Ученики на Учителя.com


Проект "Взаимное расположение многоугольника и окружности" 10 класс

ГОУ Педагогическая академия последипломного образования
Итоговый практико-значимый проект
Тема: Взаимное расположение
многоугольника и окружности.
Урок геометрии в 10 классе
Исполнитель: Кондратьева Светлана Владимировна
учитель математики МОУ СОШ № 1 с углубленным
изучением отдельных предметов г. Раменское
Научный руководитель: Медведева Ольга Сергеевна,
к.п.н., доцент
г. Раменское, Московская область
2010 год
2
Введение
Тема данного итогового практико-значимого проекта «Взаимное
расположение многоугольника и окружности. Урок геометрии в 10 классе».
Этот урок проводится в комплексе уроков, в ходе которых учащиеся
отрабатывают навыки и умения решения задач на вписанные и вневписанные
окружности. Считаю выбранную тему актуальной, так как при изучении
темы «Взаимное расположение многоугольника и окружности» в курсе
геометрии в 9 классе (общеобразовательная программа) решаются задачи
только на вписанные и описанные окружности, а вневписанные окружности
изучаются лишь в классах с углублённым изучением геометрии. Однако в
КИМ ЕГЭ по математике (С4) есть задачи на взаимное расположение
многоугольника и окружности, причём имеющие не одно решение – в
школьных задачниках такой тип задач встречается редко.
Урок на вышеуказанную тему проводится в общеобразовательной
школе с углублённым изучением отдельных предметов для учащихся 10
класса, что соответствует логике программы в блоке уроков по планиметрии.
В профильном физико-математическом классе возможно проведение этого
урока и в 9 классе – во время итогового повторения в конце учебного года.
Внедрение Итогового Проекта (ИП) в учебный процесс позволяет
создать содержательные и организационные условия для применения
школьниками комплекса знаний для решения задач повышенного уровня.
В ходе реализации данного проекта после проведения этого урока
целесообразно рассматривать задачи аналогичного типа на последующих
уроках, на дополнительных занятиях, при подготовке к итоговой аттестации,
а также включать такие задачи в комплекс домашних заданий.
3
Теоретическое обоснование предлагаемых изменений
образовательной практики
Опыт преподавания математики в общеобразовательной средней школе
с углублённым изучением отдельных предметов показывает, что при
решении задач по геометрии, начиная с 7 класса, учащиеся испытывают
известные затруднения, если задача имеет не одно решение. Эти затруднения
связаны, с одной стороны, с тем, что количество таких задач в учебниках и
сборниках ограничено – а значит, у учащихся отсутствует практика их
решения, не отрабатываются должным образом умения работы с текстом
задачи и навыки геометрического анализа. С другой стороны, частое решение
однотипных задач не позволяет развивать нестандартное видение решений и
комплексный подход к задаче.
Исходя из этого в предложенном уроке «Взаимное расположение
многоугольника и окружности» большое внимание уделяется проблеме
отработки навыков и умений, связанных с применением полученных
теоретических знаний. Решая задачи повышенного уровня, учащиеся найдут,
помимо строгих доказательств, еще и множество других интереснейших
фактов и сведений из планиметрии.
Работа над ИП на основном уроке по представленной теме и на
последующих уроках в системе, несомненно, вызовет у учащихся
любопытство, интерес и желание поглубже и повнимательнее рассмотреть
и понять иногда очевидные, иногда поразительные, а иногда просто
фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур.
Разумеется, все эти свойства давно известны и досконально изучены, а
сформулированные в виде теорем и задач, изложены во многих изданиях,
начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками. Но
всё же разработка урока, приведённого ниже, будет полезна для решения
геометрических задач, когда возникнет необходимость вспомнить или
заново узнать те или иные свойства фигур.
4
Хотелось бы, конечно, надеяться, что она понадобится и
школьникам, изучающим курс геометрии, и абитуриентам, готовящимся к
экзаменам и систематизирующим свои знания, и вообще всем, кто
интересуется геометрией.
В ходе внедрения в образовательную практику изменений, связанных с
решением задач о взаимном расположении фигур учащимися параллельно
осваиваются следующие учебные действия:
личностно-универсальные: установление связи между целью
учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между
результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего
она осуществляется;
логическая грамотность: свободное владение комплексом
элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку
логического мышления и необходимый базис его развития;
коммуникация: умение с достаточно полнотой и точностью
выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями
коммуникации; владение монологической и диалогической формами
речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами
родного языка;
логическое мышление: способность и умение учащихся производить
простые логические действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение
и др.), а также составные логические операции (построение
отрицания, утверждение и опровержение как построение
рассуждения с использованием различных логических схем -
индуктивной или дедуктивной).
