Презентация "Сферы, описанные около многогранников"

Сферы, описанные около многогранников. Определение. Многогранник называется вписанным в сферу (а сфера описанной около многогранника), если все вершины многогранника принадлежат этой сфере. Следствие. Центр описанной сферы есть точка, равноудаленная от всех вершин многогранника.

O

O

O

.

.

.

Теорема 1. Множество точек равноудаленных от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку с концами в данных точках, проходящая через его середину (плоскость серединных перпендикуляров к этому отрезку). AB ┴ α AO=OB

α

A

B

O

Теорема 2. Множество точек, равноудаленных от n заданных точек, лежащих на одной окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек, проходящая через центр описанной около них окружности.

C

E

A

B

D

O

a

.

.

.

.

.

.

C

E

A

B

D

.

.

.

.

.

Призма вписанная в сферу. OA=OB=…=OX=Rсф

.O1

.O

.Oсф

a1

a

.A1

.B1

.C1

.D1

E1.

X1.

.A

.B

.C

.D

E.

X.

a

a1

.O

.O1

Следствия. 1)Около прямой треугольной призмы можно описать сферу, т.к. около треугольника всегда можно описать окружность. 2) Около любой правильной призмы можно описать сферу, т.к. правильная призма является прямой и около правильного многогранника всегда можно описать окружность.

O

.

O

.

.

Задача №1. Шар описан около призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковое ребро призмы равно 24. Найдите Радиус шара. Дано: ∆ABC – прямоугольный; AC=6, BC=8, AA1=24. Найти: Rш=? Решение: 1)OO1 ┴AB1; OO1=AA1=24. 2) ABC: AB=10. 3) OшOB: Rш=OшB=√OOш2 + OB 2 = =√144+25=13 Ответ: 13.

О1

О

.

.

.

Rш

Ош

С1

B1

A1

A

С

B

Задача №3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,3 и 5. Найдите радиус описанного шара. Дано:AB=a=2; BC=b=3; CC1=c=5. Найти: Rш=? Решение: 1) AC2 =a2+b2+c2. 2) A1C2 =25+9+4=38 (Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда) 3) A1C=√38; Rш= OшC= √38/2 Ответ: √38/2

D1

C1

B1

A1

A

B

C

D

5

2

3

.

.

.

Oш

Задача №3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, а боковое ребро равно 2a. Найдите радиус описанного шара. Дано: AB=BC=AC=a, AA1┴ABC; AA1= 2a. Найти: Rш=? Решение: 1)AB=AO√3; AO=a/√3. 2)Rш=√a2 + a2/3=2a/√3 Ответ: 2a/√3

C1

B

A1

C

B1

A

Oш

Rш

.

O

O1

Следствия. 1)Около треугольной пирамиду всегда можно описать сферу, так как около треугольника всегда можно описать окружность. 2)Около правильной пирамиды всегда можно описать сферу. 3)Если боковые ребра пирамиды равны (одинаково наклонены к основанию), то около такой пирамиды всегда можно описать сферу. *В последних двух случаях центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

O

.

O

.

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Около пирамиды PABC, основание которой – правильный треугольник ABC со стороной 4√3, описан шар. Боковое ребро PA перпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно 6. Найти радиус шара. Дано: AB=BC=AC=4√3; PA┴(ABC); PA=6. Найти: Rш=? Решение: 1) OOСФ ┴(ABC); O – центр описанной около ∆ABC окружности; KOСФ ┴ PA; KP=AK (KOСФ Один из серединных перпендикуляров к боковому ребру PA); OСФ – центр описанного шара. 2) OOСФ ┴(ABC); OOСФ принадлежит (AKO); PA┴(ABC); AK принадлежит (AKO); значит KA||OOСФ;

.OСФ

.O

K.

P.

A.

B

.C

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). 3) KOcф ┴AP; KOcф принадлежит (AOK); AO ┴AP; AO принадлежит (AOK); значит KOcф || AO; 4) Из (2) и (3): AOOcфK- прямоугольник, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/√3=4; 6) ∆AOOcф: AOcф = Rш =5 Ответ: 5 Задачи (сфера, описанная около пирамиды). В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 ˚. Высота пирамиды равна h. Найдите радиус описанной сферы. Дано: PABCD – правильная пирамида; (AP^(ABC))=45˚; PO=h. Найти: Rш=? Решение: 1) AO=OP=h; AP=h√2; 2) ∆PAP1 – прямоугольный; PP1 – диаметр шара; PP1 = 2Rш; AP2= PP1*OP; (h√2)2=2 Rш*h; Rш=2h2/2h=h. Ответ: h

.C

.B

A.

.D

.P

.P1

.O

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра равен R. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно. Дано: DABC – правильный тетраэдр; R – радиус сферы. Найти: Sполн.тетр. =? Решение: 1) Так как тетраэдр правильный, то центр описанной сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды; 2) Sполн.тетр. = a2 √3/4*4= a2√3; 3) Точки D, A, D1 принадлежат одной окружности – сечению сферы плоскостью DAD1, значит угол DAD1 - вписанный угол, опирающийся на диаметр, DD1; угол DAD1=90˚; 4) AO – высота ∆ADD1, проведенная из вершины прямого угла. AD2= DO*DD1; 5) AO=a/√3; DO=√a2-a2/3=a√2/√3; a2=a√2/√3*2R; a=√2/√3*2R; a2= 8R2/3;

.D1

.D

.O

.B

.C

A.

a

a

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно. 6) Sполн.тетр. = 8R2 √3/3 Ответ: 8R2 √3/3