Методическая разработка урока "Решение планиметрических многовариантных задач" 11 класс

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Гимназия №87» города Саратова
Решение планиметрических
многовариантных задач
(методическая разработка для подготовки
учащихся 11 классов к ЕГЭ по математике)
Дроздова Алла Владимировна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
Саратов 2013
2
Содержание
Введение ……………………………………………………………………… …3
Глава 1. Решение многовариантных планиметрических задач в школьном
курсе математики курсе математики……………………..…………..………..4
1.1 Треугольник ……………………………………………...…………….…....5
1.2 Трапеция…………………………………………..………………...…….. 13
Глава 2. Полезные факты о выпуклых многоугольниках…………..………...17
Заключение .……………………………………………………………………..18
Список использованной литературы………………………………………..….19
3
Введение
В последние годы в экзаменационную работу была включена
планиметрическая задача С4. Задачи С4 из тренировочных, диагностических,
репетиционных и экзаменационных работ ЕГЭ 2010 2012 имеют характерную
особенность. В отличие от подавляющего большинства задач школьного
учебника эти задачи содержат в условии некоторую неопределенность, которая
позволяет трактовать условие неоднозначно. В результате удается построить
несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи. Подобные задачи
называют многовариантными. Перебор вариантов является частью решения
задач такого типа.
В 2010 году процент приступивших к выполнению задания С4 составил
14%, а в 2011 году 15,6%. При этом, например, в 2011 году от 1 до 3 баллов
за задачу С4 смогли получить только 4,44% участников экзамена. Большинство
выпускников испытывали трудности с рассмотрением второго случая
расположения геометрических фигур. Анализ результатов единого
государственного экзамена ( ЕГЭ ) по математике на территории Саратовской
области в 2012 году показал, что большинство экзаменующихся не смогли
продвинуться дальше исходного чертежа и записи основных формул.
Полностью решили это задание 12 человек (0,1%). Задание С4 проверяло
умение работать с геометрическими объектами на плоскости. В основном это
были задачи, требующие использовать свойства многоугольников, вписанных и
описанных окружностей. Здесь нужны были не только вспомогательные
построения, но и объяснения использованных конфигураций. Типичные
ошибки: неумение строить вписанные и описанные окружности; незнание
свойств прямоугольных треугольников, незнание теоремы синусов;
вычислительные ошибки; неумение рационально описать ход решения задачи.
Таким образом, перед учителем встает задача: спланировать подготовку
учащихся таким образом, чтобы они получили максимальный объем
информации, закрепили навыки на достаточном количестве задач, порой не
вошедших в школьный учебник.
4
Глава 1. Решение многовариантных планиметрических задач в школьном
курсе математики
Анализ содержания задачной базы школьных учебников по геометрии
показывает, что многовариантных задач практически нет и они довольно
непривычны для школьников. Поэтому подобные задачи нужно решать, начав с
достаточно простых и постепенно увеличивая их сложность. Полезно при
решении задач задавать следующие вопросы:
«Можно ли построить другую фигуру, неравную данной, но также
удовлетворяющую условию задачи?»
«При каких числовых значениях заданных элементов нельзя построить
описанную в условии фигуру?» и другие.
Ответы на подобные вопросы позволяют выявить различные ситуации,
возникающие при решении задачи. Проведем некоторую классификацию
типов многовариантных задач, связанных с неоднозначностью описания
взаимного расположения элементов фигуры:
расположение точек на прямой
Неоднозначность формулировок состоит в том, что в условии не указывается
взаимное расположение точек на прямой относительно друг друга. Можно
записать различные вариантов расположения этих точек. Иногда наличие
дополнительной информации о расположении точек на прямой (левее, правее,
деление отрезка в заданном отношении) сокращает перебор случаев.
расположение точек вне прямой
Неоднозначность формулировок состоит в том, что в условии не указывается
взаимное расположение точек и прямой относительно друг друга. При этом
точки могут располагаться в одной или разных полуплоскостях и связанны
некоторым условием (например, принадлежат одной окружности, лежат на
одном перпендикуляре и т.д.).
выбор обозначений вершин многоугольника
5
К задачам этого типа относят такие задачи, условие которых допускает
различные решения в зависимости от варианта буквенного обозначения вершин
многоугольника.