Таким образом, предлагаемая разработка урока, отвечая современным
требованиям к преподаванию предмета, внесёт некоторые изменения в
образовательную практику, что в целом позволит повысить качество
образования, положительно скажется на работе учащихся, что позволит им
в дальнейшем продолжить обучение с установкой на успех.
5
Ход урока
Цели урока: формирование и развитие у учащихся способностей
анализировать, наблюдать, применять полученные теоретические знания
при решении задач; формирование умения аккуратно и грамотно
выполнять геометрические построения на нелинованной бумаге без
использования чертежных инструментов.
«Умение решать задачи – это такое же
практическое искусство, как умение плавать
или бегать на лыжах. Ему можно научиться
только путем подражания или упражнения».
Д. Пойа
Учитель: Продолжаем решать задачи, связанные с окружностью,
многоугольниками.
Начнем с небольшой задания – для нас с вами это как в спорте разминка:
Каждый ученик получает лист с задачами. На листе чертежи с
текстом. Работа на листах 6-8 минут.
(Приложение №1 )
1. В равнобедренный ▲АВС (АВ = ВС)
вписана окружность. Точка касания Д
делит сторону АВ в отношении 1: 2,
считая от вершины А.
Найдите сторону АВ, если АС = 6 см.
Е
F
Д
С
В
А
6
2. Углы треугольника относятся как 3:4:5. Определите, как расположен центр
описанной около этого треугольника окружности.
А) Внутри треугольника
Б) На одной из сторон треугольника
В) Вне треугольника
Г) Определить невозможно
3. Найти S ▲АВС, если r = 2 (r – радиус вписанной окружности), АВ=13.
4. В равнобедренной трапеции основания
равны 7 см и 17 см. Тупой угол трапеции
равен 135º. Найдите площадь трапеции.
Учитель: Первые 5 человек могут сдать работу для проверки.
Проверим решения.
Читается задача и кратко объясняется решение.
Дополнительные вопросы по задачам:
К № 2. Какое слово можно заменить в условии, чтобы изменить задачу?
( углы
стороны)
К № 3. Другой способ вычисления площади треугольника.
К № 4. Другой способ вычисления средней линии трапеции.
D
С
В
А
13
А
В
С
135º
7
Учитель: Продолжаем работу. У каждого на столе текст задачи на листе А4.
(Приложение 2)
Дана трапеция ABCD, основание которой BC =44, AD=100, AB=CD=35.
Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке К.
Найти длину отрезка СК.
Учащиеся работают над чертежами. Пройти посмотреть, 1 ученик
идет к доске и выполняет чертеж. Обсуждается план решения задачи.
Обязательно кто-то из ребят увидит другой чертеж к задаче, вызвать
этого ученика и за доской выполнить чертеж. Для получения результата
в задаче необходимо использовать знание факта, как вычисляется
отрезок касательной, можно вызвать сильного ученика и попросить
вывести его за доской, пока решается задача.
Решение:
СК= р
ÀÑD
- АD
1) АН=
7244100
2
1
2) СН ² = 35² - 28² = 63 ∙ 7 СН =
763
= 21
3 ) АС =
22
СНАН
=
22
2172
=
5625
= 75
4 ) СК = р
ÀÑD
– АD =
5100
2
210
100
2
3575100
Учитель: Можно ли записать ответ к задаче?
Учащиеся предлагают рассмотреть еще один чертеж к задаче.
44
D
А
44
К
D
А
С
В
100
35
В
С
35
35
100
Н
75
8
Обращается внимание на текст задачи: «касается прямых АD и АС и
стороны СD».
Вневписанная окружность
СК= р
ÀÑD
- АС
Для получения результата в задаче необходимо использовать знание
факта, как вычисляется отрезок касательной к вневписанной
окружности, можно вызвать сильного ученика и попросить вывести его
за доской, пока решается задача.
СК = 105 – 75 =30
Ответ: 5 или 30.
Чертежи остаются на доске и предлагаются дополнительные вопросы:
1) Найти радиус окружности, вписанной в ▲ ACD:
r =
10
105
21100
2
1
p
S
2) Найти cos
D , sin
D:
cos
D =
5
4
, sin
D =
5
3
.
3) Найти радиус окружности, описанной около ▲ АВС :
R =
5,62
5
3
2
75
Bsin2
АС
, sin
B
= sin
D , т.к.
D +
В = 180º.
4) Какая окружность называется вневписанной?
А
В
С
D
К
100
44
35
9
5) Где лежит центр вневписанной окружности?
