=213&uinfo=sw-1263-sh-677-fw-1038-fh-471-pd-1&img_url=http%3A%2F%2Fimg1.liveinternet.ru%2Fimages%2Fattach%2Fc%2F2%2F68%2F926%2F68926007_1294462843_Mir_v_edinichnom_yekzemplyare.jpg