выбор некоторого элемента фигуры
К задачам этого типа относят такие задачи, в условии которых дана числовая
величина элемента фигуры, но не указано какого конкретно из имеющихся. В
случае линейного элемента это может быть, например, сторона многоугольника
или длина отрезка перпендикуляра, опущенного на сторону фигуры, и т.д. В
случае углового элемента это может быть, например, какой-то из углов фигуры.
многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании
взаимного расположения фигур
При решении задач условие может трактоваться неоднозначно, если для
рассматриваемых фигур не указано их взаимное расположение. Можно
выделить, например, следующие случаи, приводящие к неоднозначной
трактовке условия задачи и касающиеся: взаимного расположения
прямолинейных фигур; взаимного расположения окружностей; интерпретации
аналитического способа решения задачи.
Рассмотрим некоторые свойства треугольника и трапеции, которые если и
приводятся в учебниках, то в основном только как задачи на доказательство и
покажем их применение при решении задач.
1.1 Треугольник
Если отрезок треугольника, соединяющий вершину треугольника с
противоположной стороной делит её в некотором отношении, то площади
прилежащих к ним треугольников делятся в этом же отношении (отношение
площадей треугольников с равными высотами).
Пример 1. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что
BD:DC=1:2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть
площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF.
Решение.
6
AEF ADK, следовательно .
DH общая высота треугольников ADK и ADB, поэтому
AP общая высота треугольников ADВ и ABС, поэтому
, то есть
, то есть
, то есть
Получаем, .
От вет :
Если в треугольнике проведён отрезок, соединяющий какие либо 2 точки на
сторонах этого треугольника, то отношение площадей малого треугольника
к площади большего треугольника равна отношению произведения их
смежных сторон выходящих из одной вершины (отношение площадей
треугольников с равным углом).
Пример 2. Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что
треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, равнобедренный с
основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если
известно, что и .
Решение.
7
Введем следующие обозначения: AB=BE=c, BC=a, BD=h.
1 случай (точка E лежит между точками A и С).
1. Треугольник АВЕ равнобедренный, поэтому а значит,
.
2. Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно,
, откуда . Поскольку ,
получаем: .
3. Окончательно находим:
2 случай (точка A лежит между точками E и С).
Аналогично случаю 1 находим .
От вет : 25 или 39.
Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АА
1
и СС
1
, тогда
треугольник А
1
В С
1
подобен данному с коэффициентом подобия равным
|cos B|.
8
Пример 3. Точки D и E основания высот непрямоугольного треугольника
ABC, проведенных из вершин A и C соответственно. Известно, что = k, BC
= a, AB = b. Найдите сторону АС.
Решение.
1 случай: высоты опускаются на стороны АВС остроугольный.
2 случай: высоты опускаются на продолжения сторон, т.е. угол B тупой.
Треугольники EВD и АВС подобны по двум углам, тогда = k и k = |cos B|,
т.е. cos B = k.
По теореме косинусов для треугольника АВС имеем:
АС
2
= АВ
2
+ ВС
2
2ВС АВ cos B.
Получаем АС
2
= b
2
2
+2аbk (1 случай) или АС
2
= b
2
2
2аbk (2 случай)
АС = или АС = .
Ответ: или .
Если r радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, а p его
полупериметр, то S
ABC
= rp.
Пример 4 (МИОО, 2011). Расстояние между параллельными прямыми равно
12. На одной из них лежит точка С, а другой точки А и В, причем
треугольник АBС равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдете
радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
9
Решение.
Заметим, что либо , либо (или ).
1 случай: АС=ВС=13. Пусть Н точка касания вписанной окружности
треугольника АBС с основанием АB, r
1
радиус окружности, вписанной в
треугольник АBС. Тогда СН высота и медиана треугольника АBС. Из
прямоугольного треугольника АНС находим, что
.
Тогда S
ABC
= AHHC = 5∙12 = 60, S
ABC
= (AB+AC+BC)∙ r
1
= 18 r
1
Из равенства 18r
1
=60
находим, что r
1
= .
2 случай: АВ=ВС=13, СН высота треугольника ABC, r
2
радиус
окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда BH=5,
AH=AB+BH=13+5=18.
Из прямоугольного треугольника ACH находим, что
S
ABC
= ∙13∙12=78, S
ABC
= (AB+AC+BC)∙ r
2
= (13+3 )∙ r
2
.
Из равенства (13+3 )∙ r
2
= 78 получаем, что r
2
= .
Примечание.
Можно предположить, что возможен ещё и третий случай, когда ВС=АВ и эти
стороны образуют острый угол. Тогда высота СН будет лежать внутри
треугольника АВС и AC=4 . В этом случаем радиус будет равен r
3
=
. Однако, можно заметить заметит, что этот случай не возможен:
расстояние между прямыми 12, длина АС должна быть не меньше 12, а
10
4
Ответ: .
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих
треугольников.
Пример 5. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите
угол МВС.
Решение.
1 случай: АВС остроугольный.
2 случай: АВС тупоугольный, угол B тупой.
Пусть MBC = . Найдем площадь треугольника АВС двумя способами.
Так как медиана ВМ треугольника АВС разбивает его на два равновеликих
треугольника, то С
другой стороны, Учитывая, что AH=BM, приравняем
площади Получаем, что Отсюда
=
или = .
Ответ: .
Если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам, то его
площадь можно вычислить по формулам:
S =
11
Пример 6. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на
стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом
P точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1.
Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.
Решение.
В зависимости от порядка расположения точек M и N на AD есть 2 решения:
1 случай: S
MNP
= , где . Тогда 2x
2
+ x
10 =0, следовательно, х=2.
2 случай: S
MNP
= , где . Тогда 2x
2
x
10 =0, следовательно, х=2,5.
Ответ: 2 или 2,5.
Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от
вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно .
Пусть окружность касается стороны BC треугольника ABC и
продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки
касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника
ABC.
Пример 7 (ЕГЭ, 2010). В треугольнике ABC AB = 12 , BC = 5, CA = 10 . Точка
12
D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4 : 9 . Окружности, вписанные
в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках
E и F . Найдите длину отрезка EF .
Решение.
Поскольку в условии сказано, что точка D лежит на прямой BC , то существует
два ее положения, при которых будет выполняться условие BD : DC = 4 : 9 .
Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.
Пусть AD = d, BD = x, DC = y. Тогда для окружности вписанной в треугольник
ADC имеем DE = , а окружности вписанной в треугольник
ADB: DF = .
1 случай: Пусть точка D лежит на отрезке BC (рис. а). Тогда x = , y = .
Значит, EF = |DE DF| = | | = .
1 случай: Пусть точка D лежит вне отрезке BC (рис. б). Тогда x = 4, у = х +
ВС = 9. Значит EF = |DE DF| = .
2 cлучай расположения точки D правее точки С невозможен.
Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на
отрезке АD, то при вычислении длины отрезка ЕF использован знак модуля.
Ответ: .
Формулы для вычисления длины биссектрисы:
13
а) l
a
= , где l
a
длина биссектрисы, проведенной из вершины A;
б) l
a
= , где отрезки стороны c, на которые рассекает ее
биссектриса.
Медианы треугольника вычисляется через длины его сторон по формуле:
= .
Длина стороны треугольника по известным трем медианам вычисляется по
формуле: a = .
1.2 Трапеция
Биссектриса угла трапеции, пересекающая второе основание, отсекает от
трапеции равнобедренный треугольник.
Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами,
лежащими на прямых, содержащих основания.
Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем
треугольники, прилежащие к основаниям, подобны друг другу, а
треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики, то есть
имеют равные площади.
В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:
середины оснований, точка пересечения диагоналей, точка пересечения
продолжений боковых сторон.
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку
пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах,
делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее
гармоническое оснований трапеции: MN =
14
Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции, то ,
где MN=m, BC=b, AD=a.
Пример 8. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям,
разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2: 3.
Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.
Решение. Неизвестно как относятся площади трапеций BCFE и AEFD как 2:3
или как 3:2. Поэтому эту задачу будем решать в общем виде. Обозначим
искомый отрезок ЕF через х. Тогда задача решается с помощью
дополнительного построения и подобия треугольников. Если использовать
теоретический материал, то задача решается намного проще.
1 случай: , ,
тогда , .
15
2 случай: , ,
тогда , .
Ответ: или .
В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции,
равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия полусумме
оснований трапеции.
Пример 9. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8
соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя
линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите
радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.
Решение.
В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции,
равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия полусумме
оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а
полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.
1 случай: предположим, что BC=30, AD=20. Стороны BC и AD
треугольников MBC и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с
коэффициентом . Значит, .
Заметим, что , поэтому треугольник прямоугольный с
гипотенузой . Радиус его вписанной окружности равен:
.
16
2 случай: пусть теперь , . Аналогично предыдущему случаю
можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника равен 6.
Треугольники и подобны с коэффициентом . Значит, радиус
вписанной окружности треугольника равен .
Ответ: 4; 6.
Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то
высота равна средней линии и площадь трапеции равна квадрату высоты.
В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание
равна полусумме оснований (средней линии), а проекция боковой стороны
на большее основание равна полуразности оснований.
Пример 10. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100, AB =
CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в
точке K . Найдите длину отрезка CK .
Решение.
Опустим из вершин B и C трапеции на сторону AD перпендикуляры BE и CF
соответственно. Тогда АЕ = = 28, AF = = 72.
Из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников ABE и ACF находим
BE и AC :
BE = = = 21,
AC = = = 75.
Возможны два случая расположения окружности, заданной в условии.
1 случай: oкружность вписана в треугольник ACD. Получаем
CK = = = 5.
o
17
2 случай: окружность является вневписанной для треугольника ACD.
Получаем AO = = = 105, тогда СО = АО – АС =105 – 75= 30.
Так как СК = СО, то СК = 30. Ответ: 5; 30.
Глава 2. Полезные факты о выпуклых многоугольниках
Приведем несколько полезных фактов:
Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами
некоторого параллелограмма.
Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим
диагоналям четырехугольника.
Отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон
четырехугольника в точке своего пересечения делятся пополам.
Сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна удвоенной сумме
квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
Если биссектрисы всех углов многоугольника пересекаются в одной точке
O, то в него можно вписать окружность. Точка O будет центром этой
окружности.
Если в многоугольник можно вписать окружность, то радиус окружности
выражается формулой: r = , где S и p – соответственно площадь и
полупериметр многоугольника.
Если перпендикуляры, восстановленные к серединам всех сторон
многоугольника, пересекаются в одной точке O , то вокруг него можно
описать окружность и ее центром будет точка O.
Любые два правильных n-угольника подобны друг другу. В частности, если
у них стороны одинаковы, то они равны.
Диагонали правильного шестиугольника разбивают его на шесть
правильных треугольников.
Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многоугольника до
его сторон (или их продолжений) не зависит от положения точки:
h
1
+ h
2
+……+ h
n
= const.
18
Заключение
В данной работе были рассмотрены решения многовариантных
планиметрических задач. Спектр таких задач очень разнообразен. Были
подобраны примеры на использование свойств («опорных» задач) треугольника
и трапеции. Так же необходимо рассмотреть задачи на использование свойств
параллелограмма, прямоугольника и окружности; на комбинацию различных
фигур.
19
Список использованной литературы
1 Гордин Р.К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4 / Под ред. А.Л. Семенова,
И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. – 148 с.
2 Геометрия. Базовый курс с решениями и указаниями/Н.Д. Золотарёва, Н.Л.
Семендяева, М.В. Федотов – Москва: Фойлис, 2010. 296 с.
3 ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / Под ред.
А.Л.Семенова, И.В. Ященко. – Москва: Экзамен, 2010.
Интернет-источники
1 Корянова А.Г., Прокофьева А.А. Математика ЕГЭ 2012.
Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (типовые задания
С4), 2012. 65 с. Ларин Александр Александрович. Математика. Репетитор
http://alexlarin.net/ege/2012/c42012.html
2 Корянова А.Г., Прокофьева А.А. Математика ЕГЭ 2011.
Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (типовые задания
С4), 2011. 39с. Ларин Александр Александрович. Математика. Репетитор
http://alexlarin.net/ege/2011/C4-2011.html
3 Задачи С4.Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ
http://reshuege.ru/test?id=1588007&nt=False&pub=dz
Источники иллюстраций
1 Чертежи к задачам С4.http://reshuege.ru/test?id=2425633&nt=False&pub=dz
2 Иллюстрации автора.