6) Вычислить радиусы вневписанных окружностей, проведенных к сторонам.
АС, АD, СD: r
АС
=
AC-p
S
, r
АД
=
AD-p
S
, r
СД
=
CD-p
S
.
Учитель: На сегодняшнем уроке мы решали задачи, связанные с
многоугольником и окружностью. В чём вы видите значимость этой работы?
Учащиеся отвечают, что работа на уроке помогает анализировать,
наблюдать, применять полученные теоретические знания при
решении задач; учит аккуратно и грамотно выполнять
геометрические построения на нелинованной бумаге без использования
чертежных инструментов.
10
Результаты апробации проекта с описанием достигнутого эффекта
Урок «Взаимное расположение многоугольника и окружности» был
проведён на семинаре учителей математики Раменского района 25.10.2010
года. В системе уроков по данной теме в разделе планиметрии ранее были
проведены ещё три урока в 10 физико-математическом классе. Количество
учащихся 25 человек.
На первом занятии одно решение находили 25 учащихся (100%), а
второе решение не видел никто.
На последующем занятии второе решение нашли 2 учащихся (8%), а
на третьем – 5 учащихся (20%).
При проведении открытого урока второе решение легко
обнаруживали 8 учащихся (32%).
Кроме того наблюдается повышение качества выполнения чертежей
на нелинованной бумаге без использования чертёжных инструментов, что
особенно важно при выполнении части С во время итоговой аттестации в
форме и по материалам ЕГЭ.
Для закрепления достигнутого эффекта и улучшения результата
задачи подобного типа включались в домашние задания, при этом на
уроках предварительно обсуждался план решения, а на последующих
уроках проверялось решение этих задач.
11
Рекомендации по использованию результатов ИП
Внедрение практико-значимого итогового проекта способствует
повышению качества решения задач по планиметрии, что особенно важно
для подготовки учащихся к итоговой аттестации. Задачи данного типа
можно отнести к числу универсальных, так как они способствуют:
активизации мыслительной деятельности учащихся;
успешному повторению и закреплению большого объёма учебного
материала;
расширению математического кругозора для решения задач
повышенного уровня.
Считаю целесообразным проведение системы уроков по данной теме как в
классах общеобразовательного, так и профильного уровней.
12
Заключение
Анализируя результаты апробации проекта и достигнутый в его ходе
эффект, отмечаем, что сформулированные цели достигнуты, а
поставленные задачи реализованы.
Внедрение в образовательную практику системы уроков «Взаимное
расположение многоугольника и окружности» позволили создать
содержательные и организационные условия для применения школьниками
комплекса знаний для решения задач повышенного уровня. Это
положительно сказалось на усвоении учебного материала из курса
планиметрии; способствовало выработке умений и навыков для решения
задач не только в данном курсе, но и в курсе стереометрии; вызвало
эмоционально-позитивное восприятие работы над поиском решений для
задач повышенного уровня; снизило тревожность, связанную с выполнением
задач, имеющих не одно решение.
Учащиеся научились устанавливать связи между целью учебной
деятельности и ее мотивом; овладели комплексом элементарных
логических понятий и действий; владея монологической речью, выражали
свои мысли с достаточной полнотой и точностью; быстро и чётко
производили простые и составные логические операции.
Успешное освоение этих учебных действий в целом положительно
сказалось на их работе.
13
Список литературы
1. Аверьянов Д.И., Звавич Л.И., Пигарев Б.П., Рязановский А.Р. Сборник
задач по геометрии для проведения устного экзамена в 9 и 11 классах. М.:
Просвещение, 1996.
2. Брюхова О.Н., Иванов С.О., Коржаков В.М., Кулабухов С.Ю., Морозова
Е.В., Ольхова Л.С., Лаврентьева И.М. Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2010.
Тематические тесты: геометрия, текстовые задачи. Учебно-методическое
пособие / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. – Ростов н/Д: Легион- М, 2009.- 96с.
– ( Готовимся к ЕГЭ )
3. Смирнов В.А. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки ЕГЭ /
Под ред. А.С.Семенова, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2009. – 256с. –
(Готовимся к ЕГЭ).
4. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – 9-е изд., исправленное и
дополненное. М.: МЦНМО, 2002. – 904с.
5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. 10
класс. М.: Просвещение, 1989.
6. http://www.geometry2006.narod.ru/- сайт И. М Смирновой, В. А. Смирнова
7. http://alexlarin.narod.ru/ege.html - сайт А. А. Ларина
8. http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых
образовательных ресурсов
9. http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=600
– каталог задач по теме «Вневписанные окружности»
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: